24/07/2016

Pourquoi les nombres de Liouville nous fascinent-ils?

factorielle.jpgA chaque langage ses conventions, ses symboles, son vocabulaire. Celui des maths n’y fait pas exception. Un exemple au hasard. Placé après un nombre (ou chiffre), le point d'exclamation exprime une factorielle. Le petit tableau ci-dessus permettra de comprendre la notion de factorielle sans qu'il soit nécessaire de l'assortir d'une longue explication. Produit de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à n, la factorielle n ! s'utilise en combinatoire, mais pas seulement. Sa stricte définition se traduit par la formule ci-dessous, où le Pi majuscule désigne un produit sur un intervalle donné, parfois infini (à l'instar du sigma majuscule pour l'addition).

déf fact.png

Plus intéressant, observons les sommes des inverses des factorielles via cette forme générique :
inverses fact.pngLe cas x = 1 nous permet de retrouver une vieille connaissance :

esomme.pngSoit la constante e, nombre transcendant (mais n'anticipons pas) et base du logarithme naturel. Il est la somme de cette série, qui consiste en fait à décomposer la fonction logarithmique en série entière. On peut dès lors constater que les inverses des factorielles donnent les coefficients du développement de la fonction exponentielle. Plus simplement:plusimple.pngMais venons-en à Liouville. Dans un roman paru récemment, La Formule de Stokes, roman, audin.jpgque je vous conseille fortement, la Française Michèle Audin rappelle la beauté du plus connu des nombres de Liouville, parfois surnommé constante de Liouville. Célèbre mathématicien français, Joseph Liouville (1809 – 1882, portrait ci-contre) liouvilleportait.jpegs’est en effet intéressé à des nombres relativement proches des séries logarithmiques vues ci-dessus. Leur forme générique est donnée par la formulegénérique liouville.png

 

 

 

avec b plus grand que 1 et les ak compris entre 0 et b – 1.

Le plus fameux de ces nombres est donc la constante de Liouville :

constanteliouville.png

Les positions des 1, de plus en plus espacés parmi les 0, y correspondent aux factorielles successives de l'ensemble des entiers naturels. Magnifique, non ? Il s’agit là d’un nombre réel mais surtout de l’un des premiers exemples de réel transcendant, c’est-à-dire, par opposition aux nombres algébriques, qu’il n’est racine d’aucune équation polynomiale. La chose se démontre aisément, et vous en trouverez facilement la preuve sur plusieurs sites, preuve que je ne reproduis pas ici afin de ne pas rallonger ce billet. La transcendance du nombre e ne sera quant à elle établie que plus tard, soit en 1873. L’ensemble des nombres de Liouville, qui se construisent tous sur le même modèle, a par ailleurs la puissance du continu. Autrement dit, il est équipotent à celui des nombres réels. J’avais déjà consacré un billet à ces passionnantes questions de cardinalité et de hiérarchie dans les infinis et y reviendrai d’ailleurs bientôt. Au XXe siècle, le grand mathématicien hongrois Paul Erdös (1913 – 1996) a démontré que tout nombre réel non nul peut s’écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville. Problème ardu sur lequel j’espère revenir dans un prochain billet.

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14/07/2016

Et hop, une planète naine de plus dans le système solaire!

naine.pngLe tracé orange sur le graphique ci-dessus dévoile son orbite. Son nom ? 2015 RR245. Bien sûr, il est provisoire. Et désigne une nouvelle planète naine qu’on vient de découvrir dans notre système solaire. Elle se trouve encore plus loin que Neptune ou Pluton. On estime sa taille à 700 km. Détectée par un programme de recherches sur les traces du relevé des origines du système solaire externe, 2015 RR245 est un objet transneptunien. Près ou à l'intérieur de ce qu’on nomme la ceinture de Kuiper, ceux-ci semblent fort nombreux, sont les plus primitifs du système solaire et orbitent donc très loin. Découverte en février de cette année, 2015 RR245 possède une orbite très elliptique (on le voit clairement sur le schéma) dont la période avoisine les 700 ans. On suppose que cette orbite est stable depuis environ 100 millions d’années. Elle atteindra son périhélie (position la plus proche du soleil) en 2096. Elle demeure néanmoins, avec Pluton et Eris, l’une des plus grosses planètes naines découvertes parmi les objets transneptuniens. Rappelons que cinq planètes naines ont été répertoriées à ce jour dans le système solaire : Pluton, Eris, Makémaké, Haumea et Cérès, dont il fut souvent question dans ce blog. Mais il existe 404 objets transneptuniens qui pourraient être des planètes naines potentielles. Parmi ceux-ci, Charon, Sedna et Salacie. La liste changera sans doute dans les mois à venir. Je vous tiendrai au courant.

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13/07/2016

Locarno en apesanteur

gorge.jpegJuste une image. Prise au hasard sur le site pardolive.ch. Depuis ce matin, le programme du 69e Festival de Locarno (3 au 13 août) s’y déploie, consultable, alléchant, mystérieux. Juste une image d’un film repéré au hasard, sans logique, mais illustrant tout de même la page dédiée à la section compétitive «Cinéastes du présent». Donc sans doute pas placée là au hasard. Une image riche en promesses. Dans un long couloir jaune, un agneau (peut-être un mouton, peu importe) semble fixer la caméra et nous toiser depuis son infinie solitude, en soi reflétée par la géométrie intuitive que présentent les lignes de fuite de cette perspective. L’environnement ne colle pas, la nature s’y perd, la singularité se mue en tableau. Comme la quasi totalité des oeuvres collectées par Carlo Chatrian et ses équipes, je n’ai pas encore vu le film dont cette image est tirée. Quelques clics m’en disent à peine plus. Le film s’appelle Gorge Cœur Ventre, il s’agit de la première réalisation de Maud Alpi (France), et il y est question de l’univers des abattoirs.

Face à cette image, ce photogramme disait-on jadis, nos sens restent vierges, forcément. Il en va ainsi pour la plupart des films du programme, puisque la plupart sont inédits, pour ma part à quelques exceptions près (I, Daniel Blake, la Palme d’or loachienne, bon nombre de titres de la section «Histoire(s) du cinéma», forcément, et de plus rares longs-métrages de la gigantesque rétrospective «Aimé et rejeté : le cinéma de la jeune République fédérale d’Allemagne de 1949 à 1963», tel l’extraordinaire Der Verlorene, unique long de ce génial acteur que fut Peter Lorre). Mais l’inédit attise la curiosité, il la favorise et peut-être la façonne. Se promener au cœur de la liste de tous ces films venus des quatre coins du monde – noms inconnus, titres à rallonge, durées improbables – est en somme le premier contact qu’on peut avoir cette année avec le festival.

Bien sûr, quand j’écris «noms inconnus», c’est faux. Ils ne le sont pas tous. Yousry Nasrallah, Radu Jude, João Pedro Rodrigues, pour ne citer que ces trois, cette année en compétition internationale, sont même tous déjà apparus un jour ou l’autre dans ce blog au gré de divers festivals. Il en va ainsi de beaucoup d’autres. Mais leur cohabitation au sein du programme induit une coloration à la fois arty (normal...) et gonflée. La marque des meilleurs programmes, en somme. Alors bien sûr, on (je) peut(x) se (me) tromper, là n’est pas le problème, mais cette première vue d’ensemble du 69e Festival de Locarno sent a priori terriblement bon. Juste une image, oui, mais qui en cèle tant d’autres.

22:07 Publié dans Cinéma, Festival de Locarno 2016 | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |