15/11/2014

Théorème de Fermat-Wiles, quel héritage?

wiles.jpg20 ans déjà ! La joie du mathématicien britannique Andrew Wiles éclate sur cette image prise en 1994. Heureux, il vient de mettre un point final à une démonstration sur laquelle il planche depuis sept ans. Sept ans pour atteindre le Graal et triompher de l’un des problèmes les plus insolubles de l’histoire des maths. Soit le dernier théorème de Fermat. Mais retournons quelques siècles en arrière.

Magistrat de renom et scientifique plus ou moins autodidacte, Pierre de Fermat s’est principalement illustré dans la recherche mathématique. Né au début du XVIIe siècle, vraisemblablement entre 1601 et 1610, décédé en 1665, il a laissé relativement peu d’écrits. Cinq ans après sa mort, une note manuscrite figurant en marge de l’un des exemplaires de son Diophante (Arithmetica) est rendue publique. Il s’agit de son fameux dernier théorème. Le voici, assorti d'un portrait de Pierre de Fermat:

theoreme.jpg

Fermat accompagne celui-ci d’une phrase affirmant qu’il en possède une merveilleuse démonstration mais n’a pas la place de l’écrire. Nous sommes en 1670 et il faudra plus de 325 ans (la note marginale ayant été rédigée bien avant le décès de Fermat) pour démontrer que le théorème est vrai. Durant ces trois siècles, toute une cohorte de chercheurs tentera d’en venir à bout. Certains y perdront la raison, d’autres mettront fin à leurs jours. Une odyssée brillamment narrée dans un livre paru en 1998, Le Dernier Théorème de Fermat (de Simon Singh).

Mais revenons à l’énigme. A première vue, l’équation posée par Fermat a l’air simple, abordable. Il n’en est rien. Le théorème stipule donc que l’égalité n’a pas de solutions entières pour un exposant n plus grand que 2. Le cas n = 2 est en revanche familier, puisqu’il s’agit – vous l’aurez reconnu - du théorème de Pythagore, lequel possède une infinité de solutions.

Mais à partir de n = 3, les choses se corsent. On découvre relativement rapidement qu’il suffit de vérifier Fermat pour tous les n premiers réguliers. Les n factorisables en découlent. Dans cette logique, plusieurs mathématiciens célèbres (dont Leonhard Euler et Sophie Germain) parviennent à résoudre Fermat pour les cas n = 3, n = 5, n = 7, etc. Mais procéder ainsi à l’infini ne mène pas à grand-chose. D’autant plus que Fermat pouvait très bien être vrai pour les 3 millions de premiers nombres, et tout à coup se vérifier (donc être faux) pour un exposant supérieur. Les chercheurs prouvèrent néanmoins que Fermat était valide pour des valeurs de n allant au moins jusqu’à 4 millions.

C’est au XXe siècle que les choses commencent à se décanter. Tout en provenant d’une direction totalement insoupçonnée. Nous sommes au Japon, en 1955, et deux chercheurs travaillent sur deux domaines particulièrement pointus des mathématiques : les courbes elliptiques et les formes modulaires. Une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique et peut être représentée par une équation cubique (je simplifie un peu). Quant aux formes modulaires, il s’agit de fonctions analytiques satisfaisant certains types d’équations fonctionnelles (autrement dit des équations dont les inconnues sont des fonctions). Nos deux mathématiciens, Yutaka Taniyama et Goro Shinura, émettent alors une hypothèse : les courbes elliptiques peuvent toujours être associées à (ou paramétrées par) des fonctions modulaires. Hypothèse plus connue sous le nom de conjecture de Shinura-Taniyama. Aucun des deux ne la démontrera et Taniyama finira même par se suicider.

Entre alors en scène un troisième mathématicien, l’Allemand Gerhard Frey. Ce dernier démontra, en 1984, qu’un contre-exemple au théorème de Fermat (donc une preuve que Fermat était faux) engendrerait une courbe elliptique qui viendrait contredire la conjecture de Shinura-Taniyama. timbrefr.jpgC’est cette découverte-là qui encouragea Andrew Wiles à s’atteler à ses travaux. En effet, s’il parvenait à démontrer que la conjecture de Shinura-Taniyama était vraie, cela impliquerait qu’il n’existe aucun contre-exemple au théorème de Fermat. Donc que Fermat était vrai !

Au terme de sept ans de recherches et d’enfermement, et de deux ans de corrections à sa démonstration, qui ne sera publiée qu’en 1995, Andrew Wiles accède à la gloire, fait la une de tous les grands quotidiens internationaux et décroche de nombreux prix. Le théorème de Fermat devient alors le théorème de Fermat-Wiles.

timbrepo.jpgQu’en reste-t-il aujourd’hui, au-delà du sentiment d’avoir triomphé de l’un des problèmes les plus résistants de toute l’histoire des math ? Beaucoup de choses. L’arsenal de techniques utilisées par Wiles a révolutionné la théorie des nombres. Grâce à lui, de grandes avancées ont pu se faire dans des domaines très différents. Dont un programme, dit programme de Langlands (du nom du mathématicien Robert Langlands), dont l’objet est de relier la théorie des nombres à celle de la représentation des groupes. Il a déjà permis de résoudre, en 2009, la conjecture de Sato-Tate, qu’il n’est pas possible, vu sa complexité, de résumer ici. Corollaire de tout cela, la démonstration de Wiles n’est pas à la portée de tout le monde. On prétend même que seules 200 personnes au monde environ sont à même de la comprendre. D’où une autre interrogation : Fermat avait-il réellement trouvé une démonstration à son théorème au XVIIe siècle ? Et si oui, laquelle, sachant qu’à son époque, il ne possédait pas tous les outils mathématiques découverts bien après ? Le mystère demeure entier.

 

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13:20 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (2) | |  Facebook | | | |

Commentaires

Excellent petit article sur l'Histoire du théorème de Fermat(-Wiles) ! En ce qui concerne la dernière question, faisons confiance au génie intuitif de Fermat qui lui a permis certainement de sauter bien des étapes dans le raisonnement mathématique ad hoc !

Bien à vous

Écrit par : pphchappuis | 15/11/2014

Merci pour votre mot. Tout à fait possible pour Fermat, ce qui n'enlève rien à la beauté du raisonnement de Wiles.

Écrit par : Pascal Gavillet | 21/11/2014

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