Hypothèse de Riemann, y aurait-il du nouveau?

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riemann.jpgLes zéros non triviaux de la fonction zêta n'ont pas fini de nous empêcher de dormir. Toujours irrésolue, l'hypothèse de Riemann, qui reste l'un des sept problèmes du millénaire, a bien failli récemment chuter de son piédestal, mais l'affaire a tourné court. Rappelons en gros en quoi consiste cette hypothèse, déjà abordée et résumée dans plusieurs billets de mon blog qu'on peut retrouver dans la section "mathématiques". Pour faire simple et concis, quitte à sauter des étapes par dizaines, la conjecture stipule que les zéros de la fonction zêta (somme infinie portant sur les inverses des nombres entiers avec des puissances en nombres complexes), c'est-à-dire les valeurs pour lesquelle cette fonction s'annule, contrôlent la répartition des nombres premiers. Si l'hypothèse était vraie, la fonction zêta permettrait alors d'estimer avec précision la distribution des nombres premiers. Vous avez à peu près suivi et surtout entrevu l'importance d'une telle démonstration, si elle a lieu un jour? En ce cas, la tentative récente pour en venir à bout peut vous intéresser.
Car, peut-être inspiré par le génie d'Andrew Wiles qui démontra Fermat il y a quelques années en passant par des outils de la théorie des nombres a priori sans grand rapport avec l'identité impossible laissée en marge d'un traité de Diophante par l'un des plus grands esprits scientifiques du XVIIe siècle, un groupe de mathématiciens a récemment repris une approche abandonnée pour démontrer Riemann. Une piste qui remonte à 1927. Cette année-là, un mathématicien hongrois avait établi une relation d'équivalence entre l'hypothèse de Riemann et un autre problème, soit l'hyperbolicité de certains polynômes dits de Jensen, qui se définissent par leur degré et leur décalage. Si leurs zéros étaient tous réels, alors ces polynômes seraient dits hyperboliques. Reste à prouver que c'est le cas. Et le souci, c'est qu'il existe une infinité de ces polynômes.
C'est donc récemment que quatre mathématiciens ont opéré une avancée en démontrant cette hyperbolicité pour une grande classe de polynômes de Jensen. Mais pas tous. Pas jusqu'à l'infini. Pire, leur approche est considérée comme trop difficile pour être généralisée et aboutir à une démonstration en bonne et due forme de l'hypothèse de Riemann. Ce qui nous ramène (presque) à la case départ. Rappelons que l'hypothèse de Riemann a été démontrée pour 10¹³ zéros non triviaux de la fonction zêta. Ces zéros ont tous pour partie réelle 1/2. Il suffirait malheureusement qu'on trouve un seul zéro non trivial avec une valeur différente pour que l'hypothèse de Riemann soit définitivement infirmée. En 2018, l'ex-médaillé Fields Michael Atiyah avait tenté une démonstration par l'absurde en supposant qu'un tel contre-exemple existe, justement. Mais il ne semble pas avoir convaincu la communauté mathématique. Pour la suite, rendez-vous dans cent ans, du moins pour la partie de l'humanité qui aura survécu.

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