17/08/2016

Et si on reparlait de la conjecture de Polignac?

polignac.jpgProfitons de l'été pour se rafraîchir les méninges. Et évoquer un problème mathématique relativement aisé à comprendre, au point que mon billet pourra, pour cette fois, faire l’économie de formules. En 1851, le mathématicien français Alphonse de Polignac (1826 - 1863), fils d'un ancien ministre de Charles X et spécialiste de la théorie des nombres, publie son plus célèbre ouvrage, reprinté en 2011. Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Il y énonce une conjecture qui le fit connaître deux ans plus tôt, et dont l'énoncé est extrêmement simple. La conjecture de Polignac affirme que tout nombre pair peut s'écrire d'une infinité de manières comme la différence de deux nombres premiers consécutifs.

Nous voici donc en terrain connu. On reconnaîtra même sans peine là ces cas particuliers que sont les nombres pairs 2, 4 et 6. Lorsque l'écart entre deux premiers consécutifs est égal à 2, on parle ainsi de nombres premiers jumeaux. De cousins lorsqu'il est égal à 4 et de nombres sexy lorsque cet écart vaut 6. La conjecture stipule que ces écarts se répètent une infinité de fois pour tous les nombres pairs. Sans doute, mais comment le prouver? C'est là que tout se complique. Si le problème agite la communauté depuis plus de cent ans, les choses ne bougent pas aussi vite qu’elles le devraient.

De Polignac et de sa conjecture, il fut donc à nouveau question en mai 2013 avec la découverte majeure du Chinois Zhang Yitang, qui établit qu’il existe une infinité de premiers dont l’écart est de moins de 70 millions (7 x 107). Ecart rapidement réduit à 600 dans les mois qui suivirent par James Maynard, brillant mathématicien anglais de 29 ans, puis à 246 grâce au projet Polymath8. Et ensuite ? Ensuite, il faudrait prouver que la conjecture d’Elliot-Halberstam, dont j’avais parlé dans un précédent billet, est valide pour descendre à 12 ou 6. Et pour parvenir à 2 et prouver la conjecture des jumeaux ? Là, on ne sait trop. Il faudra sans doute repasser par la conjecture de Hardy-Littlewood, généralisation de la conjecture des jumeaux, par celle de Goldbach, qui prend in fine le problème dans un autre sens, relire tout ce qui a été écrit sur l’aride hypothèse H de Schinzel, suivre attentivement les publications de Terence Tao (l’un des plus grands mathématiciens du monde, qui plus est d’une admirable clarté), voire transiter par différentes conjectures (Bateman-Horn, Dickson) abordant le problème de la densité des nombres premiers à grands renforts de logarithmes. Tout cela sans oublier l’hypothèse de Riemann, qui n’est jamais très loin lorsqu’on évoque les premiers.

En attendant de revenir dans un prochain billet sur les écarts entre premiers (prime gaps), on peut même supposer, même si je ne le pense pas, que la conjecture de Polignac est fausse en-dessous d’un certain nombre pair, forcément inférieur à 246. Dans tous les cas, des preuves de la conjecture des jumeaux, comme des démonstrations de sa fausseté, circulent allègrement sur le net. Mais la conjecture de Polignac peut-elle être erronée ? Oui, d’autant plus qu’une autre de ses conjectures, soi-disant vérifiée jusqu’à 3 millions, qui stipulait que tout nombre impair est égal à une puissance de 2 plus un nombre premier, s’est effondrée. La proposition vaut en effet jusqu’à 125, mais s’écroule à partir de 127, nombre qu’il est impossible d’écrire sous la forme d’une puissance de 2 sommée à un premier. Le Hongrois Paul Erdös (1913 – 1996) a même démontré qu’il existe une infinité de contre-exemples à l’assertion. Preuve qu’il ne faut jamais trop se fier à son instinct en mathématiques.

 

22:04 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (3) | |  Facebook | | | |

Commentaires

« Il faudra sans doute repasser par la conjecture de Hardy-Littlewood, ..., par celle de Goldbach,...» - un vaste programme, Pascal Gavillet :-)

Merci néanmoins pour ce joli billet !

Concernant ces problèmes ouverts, mon préféré et de loin reste l'hypothèse de Riemann qui d'ailleurs fait partie des sept problèmes de millénaire. Je trouve qu'l y a une espèce de beauté presque divine dans cette dualité entre les fonctions analytiques complexes et les nombres premiers.

D'ailleurs, à mon humble avis, une compréhension et une analyse de différence entre les deux démonstrations de l'infinité des nombres premiers -la première, très élémentaire, celle d'Euclide, et la deuxième, utilisant la divergence de la série des inverses des premiers, celle d’Euler- seraient bien venues.

Enfin et sauf erreur de ma part, Terence Tao aurait dit un jour sur son magnifique blog mathématique

https://terrytao.wordpress.com/

qu'il considère le problème des jumeaux d'être beaucoup plus difficile à résoudre que l'hypothèse de Riemann.

Écrit par : Vladimir Trofimov | 18/08/2016

Merci de votre mot.
Je partage comme vous le savez votre intérêt pour l'hypothèse de Riemann, même si la conjecture des jumeaux me fait plus fréquemment cogiter.
Tao (en effet, son blog est admirable et si "aisé" à lire malgré les sujets abordés) a sans doute raison d'affirmer que la démonstration des jumeaux sera extrêmement ardue, peut-être encore plus longue à prouver que le théorème de Fermat. Si tant est que le problème des jumeaux soit non indécidable, démontrable et non erroné: mais c'est aussi par le doute qu'on avance.
Je pense aussi comme vous le suggérez à mettre en parallèle les deux démonstrations les plus célèbres de l'infinité des premiers, il me faudra juste trouver la bonne longueur et les bons raccourcis pour que le billet reste lisible.
Je viens d'étudier différentes conjectures sur les écarts entre premiers, j'espère également en faire une synthèse bientôt.
Cordialement
Pascal

Écrit par : Pascal Gavillet | 19/08/2016

Merci, Pascal et je lirai avec plaisir vos prochains billets!

Cordialement,
Vladimir

Écrit par : Vladimir Trofimov | 19/08/2016

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