02/03/2015

Théorème de Green-Tao, quelles perspectives?

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Voici un tableau constellé de points noirs. Ce sont des pixels. Ils représentent les nombres entre 1 et 76800. Un pixel noir désigne un nombre premier et un blanc un nombre qui n’est pas premier. Impossible, bien sûr, d’en tirer matière immédiate à déduction. Les nombres premiers semblent y apparaître de manière irrégulière, même si leur distribution (asymptotique) peut être énoncée par une formule et un théorème dont j’avais parlé il y a quelques mois (lisible ici).

Intéressons-nous aujourd’hui à un théorème qui valut de nombreux prix à ses deux auteurs, l’Anglais Ben Green et l’Australien Terence Tao. Il s’agit du théorème de Green-Tao. Il peut s’énoncer ainsi : «La suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues. »

Voyons cela de plus près et attardons-nous d’abord sur la notion de suite arithmétique, qui fait intervenir la notion d’écart entre nombres. En voici un exemple simple: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... On aura reconnu là la suite des nombres impairs. On dit qu’elle est arithmétique de raison 2, car l’écart entre chaque nombre successif est justement de 2. Chaque terme permet ici de déduire le suivant en lui ajoutant une constante (appelée raison).

Au XVIIIe siècle, Legendre (1752 – 1833) avait conjecturé que lorsque le premier terme d’une suite et sa raison sont premiers entre eux, en d’autres termes qu’ils n’ont pas de diviseurs communs, la suite contient alors une infinité de nombres premiers. Si l’exemple donné ci-dessus est évident, d’autres le sont un peu moins. Tel celui-ci : 4, 7, 10, 13, 16, 19, … qui est de raison 3 et de premier terme 4. Elle contient pourtant elle aussi une infinité de nombres premiers. C’est finalement Dirichlet (1805 – 1859), au XIXe siècle, qui a démontré le théorème, plus connu sous le nom de théorème de la progression arithmétique.  Sa démonstration sera même à la base de la théorie analytique des nombres.

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Le théorème de Green-Tao (photos ci-dessus) est une généralisation de celui de Dirichlet. Et consiste à se demander si on peut trouver des suites arithmétiques finies, mais de longueur arbitrairement grande, constituées uniquement de nombres premiers. Exemple : 3, 5, 7 est une suite de raison 2 et de longueur 3 constituée uniquement de premiers. Idem pour 5, 11, 17, 23, 29 (raison 6, longueur 5) et pour 7, 37, 67, 97, 127, 157 (raison 30, longueur 6). Green et Tao ont ainsi prouvé, en 2004, qu’on peut trouver de telles suites d’une longueur aussi grande qu’on le souhaite. En revanche, leur théorème ne dit pas comment les construire et établit seulement qu’une progression de longueur k existe avec des entiers tous plus petits que :

Capture d’écran 2015-03-02 à 20.41.44.pngImpressionnant!

Reste aujourd’hui à augmenter la longueur de la suite, diminuer la raison pour une longueur donnée et jouer sur la taille du premier terme. A ce jour, la plus longue suite connue a été trouvée en 2010 (par Benoît Perichon via PrimeGrid, projet de calcul distribué pour la recherche des nombres premiers) et est constituée de 26 termes. La voici :

Capture d’écran 2015-03-02 à 20.42.57.pngLa variable n désigne ici un entier allant de 0 à 25 et P(23) est la primorielle de 23, soit le produit, parfois noté P !! (donc à ne pas confondre avec la factorielle), de tous les nombres premiers qui le précèdent avec lui-même.

Deux mathématiciens en ont trouvé deux autres de même longueur en 2012 et 2014. Des records qui devraient tôt ou tard être battus.

 

20:57 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

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