30/11/2014

Qu'y a-t-il au-delà de l'infini?

 

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Ce symbole, parfois appelé lemniscate, représente l’infini. Ce n’est pas à proprement parler un nombre, mais plutôt un concept dont la réalité mathématique est indéniable. Il est au cœur des recherches du mathématicien allemand Georg Cantor (1845 – 1918, photo ci-dessous), Cantor.jpgconnu pour avoir notamment créé la théorie des ensembles. Mais aussi les nombres transfinis et une conjecture célèbre plus connue sous le nom d’hypothèse du continu. Celle-ci est même le premier problème de la fameuse liste de Hilbert, qui en compte 23. L’hypothèse du continu stipule qu’il n’existe pas d’ensembles dont la «taille» se situe entre celle de l’ensemble des entiers naturels et celle de l’ensemble des nombres réels.

Pour mieux la comprendre, il faut rappeler ici différentes notions. L’ensemble des entiers naturels est simple à définir. Il désigne l’ensemble des nombres entiers positifs et s’écrit généralement comme suit :

= {0,1,2,3,4,5,6,7,…}. Il compte un nombre infini d’éléments, ce qui est aisé à démontrer, puisqu’on peut toujours, pour tout n ∈ , déterminer un élément n + 1 qui se trouve à son tour dans . Et ainsi de suite à l’infini.

L’ensemble des nombres réels, noté , regroupe tous les nombres pouvant être représentés par une partie entière et une partie (finie ou non) de décimales. Il inclut aussi bien les nombres rationnels et irrationnels que les nombres transcendants comme π ou e (base du logarithme naturel). Ses éléments sont évidemment en nombre infini et on remarque très vite que (ce qui signifie que est inclus dans ).

Leur taille se déduit de leur cardinalité. Le cardinal d’un ensemble désigne le nombre d’éléments que compte cet ensemble. Dans le cas de et , ce cardinal est clairement infini. Pourtant, compte de toute évidence davantage d’éléments que . Comme s’il y avait, en gros, différentes sortes d’infinis selon la taille des objets que l’on observe. Mais la différence entre et , c’est aussi que le premier est dénombrable et pas le second. Qu’est-ce à dire ?

Pour faire simple, un ensemble dénombrable est un ensemble dont on peut compter et ordonner les éléments. Et un ensemble infini est dit dénombrable s’il est en bijection avec l’ensemble des entiers naturels . Une bijection est une fonction f d’un ensemble A dans un ensemble B pour laquelle à chaque élément de A correspond exactement un et un seul élément de B. Exemple simple : peut être mis en bijection avec l’ensemble des nombres pairs, via la fonction f (x) = 2x pour laquelle on fait correspondre, à chaque élément de départ dans , son double. On dit dans ce cas que les deux ensembles sont équipotents. En revanche, n’est pas dénombrable et aucune bijection avec n’est possible. Aussi petit soit-il, n’importe quel intervalle de la droite des nombres réels contient en effet d’autres nombres.

Mais revenons à Cantor. Ce dernier s’interrogea sur les cardinaux respectifs de et . Il appela le cardinal de aleph-zéro et le nota aleph_0, du nom de la première lettre de l’alphabet hébraïque. Et comme tous les éléments de couvraient en continu la droite des réels, il nomma son cardinal le continu, l’abrégeant simplement par la lettre c. Puis s’en vint à se demander s’il existait un ensemble dont le cardinal était compris entre ces deux-là. C’était l’hypothèse du continu, qui peut se résumer par cette magnifique formule :

2^{aleph_0} = aleph_1

 

Elle fait du reste appel aux propriétés liées à l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble, dont je parlerai dans un futur billet, et à l’axiome du choix.

En 1963, Paul J.Cohen, un mathématicien américain, parvint à résoudre l’hypothèse du continu en montrant qu’elle était indécidable. Autrement dit qu’on ne pouvait prouver ni sa vérité ni sa fausseté. La question n’est pas pour autant fermée aujourd’hui. Et certains pensent que de nouveaux axiomes pourraient rendre l’hypothèse vraie. La suite dans le courant du XXIe siècle ?

 

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29/11/2014

Réécoutons ce que chantait Dominique Grange à Sarkozy en 2012


Le revoilà à la tête de l'Union pour un Mouvement Populaire. Profitons-en donc pour réécouter la chanson que lui avait "dédié" Dominique Grange en 2012, juste avant les présidentielles. Lyonnaise de naissance (en 1940), Dominique Grange reste l'une des rares chanteuses françaises engagées de l'Hexagone. Après une carrière discrète en pleine déferlante yéyé - quatre 45 tours entre juin 1963 et 1967 -, elle change radicalement de registre. En 1968, elle intègre le CRAC, ou Comité Révolutionnaire d'Action Culturelle, compose des chansons inspirées par les événements de mai et parcourt la France pour chanter dans les usines en grève. Mais c'est au sein de la Gauche Prolétarienne, mouvement d'obédience maoïste, qu'elle écrit Les Nouveaux Partisans, qui deviendra un hymne pour les jeunes militants révolutionnaires.

Après la mort d'un jeune militant et un court séjour en prison pour injures à des représentants de la force publique, elle rejoint le NRP (la Nouvelle Résistance Populaire) et rentre dans la clandestinité jusqu'en 1975. Elle revient pourtant à la chanson en 1981 avec un album à la pochette dessinée par son compagnon, Jacques Tardi. Ce sera un échec. Depuis 2000, Dominique Grange milite à la Confédération nationale du travail tout en enregistrant périodiquement de nouvelles chansons. En 2012, elle a soutenu la candidature de Jean-Luc Mélenchon. La chanson ci-dessus figure sur un album de 2013, Notre longue marche (Editions Juste une trace).

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28/11/2014

Non, Erick Bamy ne fit pas que doubler Johnny!

bamy.jpg"La doublure d'une légende est morte", titre l'AFP aujourd'hui, réduisant une fois de plus une nouvelle à sa composante la plus connue, ou la plus porteuse, c'est selon. Le 45 tours 17 cm ci-dessus est paru chez Vogue en 1967, il s'agit d'un EP (pour "extended play") et accessoirement d'un collector. Son chanteur y fume une cigarette - c'était courant à l'époque - et on aperçoit un gros spot en haut à droite. C'est aussi le premier enregistrement d'un certain Erick Bamy qui, comme nous l'apprend le verso (photo ci-contre), est Guadeloupéen d'origine et compte devenir le seul chanteur de rhythm & blues français. bamyverso.jpgLe disque fut un échec (d'où sa rareté) mais la carrière de son jeune interprète n'allait pas s'arrêter là. Né en 1949, Erick Bamy fera même une douzaine d'autres disques entre 1973 et 1992, dont au moins un sous son vrai nom d'Eric Stevens. En 1975, Lee Hallyday, directeur artistique de Johnny, l'engage comme choriste de la star. Leur collaboration durera jusqu'en 2000. Bamy ne disparaît pas pour autant, enregistre à nouveau plusieurs disques et fera même une réapparition inattendue en 2010 dans l'émission La France a un incroyable talent, dont voici un extrait:


Deux ans plus tard, il empochera encore un disque d'or, puis un disque de platine, pour l'album Les Soul Men, qu'il enregistre en compagnie de Vigon (autre rescapé des 60's ayant effectué un come back inespéré dans la première saison de The Voice) et de Jay, ancien leader des Poetic Lovers. Le trio s'appellait simplement Vigon Bamy Jay.

Erick Bamy est décédé le 27 novembre 2014 à l'âge de 65 ans, suite à une maladie foudroyante.

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