14/06/2015

Pourquoi certains théorèmes sont-ils hors de notre portée?

 

Bibliotheque.jpgVoyez ces magnifiques rayonnages de livres qui s’alignent. Ils ne suffiraient même pas à contenir certaines démonstrations mathématiques particulièrement longues et complexes. Ni même les décimales de Pi. En octobre 2014, on en a ainsi identifié 13 000 milliards pour ce nombre transcendant. Un record ! Mais pour les contenir toutes, il faudrait environ 6 millions de volumes de mille pages chacun. Légèrement décourageant, on va dire. Sont-elles alors stockables sur le net ? Oui, mais je vous laisse imaginer le nombre d’octets nécessaires à cela.

Venons-en à présent au cas du «théorème géant», ainsi dénommé parce que la taille de sa démonstration défie nos capacités cognitives. En théorie des groupes, il désigne la démonstration du théorème de classification des groupes finis simples. En 1980, celle-ci a été considérée comme achevée. Petit problème : elle tient sur environ 15 000 pages (soit une quinzaine d’ouvrages de mille pages chacun) et se trouve dispersée dans 500 articles rédigés par une centaine de chercheurs. Dispersée dans des revues poussiéreuses, enfouie dans des collections inaccessibles, donc quelque part menacée par l’oubli, puisque seule une frange étroite de chercheurs peut en disposer, y compris sur internet. Et cela sans parler de sa fragilité. Quel mathématicien a pu la lire entièrement ? Qu’est-ce qui garantit, au fond, qu’elle ne contient aucune erreur ?

Dans cette optique, une démonstration de seconde génération, plus simple, a été entreprise depuis par plusieurs mathématiciens. Bonheur, elle ne s’étale que sur 5 000 pages et une douzaine de volumes, dont la moitié a déjà été publiée. Oui, mais c’est encore trop, et la communauté envisage désormais une démonstration de troisième génération qui tiendrait idéalement sur mille pages.

Pour arriver à leurs fins, les mathématiciens disposent aujourd’hui sur le net de plateformes collaboratives, telle polymathprojects.org, qui leur permettent d’avancer notablement sur certains problèmes irrésolus. Le projet 8 de cette plateforme étudie par exemple les écarts entre premiers consécutifs, et par ce biais, on a pu faire un pas de géant vers la démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux (j’en ai déjà parlé dans plusieurs billets que je vous laisse redécouvrir si le cœur vous en dit). Avec un peu de chance, le théorème géant dont je parlais plus haut sera donc un jour à peu près accessible à tout le monde. Réjouissant, non ? Certes, mais il y a encore pire.

A savoir le célèbre problème de la «Discrepancy», soulevé en 1930 par le grand mathématicien hongrois Paul Erdös (1913 – 1996) et qui concerne, pour faire simple, les sous-suites d’«indice arithmétique» en théorie combinatoire des nombres. Je vous fais grâce de son énoncé (mais y reviendrai dans un prochain billet) pour ne parler que de la taille de sa preuve dans le cas K = 2. On note en effet généralement Discrep(K) la conjecture correspondant à l’entier K. Et si Discrep(1) est relativement aisée à résoudre, Discrep(2) est en revanche restée irrésolue durant 80 ans.

Sa démonstration, établie il y a peu par un ordinateur et par le travail de deux chercheurs de l’Université de Liverpool (Boris Konev et Alexei Lisitsa) via le projet Polymath, couvre 13 giga-octets ou gigabytes (soit autant que tout Wikipédia), ou, en termes d’impression, 13 000 ouvrages de 1000 pages chacun. Je n’ose imaginer ce qu’il en serait pour le cas Discrep(K) ! On s’évertue aujourd’hui à la simplifier. Ce n’est pas pour demain, ai-je envie d’ajouter.

 

18:48 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

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