14/12/2014

Combien y a-t-il de nombres parfaits?

 

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Il en va des nombres comme des organismes vivants. Certains sont dotés de propriétés singulières ou remarquables qui les rendent uniques. Nombres amicaux, sociables, chanceux, palindromes, pyramidaux, primoriels, automorphes, étranges, intouchables, ou, du nom de leurs découvreurs, nombres de Mersenne, de Sophie Germain, de Fibonacci, de Liouville ou de Fermat, les catégories ne manquent pas. Je vais me pencher aujourd’hui sur les nombres parfaits, lesquels font toujours à l’heure actuelle l’objet de recherches incessantes.

Le petit tableau ci-dessus donne une idée de leur définition (ligne du milieu). Un nombre est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres (ou stricts). On peut aussi définir un nombre parfait par la formule suivante : σ(n) = 2n, σ(n) désignant la somme de tous les diviseurs positifs de n. Prenons le cas de 6, qui est le premier nombre parfait connu. La somme de ses diviseurs stricts donne 1 + 2 + 3 = 6. Et σ(n) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, qui est bien égal à 2n (2 x 6).

Lorsqu’on monte un peu dans la progression des nombres, on note très vite que les nombres parfaits sont extrêmement rares. Les quatre premiers sont 6, 28, 496 et 8128. Ils sont tous pairs. Dans l’histoire des mathématiques, leur apparition a lieu très tôt. Nicomaque de Gérase (vers 150 – vers 196) cite ainsi les quatre premiers nombres parfaits dans un traité d’arithmétique, mais Euclide en parlait déjà dans l’un des livres de ses Eléments (IIIe siècle av. J.-C.) Le cinquième nombre parfait est cité dans un manuscrit du XVe siècle. Et les deux suivants furent découverts par Pietro Cataldi en 1588. Quant au huitième, il sera trouvé par le Suisse Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Euler ira même plus loin, en affinant une égalité démontrée par Euclide et qui peut se formuler ainsi :

Capture d’écran 2014-12-14 à 20.12.57.pngEt ce qu’il y a d’intéressant, c’est qu’on retrouve ici les nombres dits de Mersenne (du nom de leur découvreur, Marin Mersenne (1588-1648), dont je reparlerai bientôt), c’est-à-dire les nombres premiers qui peuvent s’écrire sous la forme suivante, avec n premier:

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La démonstration d’Euler nous apprend surtout que tous les nombres parfaits pairs ont cette forme. En revanche, on ne connaît, à ce jour, aucun nombre parfait impair et on ignore s’il en existe. Actuellement, 48 nombres parfaits ont été découverts. On conjecture qu'il en existe une infinité. Le dernier en date a été calculé en janvier 2013 à partir du 48e( ?) nombre de Mersenne que voici,

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lequel se compose de plus de 17 millions de chiffres (17 425 170 exactement). Il s'agit également du plus grand nombre premier connu. Et le jour (proche, je l'espère) où des ordinateurs dûment programmés pourront calculer un nombre de Mersenne supérieur à celui-ci, il en découlera la découverte d'un nouveau nombre parfait.

Quant aux nombres abondants et déficients, cités dans le tableau du haut, vous n'aurez aucune peine à déduire leur définition.

 

20:52 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (2) | |  Facebook | | | |

Commentaires

Je peux imaginer que ce genre de recherches mathématiques n'intéresse qu'un nombre limité de personnes. J'imagine aussi que l'utilité de tels calculs échappe à l'entendement du citoyen lambda.

Mais il paraît que les mathématiques, ce peut être "beau". Alors pourquoi se priver ?

Écrit par : Michel Sommer | 15/12/2014

oooooo, moi je trouve ça intéressant, et j'essaie toujours de comprendre....ça m'instruit :=)) et je ne suis pas mathématicien....

Écrit par : bof | 30/05/2015

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