03/04/2015

Nombres premiers jumeaux: quel rôle joue la constante de Brun?

Prime-Spiral-Flower.jpgCette belle spirale de nombres premiers présente par endroits des aspects plus ou moins réguliers qui devraient nous interpeller. Il existe des dizaines de graphiques analogues - spirales d'Ulam ou de Sacks, et j'en reparlerai un jour dans un autre billet - mais on ne peut en tirer aucune preuve scientifique. On sait qu'il y a une infinité de nombres premiers, on ne sait toujours pas s'il y a une infinité de premiers jumeaux, conjecture qui était d'ailleurs le sujet de mon premier billet maths de ce blog (consultable ici). Mais si les travaux de Zhang ont permis de faire un bond de géant en direction de la démonstration de la conjecture, on peut aussi observer le problème par un autre chemin. Par exemple en observant la série des inverses des nombres premiers jumeaux. En voici la formule, aisée à comprendre:

Capture d’écran 2015-04-03 à 17.31.00.pngLe P majuscule y désigne l'ensemble des nombres premiers. C'est le mathématicien norvégien Viggo Brun (1885 - 1978) qui remarqua que la série était convergente, autrement dit qu'elle admet une limite lorsqu'elle tend vers l'infini. Du nom de son découvreur, cette limite est appelée constante de Brun, parfois notée B2. Selon de récentes estimations, la valeur de B2, extrêmement dure à calculer au-delà de neuf décimales, est à peu près de 1,90216 05831 04, nombre obtenu en 2002 en utilisant tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10 16. Voici ci-dessous le détail de son estimation pour plusieurs puissances de dix successives.

Capture d’écran 2015-04-03 à 17.51.16.pngNotons que contrairement à la série des inverses des jumeaux, la série des inverses des nombres premiers est divergente, ce qui établit leur infinitude, même si aisée à démontrer sans cela. En d'autres termes, si la série des inverses des jumeaux avait été divergente, cela aurait permis de prouver la conjecture des nombres premiers jumeaux. Aujourd'hui, les plus grands nombres premiers jumeaux sont énormes. En voici quelques-uns, avec le nom de leurs découvreurs à droite.

Capture d’écran 2015-04-03 à 17.54.07.png

La dernière paire de la liste contient plus de 32000 chiffres. Et concernant la constante de Brun, B2, on ne sait toujours pas aujourd'hui de quel type de nombre il s'agit. Mais à l'instar de Pi ou e, il est probablement transcendant.

 

18:05 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (2) | |  Facebook | | | |

Commentaires

Pour que le nombre de Brun soit transcendant -même seulement irrationnel- il faut déjà qu'il y ait une infinité des nombres premiers jumeaux.

La question de rationalité ou non rationalité de ce nombre nous invite sur les terres mal connues jusqu'ici, celles de la philosophie de l'infini dans les mathématiques.

S'il existe seulement le nombre fini des jumeaux, alors B2 est évidemment rationnel. L'inverse n'est pas forcement vrai: si B2 est rationnel, cela ne veut pas dire qu'il existe le nombre fini des jumeaux.

Une autre information genre « Da Vinci Code » est à rechercher dans la décomposition en facteurs premiers des nombres « coincés » entre les deux jumeaux.

Comme par exemple, 822 = 6 × 137 = 2 × 3 × 137 avec les jumeaux l'entourant 821 et 823.

(ces nombres sont toujours divisibles par 6, c'est simple à démontrer).

Pour le couple des jumeaux juste au-dessous, on a 810 = 6 × 3 × 3 × 3 × 5 etc. Quels sont les premiers qui apparaissent dans ces décompositions et quelle est la L/loi qui les régi, ça pourrait être un vrai défi du troisième millénaire pour les mathématiques…

Ça n'engage à pas grand-chose juste de faire quelques expériences amusantes.
Ainsi votre exemple cité du nombre « entre jumeaux », exemple proposé par des Underbakke & Carmody, 2001, donnerait la décomposition suivante:

318 032 361 × (2 puissance 107 001) = 6 × (2 puissance 107 000) × 3 × 59 × 598931

(sauf erreur de ma part)

Écrit par : vlad | 05/04/2015

Merci pour ce passionnant commentaire. En effet, observer la décomposition de ces nombres "coincés" pourrait déboucher sur quelque chose. Ils sont bien tous de la forme 6k, les premiers étant eux-même tous de la forme 6k ± 1 (avec réciproque fausse, bien sûr). Il faudrait regarder ces décompositions avec tous les jumeaux successifs et regarder quels premiers sont les facteurs de k.
Je planche également, pour un futur billet, sur les écarts successifs entre premiers. De plus en plus grands, forcément (même si le 2 y apparaît toujours, ce qui dans le cas contraire infirmerait la conjecture des jumeaux), ils semblent dotés de certaines propriétés en rapport avec factorielles et primorielles.
Et concernant la transcendance (ou non) de B2, je me disais, de manière tout à fait intuitive (n'ayant pas les bagages suffisants pour aller plus loin) que l'une des conséquences de la démonstration de l'hypothèse de Riemann serait peut-être d'établir que B2 n'est pas transcendant, même si infinité de jumeaux il y a.

Écrit par : Pascal Gavillet | 05/04/2015

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