21/12/2014

L'identité d'Euler, manifeste du génie helvétique?

 

euler_t_shirt.jpgOn la retrouve sur des tee shirts. Elle se décline sur des sacs. euler_sac.jpg


Et même des coques de smartphones.

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Et sur toutes sortes d’autres objets comme ici sur ce "gobelet" à café.

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Elle, c’est l’identité d‘Euler, l’une des formules les plus célèbres et les plus belles de toute l’histoire des maths. La voici en dehors de tout support:

Capture d’écran 2014-12-21 à 17.33.01.png

C’est le Bâlois Leonhard Euler (1707 – 1783) qui l’a découverte et l’a mentionnée dans un ouvrage paru en 1748, sans vraiment la démontrer. Ce qu’il y a évidemment de remarquable dans cette égalité a priori très simple, c’est la coprésence de cinq constantes mathématiques fondamentales. Voyons plutôt.

0 et 1 sont les éléments neutres respectifs de l’addition et de la multiplication.

Pi ou π est un nombre transcendant désignant le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. Rappelons qu’un nombre est dit transcendant s’il n’est racine d’aucun polynome à coefficients entiers.

e est la base du logarithme naturel et se caractérise par la relation ln(e) = 1. Tout comme π, il s’agit d’un nombre transcendant.

Quant à i, racine carrée de – 1, c’est l’unité imaginaire servant de base à la construction des nombres complexes.

La relation qu’établit Euler entre ces cinq nombres utilise par ailleurs trois opérations fondamentales, l’addition, la multiplication et l’exponentiation. L’identité d’Euler peut se démontrer de plusieurs manières et bizarrement de façon assez aisée. En géométrie, on peut l’établir par la juxtaposition de triangles rectangles. En analyse complexe, on déduit qu'elle est un cas particulier de la formule suivante (dans laquelle apparaissent les fonctions trigonométriques sinus et cosinus)

mathrm e^{mathrm ix} = cos x + mathrm i sin x ,!

et, grâce à différentes égalités déductibles des séries de Taylor, dont voici un exemple,

Capture d’écran 2014-12-21 à 17.45.15.png

on peut démontrer l'identité via des calculs et injections que je ne reproduirai pas ici pour ne pas alourdir ce billet.

D’Euler, déjà mentionné dans plusieurs billets maths (et notamment dans celui dédié au théorème des nombres premiers), il sera évidemment fréquemment question dans de futurs billets. Il reste l’un des scientifiques les plus grands et les plus prolifiques de tous les temps. Son apport dans des branches aussi variées que le calcul infinitésimal, l’analyse mathématique, la théorie des graphes ou, en physique, la dynamique des fluides et l’astronomie, font de lui l’un des Suisses les plus célèbres à travers l’histoire. Et vous l’avez tous tenu entre vos mains. Souvenez-vous de nos anciens billets de dix francs. C’est Euler qui est dessus.

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17:59 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (2) | |  Facebook | | | |

Commentaires

Monsieur Gavillet,

Vous faites tout pour rendre le sujet incompréhensible aux néophytes. Quant aux autres, ils n'ont évidemment rien à apprendre.

Qu'est-ce que vaut, par exemple, rien que cette phrase "Ce qu’il y a évidemment de remarquable dans cette égalité a priori très simple, c’est la coprésence de CINQ constantes mathématiques fondamentales".

Il suffit juste de faire passer « 1 » à droite avec le signe "moins" pour n'en laisser que QUATRE (constantes): e puissance i*pi = -1.

Cela ne relève jamais de fondamental, ce genre de comportement.

En réalité, et vous oubliez d'en parler, l'essentiel de toute cette histoire se niche dans la formule d'Euler:

e puissance i*x = cos (x) + i * sin (x), dont l'identité d'Euler est un cas particulier qu'on obtient quand x est égale à pi.

Vous traitez cette formule fondamentale, formule qui lie (!) les fonctions trigonométriques avec l'EXPONENTIATION juste comme une banale égalité trigonométrique (ce qui est formellement faux et déroutant pour les néophytes) par laquelle "transite" une démonstration de l'identité d'Euler.

Et elle se trouve là toute la beauté des mathématiques: dans les découvertes(*) des liaisons entre des objets (mathématiques) connus qui nous permettent de mieux comprendre la nature même de ces objets et parfois (et là c'est un véritable Graal) de voir qu'il s'agit en réalité d'un objet supérieur, plus riche dont les objets étudiés et connus avant ne sont que des projections.

En l'occurrence, c'est la fonction d'exponentiation mais définie dans son domaine naturel et canonique de TOUS les nombres complexes, qui joue le rôle d'un tel objet supérieur. Car la formule d'Euler est vraie aussi pour tous les nombres complexes z:

e puissance i * z = cos (z) + i * sin(z), ce qui est équivaut à l'ensemble de deux égalités:

cos ( z ) = ( e puissance (i*z) + e puissance (- i*z) ) / 2 et
sin (z ) = (e puissance ( i * z) - e puissance ( - i*z) ) / (2*i)

Les fonctions trigonométriques sont une face cachée d'exponentiation. Mais pour le comprendre il fallait d'abord découvrir les nombres complexes – je pense, la découverte la plus fondamentale dans l'histoire des mathématiques.

La clé de l'énigme est dans l'« extension du domaine de la lutte » de l'ensemble des nombre réels à l'ensemble des nombres complexes.

Mais tout ça n'enlève en rien à l'essentiel de votre sujet de blog: «... Euler, manifeste du génie helvétique... »


(*) J'adopte l'approche d'Alain Connes concernant l'ontologie des objets mathématiques. Cf « Matière à pensée » par Jean-Pierre Changeux et Alain Connes http://books.google.fr/books/about/Mati%C3%A8re_%C3%A0_pens%C3%A9e.html?hl=fr&id=8XGAAcEstZ4C

Écrit par : vlad | 21/12/2014

Merci de votre commentaire.
Ce billet était avant tout destiné à rappeler qui est Euler et montrer que sa célèbre identité, en se déclinant toujours aujourd'hui sur différents supports, dépasse son cadre mathématique. Il est vrai que je n'ai fait que survoler la formule d'Euler, e puissance ix = cos (x) + i sin (x), dont la fameuse identité est un cas particulier. Je pense y revenir dans un billet futur. Mais c'est justement parce que c'est précisément ce cas particulier (e puissance iπ + 1 = 0) qui se décline sur toutes sortes d'objets.
Je vais par ailleurs me procurer l'ouvrage que vous mentionnez, ne l'ayant jamais lu.
Cordialement

Écrit par : Pascal Gavillet | 21/12/2014

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