19/04/2015

L'hypothèse de Riemann sera-t-elle un jour démontrée?

riemann.jpgA l’instar de l’identité d’Euler ou de la formule d'Einstein, elle est suffisamment connue pour apparaître sur des tee-shirts comme ci-dessus. L’hypothèse de Riemann, assimilable à la quête du Graal pour une large part de la communauté mathématique, rapportera un million de dollars à celui ou celle qui la démontrera, puisqu’elle fait partie de la liste des problèmes du prix du millénaire de l’Institut Clay. Elle en est même le premier (problème). Ceux qui ont pu voir le dernier Godard, Adieu au langage, à l’affiche depuis quelques jours, ont peut-être vu que le film fait allusion, de manière très poétique et métaphorique, à l’hypothèse de Riemann. Mais de quoi s’agit-il ?

Formulée en 1859 par Bernhard Riemann (1826 – 1866), l’hypothèse affirme que la partie réelle des zéros non triviaux de la fonction zêta vaut toujours ½. Ce qui ne va guère avancer les néophytes, je le concède. Il y a environ deux mois, j’avais consacré un billet à la fonction zêta de Riemann (qu’on peut consulter ici, ce qui ne sera pas forcément inutile pour comprendre la suite). Il s’agit donc d’une somme infinie – laquelle prolonge une somme de Dirichlet pour les plus courageux – de puissances en nombres complexes dont la partie réelle est strictement supérieure à 1. En voici une formulation très simple dans laquelle les z désignent des nombres complexes (de la forme a + bi avec a,b réels et i racine carrée de – 1):

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L’hypothèse de Riemann porte sur les zéros de cette fonction, c’est-à-dire les valeurs pour lesquelles cette fonction s’annule. On peut observer rapidement que la fonction s’annule pour tout entier pair négatif (-2, - 4, - 6, etc). On les appelle des zéros triviaux, car leur calcul est relativement aisé. Mais la fonction zêta s’annule-t-elle pour d’autres valeurs que celles-ci ? La réponse est oui et il semble même que tous les nombres de la forme ½ + ia, avec a réel, satisfassent cette égalité. Mieux, ils seraient les seuls nombres la vérifiant et il n’y en aurait pas d’autres. Tous ces zéros semblent donc s’aligner sur la droite des réels ½. Mais en quoi est-ce révolutionnaire, me direz-vous (du moins si vous avez suivi jusque là) ? Eh bien simplement parce que la fonction zêta est intimement liée aux nombres premiers (il faudrait ici également évoquer les travaux du Russe Tchebychev, mais cela alourdirait considérablement un billet qui se veut synthétique), comme le rappelle ci-dessous son analogie avec le produit eulérien:

Capture d’écran 2015-04-19 à 17.56.06.pngEn d’autres termes, les zéros de la fonction zêta contrôleraient la répartition des nombres premiers. Et si elle était vraie, cette répartition suivrait la fonction Li(x), qui est la fonction logarithme intégral, laquelle en donne une meilleure approximation que x/ln(x), qui est quant à elle la fonction de compte des nombres premiers (pour davantage de précisions, jeter un œil à ce billet).

Pour faire encore plus simple, l'hypothèse de Riemann, si elle était vraie, ôterait un peu de hasard à la répartition des premiers en montrant une certaine régularité dans leur apparition. Sera-t-elle un jour démontrée ? Selon l’état des recherches depuis une vingtaine d’années (j’y reviendrai une prochaine fois), ce jour ne devrait pas être si loin. En 2004, le nombre de zéros non triviaux satisfaisant l’hypothèse était déjà supérieur à 1013. Plusieurs preuves de l’hypothèse de Riemann sont régulièrement proposées sur le net (souvent par des mathématiciens en marge des systèmes universitaires), tout comme des preuves de sa fausseté. Aucune d’entre elles n’a à ce jour reçu l’aval de la communauté mathématique.

 

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Commentaires

A propos du Graal pour son apparition il faut que les Chevaliers pensent à tout autre chose sans quoi, en cas d'entêtement... peine perdue.

Écrit par : Myriam Belakovsky | 19/04/2015

le Graal ? mais il se trouve peut-être parmi les déchets à recycler allez savoir et c'est justement pour le retrouver que certains ont eut l'idée de créer des éco-points mais vite démontés car en zone non constructible et ce sont des avocats qui ont obligé là ou de simples citoyens ne seraient jamais parvenus à se faire entendre
comme quoi un avocat dans ses relations est souvent aussi utile que le fruit lui même connu pour ses bienfaits sur la santé par et là même sur le moral

Écrit par : lovejoie | 20/04/2015

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