29/05/2015

Que nous racontent les nombres intouchables?

réglettes.JPGVous souvenez-vous de ces réglettes que vous avez sans doute tenues en mains à l'école enfantine? Je suis sûr que oui. Inventées en 1945, les réglettes Cuisenaire portent le nom de leur créateur, un pédagogue belge, et sont destinées à familiariser les enfants au calcul. Sur cette image, elles sont de quatre couleurs et représentent les diviseurs de 10. Soit 1, 2, 5 et 10. L'observation des diviseurs et des rapports ou propriétés qu'ils peuvent entretenir avec certains nombres a toujours intéressé les mathématiciens. Il y a quelques mois, j'avais consacré un billet aux nombres parfaits, qui sont des entiers égaux à la somme de leurs diviseurs stricts (lire ici). Rappelons qu'un diviseur strict (ou partie aliquote dans l'ancienne terminologie) d'un entier n est un diviseur de n distinct de n. Exemple: les diviseurs stricts de 15 sont 1, 3 et 5.

La définition de nombre intouchable n'est guère plus compliquée. Un nombre (entier naturel, ce que je ne préciserai plus dans la suite de ce billet) est dit intouchable s'il ne peut pas être exprimé comme la somme de tous les diviseurs stricts d'un entier donné. Cette somme inclut ainsi forcément le nombre 1, diviseur strict de tous les entiers. Un exemple sera plus parlant. 5 est intouchable, car la seule somme d'entiers strictement positifs incluant 1 est 1 + 4. Or 4 est divisible par 2. Voyons à présent un contre-exemple en reprenant le nombre 15, dont les diviseurs stricts sont 1, 3 et 5. Leur somme est égale à 9. Ce qui signifie que 9 n'est pas un nombre intouchable, tout simplement. Une fois leur définition posée, les nombres intouchables peuvent se déployer. Ils ne sont pas légion. Voici les premiers qu'on peut recenser:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658

Par déduction, on remarque vite qu'aucun nombre parfait ne peut être intouchable. Mais quelque chose d'autre frappe immédiatement au vu de cette liste. Elle ne contient, hormis 5, aucun nombre impair. S'agit-il de l'unique intouchable impair? On ne le sait pas, mais on suppose que oui, même si cette conjecture n'est toujours pas démontrée. Si elle l'était, cela signifierait que 2 et 5 sont les seuls nombres premiers intouchables. En revanche, le célèbre mathématicien hongrois Paul Erdös (1913 - 1996), sur lequel je consacrerai un billet dans le courant de l'année, a démontré qu'il existait une infinité de nombres intouchables. Depuis, des chercheurs auraient observé, à l'aide d'ordinateurs, qu'environ un tiers des nombres pairs sont intouchables, mais que la proportion décroit selon une loi qui reste à trouver. Une propriété qui semble n'avoir aucun rapport avec la taille des nombres examinés. Ces problèmes ouverts sont relativement peu traités sur les sites que j'ai pu parcourir. Leurs résolutions ouvriraient-elles d'autres perspectives? Probablement.

21:10 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

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