01/02/2015

Le nombre 153 est-il divin?

 

poissons.jpgDaté de 1444, ce tableau de Konrad Witz s’intitule La Pêche miraculeuse. Exposé au Musée d’Art et d’Histoire de Genève, il représente un épisode de l’Evangile selon Jean (Jean 21 : 1 – 24), celui de la pêche miraculeuse de Saint-Pierre, qui ramène 153 gros poissons à Jésus et à ses disciples. Très peu de nombres sont cités dans la Bible. 153 en fait partie. De nombreuses interprétations exégétiques existent à son propos. Tel n’est pas aujourd’hui le sujet de mon billet, dans lequel je vous propose d’observer les curieuses et innombrables propriétés d’un nombre qui semble cacher bien des mystères.

1) Tout d’abord, 153 est la somme de tous les entiers de 1 à 17. Cela fait de lui un nombre triangulaire, le 17ème, comme l’illustre le schéma ci-dessous, chaque ligne représentant successivement les nombres 1 à 17. triangle.jpg

Les nombres triangulaires ont tous cette forme:


Capture d’écran 2015-02-01 à 18.07.51.png





Ils possèdent diverses propriétés. Je me contenterais d’en citer une. En 1638, Fermat affirma que tout entier était somme de trois nombres triangulaires (à condition de considérer 0 comme un nombre triangulaire). Gauss prouva cette décomposition en 1796. En voici le résultat, relativement aisé à vérifier (M désigne un entier positif; x, y et z trois entiers; et l'équation utilise par ailleurs le théorème des trois carrés de Legendre, lequel induit que tout entier positif congru à 3 modulo 8 est la somme de trois carrés parfaits) :

Capture d’écran 2015-02-01 à 18.09.41.png



2) 153 est également un nombre hexagonal, le 9ème, ceux-ci étant en fait les nombres triangulaires d’indices impairs.

3) Ensuite, 153 est égal à la somme des factorielles des entiers de 1 à 5. Rappelons que la factorielle d’un entier naturel n est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Exemple, la factorielle de 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720. On note ce nombre 6 ! On voit donc clairement que

153 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! + 5 !

4) 153 est également divisible par la somme de ses chiffres. Soit 1 + 5 + 3 = 9. Et 9 x 17 = 153. On appelle ces nombres les nombres Harshad, terme sanskrit qui signifie «grande joie».

5) On peut encore écrire 153 sous la forme 153 = 3 x 51. Ce qui fait de lui un nombre de Friedman, soit un entier qui est le résultat d’une combinaison de tous ses chiffres dans une base donnée avec l’une ou l’autre des opérations élémentaires.

6) 153 est encore un nombre narcissique, c’est-à-dire un nombre égal à la somme des puissances p-ièmes de ses chiffres, p désignant le nombre de chiffres de n. A titre d’information, en voici la formulation mathématique.

Capture d’écran 2015-02-01 à 18.28.51.png

 





Plus simplement, 153 est 3-narcissique car 153 = 13 + 53 + 33.

7) Plus surprenant, prenons à présent au hasard n’importe quel multiple de 3, par exemple 7065. Elevons chacun de ses chiffres au cube, additionnons-les, puis répétons chaque fois la même opération avec le résultat de cette addition.

73 + 03 + 63 + 53 = 343 + 0 + 216 + 125 = 684

63 + 83 + 43 = 216 + 512 + 64 = 792

73 + 93 + 23 = 343 + 729 + 8 = 1080

13 + 03 + 83 + 03 = 1 + 0 + 512 + 0 = 513

53 + 13 + 33 = 125 + 1 + 27 = 153

On constate qu’on obtient 153 après un certain nombre de fois. Vous pouvez de votre côté tenter l’expérience avec n’importe quel multiple de 3, aussi grand soit-il. La série finira immanquablement par 153.

Miracle ? Je vous laisse juge. Car le 153 possède de nombreuses autres propriétés sur lesquelles je reviendrai un jour.

19:14 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (5) | |  Facebook | | | |

Commentaires

J'adore...:=))

Écrit par : bb | 02/02/2015

Merci!

Écrit par : Pascal Gavillet | 02/02/2015

Bonsoir,

Voila un bon exemple pour illustrer la différence qui existe entre le chiffre et le nombre. Certes 153 est bien le 17eme nb triangulaire; mais c'est également le nombre de liens binaires qu'il est possible de créer parmi 18 éléments.

Le nombre 18 est le 4eme nb hexagonal (1 ~ 6 ~ 12 ~ 18).

Le nombre 666 correspond au nombre de liens binaires qu'il est possible de créer parmi 37 éléments.

Le nombre 37 est le 4eme nb hexagonal centré (1 ~ 7 ~ 19 ~ 37).

Le nombre 2016 correspond au nombre de liens binaires qu'il est possible de créer parmi 64 éléments.

Le nombre 64 est le 4eme nb cubique (1 ~ 8 ~ 27 ~ 64).

37, 4eme nb hexagonal centré s'obtient par l'addition de 4 premiers nombres hexagonaux : 37 = 1 + 6 + 12 + 18

64, 4eme nb cubique s'obtient par l'addition de 4 premiers nombres hexagonaux centrés : 37 = 1 + 6 + 12 + 18

Etonnant non !

Écrit par : Christophe Genty | 02/02/2015

Bonsoir,

Voila un bon exemple pour illustrer la différence qui existe entre le chiffre et le nombre. Certes 153 est bien le 17eme nb triangulaire; mais c'est également le nombre de liens binaires qu'il est possible de créer parmi 18 éléments.

Le nombre 18 est le 4eme nb hexagonal (1 ~ 6 ~ 12 ~ 18).

Le nombre 666 correspond au nombre de liens binaires qu'il est possible de créer parmi 37 éléments.

Le nombre 37 est le 4eme nb hexagonal centré (1 ~ 7 ~ 19 ~ 37).

Le nombre 2016 correspond au nombre de liens binaires qu'il est possible de créer parmi 64 éléments.

Le nombre 64 est le 4eme nb cubique (1 ~ 8 ~ 27 ~ 64).

37, 4eme nb hexagonal centré s'obtient par l'addition de 4 premiers nombres hexagonaux : 37 = 1 + 6 + 12 + 18

64, 4eme nb cubique s'obtient par l'addition de 4 premiers nombres hexagonaux centrés : 37 = 1 + 6 + 12 + 18

Etonnant non !

Écrit par : Christophe Genty | 02/02/2015

Bonsoir

N'oubliez pas les fameux SATOR et AREPO ;)

Écrit par : keren dispa | 02/02/2015

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