21/01/2016

Découverte d'un nouveau nombre premier de Mersenne: qui dit mieux?

mersenne.jpgEn 1949, ce tank préhistorique traquait déjà les nombres premiers de Mersenne. En a–t-il trouvé ? Pas vraiment, et vu leur rareté, ce n’est guère étonnant. Mais l’algorithme nécessaire pour cette recherche fonctionnait parfaitement. On va un peu plus vite aujourd’hui, mais il a quand même fallu 31 jours à différents ordinateurs pour valider la découverte, ce 7 janvier, d’un nouveau nombre de Mersenne, qui est aussi désormais le plus grand nombre premier connu. Il s’agit de 274207281 – 1. Il est composé de 22 millions 338 618 chiffres. Il s’agit du 49e premier de Mersenne trouvé à ce jour (un classement provisoire, rien n’indique en effet qu’il n’en existe pas de plus petits qui n’aient pas encore été découverts). Et même si les grands premiers s’avèrent utiles en cryptographie, celui-ci est trop énorme pour avoir une quelconque utilité. Jusqu’alors, le plus grand premier de Mersenne, découvert en janvier 2013, totalisait 17 millions de chiffres et des poussières.

Rappelons qu’un premier de Mersenne est un nombre de la forme 2p – 1 dans lequel p est lui aussi premier. C’est le scientifique français Marin Mersenne (1588 – 1648, photo) Marin_mersenne.jpgqui fut le premier à en fournir une liste presque exacte, à quelques omissions près. Depuis, les nombres de Mersenne font l’objet de recherches approfondies en théorie des nombres. Je leur avais déjà consacré un billet détaillé qu’on peut consulter en cliquant ici. Rappelons encore que chaque premier de Mersenne engendre à son tour un nombre parfait, c’est-à-dire un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres. En effet, selon différents travaux entrepris notamment par le Suisse Euler (1707 – 1783), on sait que si 2p – 1 est premier, alors 2p-1 x (2p – 1) est parfait. Par conséquent, 274207280 x (274207281 – 1) est le plus grand nombre parfait connu à ce jour.

Mais peut-on encore aller plus loin ? Oui, vu l’infinitude des nombres premiers. En d’autres termes, le challenge est désormais de battre ce nouveau nombre obtenu, tout comme le précédent en 2013, par le professeur Curtis Cooper de l’Université du Missouri – il avait du reste déjà battu deux records dans ce domaine en 2005 et 2006 - via son logiciel relié à la plateforme du GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), installé depuis plusieurs années et pour lequel 150 000 ordinateurs sont déjà connectés. En effet, ce logiciel créé il y a vingt ans, et grâce auquel on a pu découvrir les 15 plus grands premiers de Mersenne, est téléchargeable par n’importe quels volontaires. L’objectif consiste à présent à trouver un nombre premier de plus de cent millions de chiffres. L'Electronic Frontier Foundation promet d'ailleurs une récompense de 150 000 $ à celui ou celle qui y parviendrait. Chiche ?

21:38 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

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