Les nombres de Lychrel existent-ils?

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nombres2.jpgCelles et ceux qui goûtent les palindromes, ces mots qui se lisent dans les deux sens, apprécieront peut-être les constructions mathématiques qui vont suivre. D'autant plus qu'elles débouchent sur l'un de ces problèmes ouverts qui semblent nous défier pour l'éternité et qu'on peut résumer en une seule question: les nombres de Lychrel existent-ils? Mais de quoi s'agit-il? De nombres théoriques mis au jour par un certain Wade VanLandingham, qui leur a donné ce nom pour créer un presque anagramme avec le prénom de sa fiancée (Cheryl). Pour faire simple, un nombre de Lychrel est un nombre naturel qui ne peut pas former un palindrome lorsqu'on le soumet au processus itératif consistant à l'additionner à son miroir, c'est-à-dire au nombre formé par ses chiffres inversés. Un exemple clarifiera immédiatement l'affaire. Prenons un nombre au hasard: 59. Additionnons-le à son miroir, soit 95 :


59 + 95 = 154


Sur ce, on répète l'opération :


154 + 451 = 605


Jusqu'à obtenir un joli palindrome :


605 + 506 = 1111


Pour ce nombre, seules trois itérations ont été nécessaires avant d'atterrir sur un palindrome. Ce qui signifie que ni 59 ni 95 ne sont des nombres de Lychrel - ni 154, 451, 605 et 506. Mais il en faut parfois davantage (d'itérations). Avec le nombre 89, cela va un peu moins vite, puisqu'il en faut vingt-quatre. Quant au record du nombre d'itérations, ou plutôt du palindrome le plus retardé, il est détenu en ce moment par 1 186 060 307 891 929 990, qui nécessite 261 itérations avant de tomber sur un beau palindrome formé de 119 chiffres. Paradoxe, c'est un algorithme qui a permis de le découvrir, alors qu'il n'existe aucun algorithme permettant de contourner les opérations d'addition et d'inversion. Notons encore  que 80 % des nombres en dessous de 10 000 aboutissent à un palindrome en moins de 4 itérations, et environ 90 % en moins de 7.
Mais tout cela ne nous amène pas pour autant à un nombre de Lychrel. Mieux, on n'en connaît à ce jour aucun. En revanche, il y a des candidats. Soit des nombres pour lesquels cela ne marche pas. C’est-à-dire pour lesquels le processus d'itération ne semble jamais s'arrêter. Le plus petit de ces candidats est le nombre 196, qui mérite qu'on s'y attarde quelques instants. Suspecté d'être un Lychrel, 196 attire l'attention de plusieurs mathématiciens. Le 12 août 1987, John Walker lance une recherche via un programme qui vérifie les itérations et produit un rapport toutes les deux heures. Trois ans plus tard, le 24 mai 1990, le programme s'arrêtait après 2 415 836 itérations sur un nombre d'un million de chiffres. Et sans trace de palindrome.
En 1995, un certain Tim Irvin prend le relais. En trois mois, il obtient un nombre de deux millions de chiffres. Qui n'est pas un palindrome, on s'en doute. Jason Doucette continue sur la même lancée. En mai 2000, il débouche sur un nombre de 12,5 millions de chiffres. Toujours pas de palindrome en vue. C'est là qu'intervient Wade VanLandingham, bien décidé à continuer les investigations. Avec le même programme, il passe le cap des 13 millions, et le 1er mai 2006, atteint même la barre impressionnante des 300 millions de chiffres. Evidemment sans palindrome en vue. En d'autres termes, 196 a tout du parfait candidat. C'est le cas d'autres nombres, comme 887, 1495, 1497, 1945, 1947 ou 1997. Pour le moment, tous les candidats de moins de 17 chiffres ont été identifiés.
Actuellement, on est incapable de montrer pourquoi le processus d'itération ne s'arrête pas pour ces nombres-là. Du moins en base 10. Car pour certaines bases, il est prouvé que des Lychrel existent. Des tentatives de démonstration de l'existence des Lychrel en base dix fleurissent ici ou là, dont une fort intéressante qui stipule que celle-ci est due à une brisure de symétrie dans l'espace des nombres analogue à celle que l'on retrouve en physique des particules. Aucune des conjectures liées aux nombres de Lychrel n’est pour l’instant mise à prix.

Lien permanent Catégories : Mathématiques, Sciences 6 commentaires

Commentaires

  • Je suppose sans intérêt pratique mais passionnant du point de vue mathématique !
    Merci de nous l'avoir proposé.

  • @Michel, on trouve toujours un "intérêt" dans les maths, simplement que les maths ont plusieurs coups d'avance !

  • Vulgarisation bluffante, j'ai lu votre billet comme un polar. Et surmonté ma réticence pour les chiffres. Mais je termine sur l'impression que même la rigueur la plus austère des maths tend vers la vénération de l'inconnu et devient paradoxalement mystique.

  • Les nombres de Mersenne semblaient innocents pendant des siècles et les voilà utilisés partout dans les applications les plus hightech !

    Mystique ???

  • Les petits Mersenne, uniques dans leur formulation, irréductibles dans leur fausse irrégularité, sont effectivement sans doute utilisés pour alléger des fonctions algorithmiques. Les grands Mersenne ne sont pas maniables. Mais rien de mystique autour d'eux, on en débat depuis que Mersenne les a découverts (commettant même quelques erreurs). Et on en cherche toujours de nouveaux, mais le dernier a déjà plus d'une année. Merci de votre lecture.

  • Il y a aussi les nombres de Fermat !

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