12/04/2015

Des deux conjectures de Hardy-Littlewood, laquelle est fausse?

 

hardy.jpgCes deux graphiques colorés, séduisants mais complexes, illustrent la seconde conjecture de Hardy-Littlewood, ainsi nommée d’après le patronyme de ses deux découvreurs au début du XXe siècle. Il existe en réalité deux conjectures de Hardy-Littlewood. Mais si la première est vraie, l’autre pas. Paradoxe ? Pas tant que ça, même si le problème demeure aujourd’hui ouvert. Je vais tenter de le résumer brièvement dans ce nouveau billet.

Il en va en effet des conjectures mathématiques comme de tout. Pour prouver leur véracité, il faut démontrer qu’elles sont valables (vraies) pour n’importe quel élément jusqu’à l’infini. En revanche, un seul contre-exemple peut suffire à prouver leur fausseté. Il y a des cas demeurés célèbres de conjectures ou hypothèses qui étaient finalement fausses, mais ce sera le sujet d’un prochain billet. Il y a également des cas où elles sont indécidables, telle l’hypothèse du continu de Georg Cantor (lire ici).

Mais revenons à Hardy et Littlewood. Leurs conjectures concernent les nombres premiers. La première n’est pas aisée à expliquer et son cas particulier, qui rejoint la conjecture des nombres premiers jumeaux, va permettre de préparer le terrain. Dans ce cas particulier, si on prend le couple (0, 2), on conjecture qu’il existe une infinité de p tels que (p, p+2) soient premiers. Généralisons cela à (0, K). On suppose dès lors que pour toute valeur de K paire, la conjecture est vraie. Mais aucune de ces conjectures n’est démontrée à l’heure actuelle, sauf pour le cas K = 70 millions, démontré par Yitang Zhang en 2013 (lire ici).

Continuons le raisonnement au-delà des jumeaux, et considérons des triplés comme (0, 2, 6). On peut alors aussi conjecturer qu’il existe une infinité de p tels que (p, p + 2, p + 6) soient premiers. Sur ces bases, on peut encore généraliser avec n’importe quelle suite croissante de K nombres, suite désignée sous l’appellation de K-uplet et qu’on peut ainsi noter (0, a2, a3, … , ak).

Peut-on cette fois conjecturer qu’il existe une infinité de p tels que (p, p + a2, p + a3, … , p  + ak) soient tous premiers ? Peut-être, mais n’allons pas trop vite. Car d’évidence, certains K-uplets ne sont pas admissibles (exemple basique avec le triplet (0, 2, 4)). (Pour qu’un K-uplet soit admissible, il faut en fait que pour tout p, il ne contienne pas les restes possibles modulo p.) Le dernier terme du K-uplet, qui est également son plus grand nombre, est appelé son diamètre. Ceux avec les plus petits diamètres s’avèrent les plus intéressants. Et on nomme constellation un K-uplet admissible de diamètre minimal. Tout cela me permet enfin d’énoncer la première conjecture de Hardy-Littlewood : pour toute constellation (0, a2, a3, … , ak), il existe une infinité de nombres p tels que (p, p + a2, p +  a3, … , p  + ak) soient tous premiers.  Et la répartition des nombres p pour lesquels la conjecture marche suit une progression asymptotique. A titre purement indicatif, en voici la formulation :

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avec

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La seconde conjecture de Hardy-Littlewood est nettement plus aisée à comprendre. Considérons un nombre N pris au hasard. La conjecture stipule que si on compte les nombres premiers apparaissant entre 0 et N, il y en aura toujours plus que dans n’importe quel intervalle de longueur N. Elle peut également s’écrire de manière plus formelle - avec l’expression ∏(N), qui désigne la quantité de premiers entre 0 et N – ainsi :

Capture d’écran 2015-04-12 à 19.03.39.pnget cela pour tout M et N supérieurs à 2.

Mais pour bon nombre de mathématiciens, cette conjecture est fausse. Et ils ont sans doute raison. Car si la première conjecture de Hardy-Littlewood était vraie, elle fournirait des contre-exemples à la seconde, qui serait alors fausse, comme l'a démontré de manière extrêmement complexe le mathématicien Ian Richards en 1974. Et pour trouver ces contre-exemples, il faudrait aller chercher entre 10174 et 101197. Bonne chance !

 

19:21 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

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