30/11/2014

Qu'y a-t-il au-delà de l'infini?

 

infini.jpg

Ce symbole, parfois appelé lemniscate, représente l’infini. Ce n’est pas à proprement parler un nombre, mais plutôt un concept dont la réalité mathématique est indéniable. Il est au cœur des recherches du mathématicien allemand Georg Cantor (1845 – 1918, photo ci-dessous), Cantor.jpgconnu pour avoir notamment créé la théorie des ensembles. Mais aussi les nombres transfinis et une conjecture célèbre plus connue sous le nom d’hypothèse du continu. Celle-ci est même le premier problème de la fameuse liste de Hilbert, qui en compte 23. L’hypothèse du continu stipule qu’il n’existe pas d’ensembles dont la «taille» se situe entre celle de l’ensemble des entiers naturels et celle de l’ensemble des nombres réels.

Pour mieux la comprendre, il faut rappeler ici différentes notions. L’ensemble des entiers naturels est simple à définir. Il désigne l’ensemble des nombres entiers positifs et s’écrit généralement comme suit :

= {0,1,2,3,4,5,6,7,…}. Il compte un nombre infini d’éléments, ce qui est aisé à démontrer, puisqu’on peut toujours, pour tout n ∈ , déterminer un élément n + 1 qui se trouve à son tour dans . Et ainsi de suite à l’infini.

L’ensemble des nombres réels, noté , regroupe tous les nombres pouvant être représentés par une partie entière et une partie (finie ou non) de décimales. Il inclut aussi bien les nombres rationnels et irrationnels que les nombres transcendants comme π ou e (base du logarithme naturel). Ses éléments sont évidemment en nombre infini et on remarque très vite que (ce qui signifie que est inclus dans ).

Leur taille se déduit de leur cardinalité. Le cardinal d’un ensemble désigne le nombre d’éléments que compte cet ensemble. Dans le cas de et , ce cardinal est clairement infini. Pourtant, compte de toute évidence davantage d’éléments que . Comme s’il y avait, en gros, différentes sortes d’infinis selon la taille des objets que l’on observe. Mais la différence entre et , c’est aussi que le premier est dénombrable et pas le second. Qu’est-ce à dire ?

Pour faire simple, un ensemble dénombrable est un ensemble dont on peut compter et ordonner les éléments. Et un ensemble infini est dit dénombrable s’il est en bijection avec l’ensemble des entiers naturels . Une bijection est une fonction f d’un ensemble A dans un ensemble B pour laquelle à chaque élément de A correspond exactement un et un seul élément de B. Exemple simple : peut être mis en bijection avec l’ensemble des nombres pairs, via la fonction f (x) = 2x pour laquelle on fait correspondre, à chaque élément de départ dans , son double. On dit dans ce cas que les deux ensembles sont équipotents. En revanche, n’est pas dénombrable et aucune bijection avec n’est possible. Aussi petit soit-il, n’importe quel intervalle de la droite des nombres réels contient en effet d’autres nombres.

Mais revenons à Cantor. Ce dernier s’interrogea sur les cardinaux respectifs de et . Il appela le cardinal de aleph-zéro et le nota aleph_0, du nom de la première lettre de l’alphabet hébraïque. Et comme tous les éléments de couvraient en continu la droite des réels, il nomma son cardinal le continu, l’abrégeant simplement par la lettre c. Puis s’en vint à se demander s’il existait un ensemble dont le cardinal était compris entre ces deux-là. C’était l’hypothèse du continu, qui peut se résumer par cette magnifique formule :

2^{aleph_0} = aleph_1

 

Elle fait du reste appel aux propriétés liées à l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble, dont je parlerai dans un futur billet, et à l’axiome du choix.

En 1963, Paul J.Cohen, un mathématicien américain, parvint à résoudre l’hypothèse du continu en montrant qu’elle était indécidable. Autrement dit qu’on ne pouvait prouver ni sa vérité ni sa fausseté. La question n’est pas pour autant fermée aujourd’hui. Et certains pensent que de nouveaux axiomes pourraient rendre l’hypothèse vraie. La suite dans le courant du XXIe siècle ?

 

20:41 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (5) | |  Facebook | | | |

Commentaires

@Monsieur Gavillet magnifique question avec une seule réponse possible au delà de l'infini régne un concentré de stupidité humaine
Lequel est représenté par des étoiles qui elles ont toutes été sources d'inspiration pour permettre à des têtes savantes mais bornées très souvent de profiter de la naiveté des aveugles /le peuple
très bonne journée pour Vous

Écrit par : lovsmeralda | 01/12/2014

L'idée de l'infini ne se pose que lorsqu'on croit à l'existence d'une ligne droite infinie. Or cette ligne n'existe que dans notre tête, en réalité ce que l'on croit être une ligne droite est toujours une ligne courbe se refermant sur elle-même..dès lors: pas d'infini.

Écrit par : Christian Favre | 01/12/2014

Monsieur Gavillet,

Vous vous frottez là à ce qu'il y a de plus passionnant dans le génie humain et qui amène au domaine particulièrement fécond des métamathématiques. Néanmoins, je ne suis pas certain que le grand public puisse comprendre toute la portée de ces merveilleuses recherches.
En tout cas, bravo pour ce bel effort de vulgarisation !

Bien à vous

Écrit par : pphchappuis | 01/12/2014

Bonjour et merci pour vos commentaires, toujours agréables à découvrir.
Je suis bien conscient que le grand public ne s'y retrouvera pas forcément dans ces notions, parfois complexes (et je n'ose imaginer ce qui en sera le jour où je consacrerai un billet à l'hypothèse de Riemann). Mais l'espace de liberté de mon blog me permet justement de passer de billets sur le cinéma ou la chanson, à d'autres, plus pointus, sur les maths. Et j'espère bien continuer.
Merci encore et à bientôt.

Écrit par : Pascal Gavillet | 01/12/2014

Monsieur Gavillet,

Vous trouverez avec l'hypothèse de Riemann la paix et la sérénité des nombres que vous aimez tant. L'infinie beauté de ces formules magiques sont probablement à la base de votre inspiration dans cette volonté magnifique de vulgarisation des mathématiques. Excellente continuation dans cette merveilleuse démarche !

Bien à vous

Écrit par : pphchappuis | 01/12/2014

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