25/01/2015

Qui a peur de la théorie des groupes?

 

 

rubiks.jpgLes applications de la théorie des groupes sont aussi multiples que variées. Il y a même peu de domaines scientifiques dans lesquels elle n’apparaît pas. En physique théorique (dans l’électrodynamique classique), en chimie (dans le calcul des orbitales moléculaires), et même dans certains jeux, comme ci-dessus le célèbre Rubik’s Cube et ses permutations, la théorie des groupes est partout. Elle intervient également dans pratiquement tous les domaines mathématiques, ce qui rend souvent son étude malaisée, pour ne pas dire compliquée. Cela dit, son étude va des groupes les plus simples aux plus complexes. Le théorème de la classification des groupes simples demeure pourtant l’un des plus longs de l’histoire des mathématiques (lire à la fin de ce billet).

A l’origine, la notion de groupe a commencé à être utilisée car elle était pratique pour la résolution d’équations. Puis les groupes ont trouvé des implications dans la géométrie, avant de s’imposer comme une discipline à part entière. Mais qu’est-ce qu’un groupe, justement ? On peut y répondre en une phrase : il s’agit d’un ensemble muni d’une loi de composition interne associative avec un élément neutre et un symétrique pour chacun de ses éléments. Détaillons tout cela.

Prenons un ensemble quelconque, noté G, et munissons-le d’une loi de composition elle aussi quelconque, notée ●. La structure algébrique (G, ●) est un groupe si elle satisfait les quatre conditions ou propriétés suivantes (parfois dénommés axiomes sous une présentation plus formelle).

i) ● est une opération de G dans G lorsque deux éléments de cet ensemble, a et b, permettent toujours de déterminer un troisième élément, c, qui se trouve lui aussi dans G.

Ainsi, a, b G, on a :

a b = c avec c G.

Voilà pourquoi ● est dite loi de composition interne.

ii) Il existe un élément n de G qui vérifie l’égalité suivante pour tous les éléments de G (soit a G) :

n ● a = a ● n = a.

On appelle n l’élément neutre.

iii) Pour tout élément a de G, il existe un élément inverse – notons le a’ – tel que:

a a’ = n.

iv) Enfin, tous les éléments de G satisfont la propriété associative que voici :

(a ● b) ● c = a ● (b ●c).

Par ailleurs, un groupe est dit commutatif, ou abélien, s’il satisfait la propriété suivante, pour tous ses éléments :

a ● b = b ● a.

Quelques exemples aideront à mieux comprendre la notion de groupe. Z, l’ensemble des nombres entiers relatifs, muni de l’addition, est ainsi un groupe (infini) qu’on note (Z, +). Son élément neutre est le 0 et son élément inverse (ou ici opposé), pour tout pZ, est noté – p. Ainsi, p + ( p) = ( p) + p = 0, ce qu’on peut écrire plus simplement par p p = 0.

Dans la même logique, l’ensemble des nombres réels sans le zéro est un groupe (lui aussi infini) avec la multiplication noté (ℝ*, x). 1 est son élément neutre et 1/y son élément inverse pour tout y dans ℝ*. Autre exemple de groupe, là encore infini, celui des symétries d’un cercle de centre c, qui est en réalité un polygone à n côtés avec n tendant vers l’infini ().

Ces bases ne sont que les prémisses de la théorie des groupes, qui se développe ensuite avec les notions de sous-groupes, de groupes quotients ou d’isomorphismes (etc.), dont je parlerai peut-être un jour. Aujourd’hui, ce qu’on appelle les «groupes simples», c’est-à-dire ceux qui permettent de construire tous les autres, ont tous été identifiés. Quant à la démonstration complète de leur structure, elle se nomme le «théorème monstrueux». Et c’est loin d’être un euphémisme. La première rédaction de cette démonstration occupait en effet entre 10 000 et 15 000 pages. Au XXe siècle, elle a été réduite à 6 000. J’en reparlerai dans un prochain billet qui sera dédié au «monstre», The Monster, appellation d’un groupe fini, simple et non abélien qui contient plus d’éléments qu’il n’existe d’atomes dans tout l’univers !

20:12 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (4) | |  Facebook | | | |

Commentaires

Bonsoir M. Gavaillet,

Probablement, celui qui a aura le plus peur de la théorie des groupes est un mauvais collégien qui n'aime pas l'algèbre linéaire élémentaire.

un bon lien pour votre révision en algèbre linéaire :

http://math.bibop.ch/1e/ch6-algebre/plus-de-ressources-sur-le-ch6

bonne révision et bien à vous !

Écrit par : pph | 25/01/2015

Monsieur Gavaillet,

Je trouve regrettable que vous n'ayez même pas pu mentionner le nom d'Évariste Galois et le rôle qu'il avait joué dans la genèse de la notion du groupe.

"A l’origine, la notion de groupe a commencé à être utilisée car elle était pratique pour la résolution d’équations" - un peu maigrichon pour un texte de la vulgarisation mathématique.

Bien à vous

Écrit par : vlad | 29/01/2015

Il est vrai. J'avais prévu de citer Galois avec une photo, mais cela rallongeait trop le texte de départ à mon sens. Je lui consacrerai un billet dans l'année, de toute façon.
Bien à vous

Écrit par : Pascal Gavillet | 29/01/2015

Toutes mes excuses d'avoir involontairement déformé votre nom, Pascal Gavillet.

Écrit par : vlad | 29/01/2015

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