04/10/2015

La conjecture d’Elliott-Halberstam, un espoir pour les maths du futur ?

premiers.pngDans la constellation des nombres premiers, l’ordre semble surgir du chaos et le hasard obéir à des règles aussi strictes que mystérieuses. Ces quatre motifs abstraits, de gauche à droite et de haut en bas, présentent successivement la suite des nombres premiers, puis ceux qui sont respectivement jumeaux, cousins et sexy – c’est-à-dire distants de deux, quatre ou six unités. (Pour des raisons que le bon sens suffit à démontrer, cette différence ne peut évidemment pas être impaire.) Décèle-t-on un ordre quelconque dans ces suites de points qui paraissent surgir sans logique les uns derrière les autres ? Pas vraiment. En irait-il de même si on agrandissait démesurément ces figures ? Peut-être. Comment progressent ces suites de nombres lorsqu’elles tendent vers l’infini et à quelle fréquence les écarts successifs entre premiers apparaissent-ils ? Même si le théorème des nombres premiers (lire ici) répond en grande partie à cette question, nous sommes encore loin d’en avoir fait le tour. Dans tous les cas, dès qu’on aborde le sujet des nombres premiers – auxquels j’ai déjà consacré un certain nombre de billets dans ce blog –, on finit tôt ou tard par buter sur un obstacle. Hypothèses, conjectures, théorèmes en attente de démonstration, énigmes, les dossiers ne manquent pas. Je vais me pencher aujourd’hui sur le cas d’une conjecture elle aussi ouverte, du moins en partie, la conjecture d’Elliott-Halberstam, qui découle d’ailleurs du théorème de la progression arithmétique – la notion de progression étant ici assurément centrale. Pour présenter cette conjecture, ou plutôt la résumer (il faudrait plus de 50 pages pour l’exposer réellement) – quitte à ce que la suite de ce billet soit malheureusement difficile et ardue pour les néophytes -, il convient de rappeler quelques notions, dans une forme très synthétique. Les voici :

1) Le théorème de la progression arithmétique : démontré par Dirichlet (1805 – 1859), il stipule que pour tous les entiers naturels différents de zéro et premiers entre eux – nommons les m et n -, il existe une infinité de premiers de la forme m + an (a étant un entier positif).

2) La fonction de compte des nombres premiers : elle désigne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x (x étant un nombre réel). On la note en général π (x), à ne pas confondre avec le nombre Pi.

3) Les congruences modulo : deux nombres entiers a et b sont dits congruents modulo n si leur différence est divisible par n, ou si le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n. Exemple : 26 est congru à 12 modulo 7 car 26 – 12 = 14, qui est un multiple de 7. De plus, 26 et 12 ont tous deux 5 comme reste lors de leur division par 7.

4) La fonction indicatrice d’Euler : il s’agit d’une fonction arithmétique qui associe, à tout entier naturel non nul n, le nombre d’entiers premiers avec n compris entre 1 et n. Elle est notée φ (n), du nom de la lettre grecque phi. Exemple : φ (8) = 4, car entre 1 et 8, les nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8.

 5) La fonction logarithme naturel ou népérien : notée ln(x), elle est la réciproque de la fonction exponentielle.

A présent que ces notions ont été évoquées, on peut tenter de définir notre conjecture. Soit π (x ; q, a), le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont congrus à a modulo q. On peut en déduire, sur la base du théorème de la progression arithmétique, l’«égalité» suivante :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.14.28.pngA dessein, j’ai écrit égalité entre guillemets. Car en effet, ce n’en est pas tout à fait une, comme l’indique le symbole d’approximation usité. En d’autres termes, l’égalité comporte une marge d’erreur. Celle-ci se calcule aisément via une autre formule où le max est considéré parmi tous les a premiers avec q :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.14.43.pngLa conjecture d’Elliott-Halberstam affirme dès lors que pour tout θ < 1, et pour tout A > 0, il existe une constante C telle que pour tout x ≥ 2 :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.19.12.pngJe disais au début de ce billet que la conjecture est un problème ouvert. Pour le cas où θ = 1, elle est fausse. Pour les cas où θ < ½, elle a été démontrée et porte le nom de théorème de Bombieri-Vinogradov, qui est par ailleurs une forme moyennée de l’hypothèse de Riemann généralisée (j’en parlerai un jour dans un billet). Mais si la conjecture était démontrée, elle aurait de nombreuses conséquences. Et notamment de montrer qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d’au plus 16 unités. En clair, on ferait un pas décisif en direction de la démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux, irrésolue depuis des millénaires.

17:33 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

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