16/03/2015

Les hypercubes sont-ils solubles dans la géométrie euclidienne?

Futuroscope.jpgFilms Imax, 3D ou 4D furent parmi les premières attractions du Futuroscope de Poitiers. Voici l’un des pavillons de ce parc de loisirs. Sa forme ne représente pas un cube, mais un hypercube. Plus précisément un hypercube quadridimensionnel, c’est-à-dire de dimension 4, ou Tesseract. De telles figures ne sont pas rares en géométrie, et on peut ainsi en construire et en concevoir dans toutes les dimensions désirées. Les hypercubes de dimension 0, 1, 2 et 3 sont bien sûr les plus fréquents.  Il s’agit respectivement du point, du digone, du carré et du cube. Seul le digone peut paraître moins familier. Il s’agit d’un polygone dégénéré avec deux côtés et deux sommets. Géométriquement, on peut le représenter par un segment de droite.

Mais pour construire un hypercube, que faut-il faire ? Réponse assez simple. Il faut pour cela opérer une translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire à ses propres dimensions. Ainsi du point (0-cube) au digone (1-cube). Puis du digone (1-cube) au carré (2-cube) et de ce dernier au cube (3-cube). Mais au-delà ? Eh bien, c’est pareil. Et on obtient ainsi un Tesseract, soit un hypercube de dimension 4 dont chaque face est à son tour constituée d’un cube, tel que ci-dessous.Capture d’écran 2015-03-16 à 20.15.30.png

Il possède 16 sommets, 32 arêtes et 24 faces planes, et il est limité par 8 hyperplans. Plus simplement, le Tesseract est au cube ce que le cube est au carré.

Mais on peut évidemment aller plus loin que quatre dimensions. Et tout cela se généralise et se calcule.  Un hypercube à n dimensions possède ainsi 2n sommets et n × 2n-1 arêtes. Et le nombre de faces à k dimensions d’un hypercube à n dimensions peut se déterminer par cette jolie formule :

Capture d’écran 2015-03-16 à 20.26.53.pngReprésenter ces figures est en revanche un peu plus complexe. En voici pourtant quelques unes, sous forme de graphes.

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Leurs noms ne sont pas moins séduisants : Penteract, Hexeract, Hepteract, Octeract et Ennéneract (soit respectivement de 5,6,7,8 et 9 dimensions). Enfin, de nombreuses représentations filmées de ces objets sont disponibles sur le net. En voici une tout à fait plaisante :


 

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