26/10/2015

Que cache la conjecture de Legendre?

premiers entre 1 et 1049.gifS’agissant des nombres premiers, la méthode du crible d’Eratosthène (tableau ci-dessus), que je suppose connue du lecteur, reste encore l’une des plus efficaces pour déterminer leur apparition dans la suite des entiers. Le problème, c’est qu’elle est fastidieuse, donc sans portée lorsqu’on tend vers de très grands nombres. S’agissant des nombres premiers toujours, plusieurs conjectures demeurent aujourd’hui ouvertes. C’est le cas de la conjecture de Legendre (1752 – 1833), qui stipule qu’il existe un nombre premier, pour tout entier non nul n, entre n2 et (n+1)2. L’affaire a l’air simple comme bonjour, elle n’est toujours pas résolue à l’heure actuelle, même si quelques démonstrations non encore validées ont fleuri ici et là sur des forums. Une conjecture très proche, le postulat de Bertrand (1822 – 1900), affirme qu’entre un entier et son double existe toujours un nombre premier. Mais celle-ci fut démontrée, par Tchebychev (1821 – 1894) en 1852, puis plus simplement par Ramanujan (1887 – 1920) et par Paul Erdöss (1913 – 1996) au XXe siècle.

Revenons à la conjecture de Legendre. Supposons qu’elle soit vraie. Prenons alors un nombre premier de rang m, soit pm. En ce cas, n peut s’écrire [pm] + 1. On aurait donc (les calculs qui suivent sont aisés à effectuer et déduire) :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.57.37.png

Par suite, on voit que :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.58.22.pngEt en simplifiant :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.59.09.pngCe qui nous fait presque aboutir à un autre problème irrésolu, l’hypothèse de Riemann, laquelle implique, pour une constante C strictement plus grande que 0, que :

Capture d’écran 2015-10-26 à 20.00.45.pngEst-ce réellement surprenant ? Non, dans la mesure où l’hypothèse de Riemann apparaît souvent lorsqu’on étudie un peu le comportement des nombres premiers quand ceux-ci tendent vers l’infini. Et ce court billet n’est destiné qu’à rappeler les liens parfois très serrés qu’entretiennent des domaines mathématiques apparemment éloignés. Pour exemple, rêvons un instant en nous rappelant le cheminement sinueux emprunté par Andrew Wiles pour démontrer le dernier théorème de Fermat, déjà évoqué dans ce blog.

20:19 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

Les commentaires sont fermés.