30/01/2018

Votre date de naissance est-elle contenue dans un nombre premier ?

collage.jpgVous n’y échapperez pas. Oui, il existe au moins un nombre premier qui contient votre date de naissance, et un autre qui commence par elle. Mieux, il en existe une infinité de chaque. La chose n’est évidemment, on s’en doute, pas aisée à prouver, et repose sur l’association qu’on peut faire entre les nombres premiers et les nombres univers, lesquels contiennent n’importe quelle séquence de chiffres. Tout part en fait d’un théorème démontré par Dirichlet au XIXe siècle. Dans sa version simplifiée, il est facile à comprendre. Soit a et b, deux entiers. S’ils sont premiers entre eux, c’est-à-dire s’ils n’admettent aucun diviseur commun (comme 2 et 3, 11 et 21, 9 et 49, etc), alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + b. Si a et b ne sont pas premiers entre eux et possèdent des diviseurs communs, alors il existe au plus un nombre premier de la forme an + b.

C’est la généralisation du théorème de Dirichlet, établie en 1959 par le Polonais Sierpinski, qui permet de voir plus grand, si j’ose dire. En effet, si a1, a2, a3, ….., an sont des chiffres compris entre 0 et 9, et b1, b2, b3, …., bm des chiffres choisis entre 1, 3, 7 et 9 (qui sont les quatre terminaisons possibles pour un nombre premier, aussi grand soit-il), alors il existe une infinité de nombres premiers qui peuvent s’écrire en base 10 sous la forme

a1a2a3…an   …..  b1b2b3…bm.

Je vous épargne la démonstration, non sans préciser qu’entre la séquence des a et celle des b, peuvent s’intercaler bien sûr autant de chiffres qu’on veut. Car ce qui nous intéresse, c’est le corollaire direct et pratique de ce théorème. A savoir que n’importe quelle séquence de chiffres donnée est contenue dans une infinité de nombres premiers. Plus schématiquement, on trouve tout ce qu’on veut dans les nombres premiers. C’est là la définition d’un nombre univers, soit un nombre qui contient toutes les séquences de chiffres une infinité de fois. Y compris donc votre date de naissance, toutes les symphonies de Beethoven parfaitement codées, et même la Recherche de Proust elle aussi sous forme codée. Pour l’anecdote, on ignore à ce jour si toute séquence finie apparaît dans les décimales de Pi (π), donc si celui-ci est un nombre univers. En revanche, le nombre d’Erdös en est un.

Voici ses premières décimales:

0,235711131719232931374143475359........ et ainsi de suite à l’infini. Mais faut-il vraiment vous expliquer comment il se forme? Pour les lecteurs assidus de mon blog, ce sera un jeu d’enfant de le décrire et même de le continuer.

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25/01/2018

Cette éclipse qui nous passera sous le nez

Capture d’écran 2018-01-25 à 20.36.49.pngLe 31 janvier, l’éclipse de lune sera totale. Et celle-ci sera pleine. Et bleue. Et même peut-être rouge, par endroits. D’où son appellation de superlune bleue de sang. Le hic, c’est que nous ne la verrons pas. Tout simplement parce que nous ne sommes pas dans les bonnes zones d’observation pour le faire, comme l’indique cette infographie détaillant les fuseaux où l’éclipse sera visible. Le terme «lune bleue» ne se réfère d’ailleurs pas à la couleur du satellite, mais désigne une seconde pleine lune dans le même mois. En effet, il y en a usuellement 12 par année. Cette année, il faudra en compter 14, janvier et mars comportant chacun une seconde pleine lune. Quant à la prochaine éclipse de lune, vous pourrez l’admirer tranquillement le 27 juillet 2018. Voyez. Cette fois nous sommes dans la zone.

lune27.jpg

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24/01/2018

Les records mathématiques ont-ils encore un sens ?

mersenne.jpgLa nouvelle vous aura sans doute échappés, mais le 26 décembre 2017, un nouveau nombre premier de Mersenne a été découvert et validé par un certain Jonathan Pace, du Tennessee, via le projet GIMPS, qui relie d’innombrables computers – tels ceux sur cette image - à travers le monde. Il s’agirait du cinquantième premier de Mersenne, du moins si l’on émet l’hypothèse que la liste des 49 précédents n’en omet aucun dans l’intervalle. Rappelons en deux lignes qu’un nombre premier de Mersenne (du nom d’un moine français des XVIe et XVIIe siècles) est un nombre de la forme 2n – 1 avec n premier, condition nécessaire mais pas suffisante pour la primalité du nombre. On ignore s’il en existe un nombre infini.

Fin décembre, on a donc établi que M77232917, soit 277232917 – 1, était un premier de Mersenne. Il s’agit même du plus grand nombre premier détecté à ce jour. Il compte d’ailleurs 910807 chiffres de plus que le précédent record. Plus amusant, il se compose de 23249425 chiffres, il faudrait 54 jours pour l’écrire, et il s’étendrait sur 118 kilomètres de long ou 9000 pages de livre. Pour démontrer sa primalité, il a fallu environ 14 années, puis six jours de vérification intensive. Donc du courage et de la patience.

La chasse aux Mersenne continue, évidemment, et vous pouvez même télécharger un logiciel, Prime95, pour en traquer peut-être de plus grands (il y a des récompenses sous forme d’argent à la clé). Mais en même temps, une autre question se pose, fatalement. Cette chasse aux grands premiers, sachant que ne seront découverts que des nombres trop démesurés pour être manipulables, a-t-elle encore un sens ? Une utilité ? Une portée scientifique ? Ou s’agit-il de records pour des records ? D’une quête gratuite, ludique et sans enjeux ? A quoi nous sert-il de connaître ces premiers gigantesques aux millions de chiffres (ou digits) que seule leur écriture sous forme de puissances de 2 permet de manipuler avec plus ou moins d’aisance ? Sans doute à rien, même dans le domaine complexe de la cryptographie. Mais dans le domaine des nombres premiers, les mystères sont encore trop nombreux pour qu’on puisse se permettre de négliger quoi que ce soit, y compris lorsqu’il s’agit de battre des records de ce type. Les premiers de Mersenne n’ont pas encore révélé tous leurs secrets. Et si leur infinitude est conjecturable (et probable), elle s’assimile peut-être aussi à un leurre. Allez, démontrer l’un ou l’autre devrait prendre encore quelques dizaines ou centaines d’années.

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