Pourquoi la conjecture de Syracuse résiste-t-elle?

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syracuse2.jpgCe n'est pas la Syracuse de la chanson. Mais elle comporte de la poésie quand même - exemple dans le graphe ci-dessus -, comme dans tout ce qui résiste en mathématiques. C'est à l'université américaine de Syracuse que la conjecture, diffusée par l'algébriste Helmut Hasse, prit son nom. Exposée à l'origine par un mathématicien allemand passionné par les itérations dans les nombres entiers, Lothar Collatz, elle s'appele également conjecture de Collatz, conjecture d'Ulam, conjecture tchèque ou problème 3n + 1. Il s'agit d'une hypothèse qui stipule que pour n'importe quel entier positif, la suite de Syracuse finit par atteindre 1. Regardons de plus près. D'abord en expliquant ce qu'est la suite de Syracuse, qui se définit par récurrence de manière extrêmement simple. Soit un entier u, strictement supérieur à 0. La suite de Syracuse de ce nombre (son successeur, si vous préférez) se définit dès lors ainsi, pour tout entier naturel n.

Capture d’écran 2019-07-10 à 22.07.06.pngEn d'autres termes, si le nombre est pair, on le divise par deux. Et s'il est impair, on le multiplie par 3 en y ajoutant 1. Puis on répète ce processus itératif autant de fois que nécessaire. Jusqu'à atteindre le nombre 1, après lequel une même boucle se répète indéfiniment en un cycle de valeur 3 qu'on surnomme le cycle trivial. (1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2,...). Mais finit-on toujours par atteindre le nombre 1? Toujours, c'est-à-dire tôt ou tard? Il semble bien que oui. Réponse insatisfaisante en mathématiques. La conjecture est vraie ou fausse, à la rigueur indécidable. Dans le cas de celle de Syracuse, on a tenté de tester assez loin, jusqu'à des nombres de six milliards de milliards de chiffres. Qui tous finissent par déboucher sur le cycle trivial. Ce qui tend à prouver la véracité de la conjecture, sans toutefois la... démontrer. Il suffirait en effet d'un seul contre-exemple pour établir sa fausseté. La concernant, le célèbre mathématicien Paul Erdös affirmait: "Les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes".
C'est que le défi, qui porte sur tous les nombres jusqu'à l'infini, semble hors de portée. Même lorsqu'on tente de l'approcher par un algorithme inverse, c'est-à-dire en partant de 1 pour tenter de rejoindre tous les nombres. Même en passant par l'écriture binaire. Un vocabulaire spécifique adapté à la suite de Syracuse permet d'observer graphiquement le comportement de certains nombres et le temps qu'ils mettent, ou prennent, avant d'atterrir, littéralement, sur le nombre 1. On parle ainsi de temps de vol, d'altitude maximale et de temps de vol en altitude (certaines trajectoires sont d'ailleurs spectaculairement longues), ce qui permet parfois de formuler différemment la conjecture.
Pour que la conjecture soit fausse, il faudrait soit tomber sur un cycle autre que le cycle trivial mentionné plus haut, soit aboutir à une suite qui diverge à l'infini. Ce qui est malheureusement fort improbable (mais donc pas exclu), comme certains arguments probabilistes nous l'enseignent. Reste le cas d'un autre cycle que (1, 4, 2) pour le moment non détecté, sinon que son existence hypothétique serait une suite composée de plus de 17 milliards d'éléments! Ces deux sous-problèmes étant tout autant insolubles, nous voici revenus au point de départ. Face à une conjecture désarmante de simplicité lorsqu'on l'énonce, des dizaines de mathématiciens se sont arrachés les cheveux depuis des décennies. Et cela risque bien de continuer.

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