26/04/2015

Que nous révèlent les nombres de Mersenne?

 

nombre-premier.jpgCe timbre émis en 2004 au Liechtenstein met en vedette, en surimpression sur un motif de spirale, un très grand nombre, 213466917 – 1. Découvert en 2001, ce nombre de plus de 4 millions de chiffres est premier. Il s’agissait même alors du plus grand nombre premier jamais trouvé. Un record pourtant régulièrement battu depuis. Attardons-nous néanmoins sur ce nombre 213466917 – 1. En effet, ce n’est pas un premier comme les autres. Il s’agit d’un nombre premier de Mersenne, autrement dit un premier de la forme 2p – 1 avec p également premier. Marin Mersenne (1588 – 1648) mersenne.jpgétait un religieux français qui faisait partie de l’ordre des Minimes. Féru de philosophie et de mathématiques, il s’intéressa plus particulièrement à quatre nombres premiers connus depuis l’Antiquité et mentionnés par Euclide. Soit 3, 7, 31 et 127. Tous peuvent s’écrire sous la forme 2p – 1.

3 = 22 – 1

7 = 23 –1

31 = 25 – 1

127 = 27 – 1

On remarque tout de suite que leurs exposants donnent la liste des quatre premiers nombres premiers (2, 3, 5 et 7). Fort de cette observation, Mersenne en proposa d’autres et en fournit une liste jusqu’à l’exposant 257. Malheureusement, cette liste était fausse, car elle incluait des exposants comme 67 et 257 pour lesquels le résultat n’était pas premier. Et il en omettait par ailleurs trois avec les exposants 61, 89 et 107. Voici la liste des 20 premiers nombres de Mersenne, certains premiers, d’autres pas. On remarque très vite que si p n’est pas premier, alors 2p – 1 ne l’est pas non plus, ce qui a évidemment été démontré depuis.

Capture d’écran 2015-04-26 à 17.22.45.png

 

La sous-suite des nombres de Mersenne premiers est généralement notée M1, M2, M3,… MN. Afin de mieux comprendre, voici la notation des quatre premiers que nous avons rencontrés avant.

Capture d’écran 2015-04-26 à 17.25.39.pngContrairement à ce qu’on pourrait supposer, les premiers de Mersenne ne sont pas légion. Jusqu’en 1952, on n’en connaissait que douze. Six autres ont été découverts grâce à l’avènement des calculateurs électroniques. Et depuis, trente autres premiers de Mersenne ont surgi de l’infini, si j’ose dire. A noter qu’ils n’ont pas toujours été trouvés par ordre croissant. Voici la liste de tous les Mersenne premiers découverts jusqu’en février 2013, avec les noms de leurs découvreurs à droite du tableau.

Capture d’écran 2015-04-26 à 17.37.25.pngLe plus grand est donc M48 (soit M57885161). Y en a-t-il avant lui qui auraient été omis dans la liste et viendraient se glisser entre deux Mersenne premiers identifiés ? C'est tout à fait possible. Y en a-t-il d’autres au-delà de M48 ? On le suppose. Les nombres de Mersenne ont leur importance en théorie des nombres et chacun d’entre eux engendre un nombre dit parfait (soit un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres), sujet sur lequel j’avais écrit un précédent billet (lire ici). Et ils possèdent évidemment d’autres propriétés sur lesquelles je reviendrai une autre fois.

 

18:03 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

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