21/01/2018

Voici un compte Twitter dédié aux nombres premiers qui défie l’éternité

prime.jpgSavez-vous qu’il existe un compte Twitter donnant la suite de tous les nombres premiers? Jusque là rien de très surprenant, on trouve des comptes pour tout, Instagram d’animaux domestiques ou fake de stars décédées dans les années 30. "Prime Numbers" a été créé en septembre 2013, il compte un seul abonné (probablement celui qui se cache derrière son algorithme) et un peu moins de 10 000 followers, ce qui n’est pas énorme. Son principe ? Il publie chaque heure, tous les jours de l’année, un nouveau nombre premier consécutif au précédent. Historiquement, son premier tweet a donc dû être "2". J’ignore s’il a tweeté quelque présentation avant. Sur son profil, cette sentence : «Every prime number, eventually. (Or the heat death of the universe; whichever happens first.)», manière de défier l’éternité. Sauf que le vertige survient bien avant qu’on aborde, même de loin, les notions d’infini. 

Attardons-nous sur le nombre de tweets publiés. Sachant sa régularité métronomique, on déduit aisément que "Prime Numbers" publie 8766 tweets ((24 x 365) + 6) par année, nombre obtenu en multipliant les 24 heures d’une journée par les 365 jours de l’année, résultat auquel il faut ajouter 6 (heures), valeur de la correction induite par une année bissextile tous les quatre ans. En ce moment, la liste des premiers se situe entre les nombres 440 000 et 450 000, soit des premiers à six chiffres. On peut supposer que la progression est assez rapide et qu’à ce rythme, on verra bientôt défiler des premiers de plusieurs millions ou milliards. C’est faux. Cette progression – de 24 nombres par jour – est au contraire extrêmement lente. Au point qu’il faudra attendre environ huit ans pour voir défiler les premiers nombres premiers à sept chiffres (soit supérieurs à un million), 75 ans pour ceux à huit chiffres, et autour des 657 ans pour les premiers composés d’au moins neuf chiffres. Et ce n’est là que le début de la liste. Je ne vous laisse même pas imaginer le nombre de siècles nécessaires pour épuiser les 280 caractères des tweets actuels avec des premiers à 280 chiffres. Quant aux premiers de Mersenne, de Fermat ou de Sophie Germain, je n’en parlerai même pas ici.

Pour en avoir le cœur net, il suffit d’opérer un bref détour du côté de la fonction de compte des nombres premiers. On sait que le nombre de nombres premiers inférieur à un nombre x, ou π(x), est donné par une approximation faisant intervenir la fonction de logarithme népérien. La formule est célèbre. Là voici.

Capture d’écran 2018-01-21 à 17.45.48.png

Conjecturée par Gauss et Legendre, elle a été démontrée par Hadamard et La Vallée-Poussin à la fin du XIXe siècle et constitue aujourd’hui le théorème des nombres premiers. Il est donc relativement aisé, depuis, de calculer le nombre de premiers à telle ou telle échelle des entiers naturels, et pour le billet qui m’occupe aujourd’hui, les calculs ne sont bien sûr pas tenus d’être exacts à tout prix. Car les perspectives vertigineuses que présente un compte Twitter défiant ainsi l’éternité, sans aller jusqu’à disserter sur l’infinitude des premiers, ne vont pas sans un certain malaise. Cela étant, certains d’entre vous se diront peut-être qu’il suffirait juste d’accélérer la publication des posts, de tweeter non pas un nombre par heure, mais un par seconde. Certes. En ce cas, il suffit de refaire tous les calculs avec un nombre plus grand, résultante de 8766 x 3600 (secondes). Ce qui reviendrait à différer puis accélérer légèrement l’apparition des grands nombres, mais c’est tout. Car là, aussi, pour aller jusqu’aux grands premiers de Mersenne, l’existence de la terre n’y suffirait pas.

18:02 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

05/02/2017

Tous les nombres entiers ont-ils un «premier-maison» ?

maison.jpgCertes, ce n’est pas la conjecture la plus essentielle de la recherche en mathématiques, et elle est même tenue pour un problème destiné aux amateurs, mais elle a l’avantage de la clarté. En d’autres termes, elle est aussi aisée à comprendre qu’à expliquer. Qu’est-ce qu’un «premier-maison» et comment l’obtient-on ? Noté HP(n), - pour «home prime», bien sûr -, il s’obtient en plusieurs étapes. Il faut d’abord décomposer le nombre composé n en produit de facteurs premiers, et cela sans utiliser les puissances, quitte donc à répéter plusieurs fois les mêmes facteurs. On construit dès lors un second nombre en concaténant, c’est-à-dire en mettant bout à bout, tous les premiers obtenus par cette factorisation. Puis on répète ce processus jusqu’à ce qu’on tombe sur un nombre premier. Celui-ci est alors appelé HP(n). Voici un exemple avec le nombre 10.

10 = 2 x 5

25 = 5 x 5

55 = 5 x 11

511 = 7 x 73

773 est premier

Donc HP(10) = 773

Si n est premier, le résultat est bien sûr HP(n) = n. La chose semble élémentaire, et pourtant, elle reste à l’état de conjecture. Tout simplement parce que l’existence d’un «premier-maison» n’est pas avérée pour tous les nombres composés inférieurs à 1000 (et encore moins pour les autres). Ainsi, après plus de cent itérations, le processus pour HP(49) n’est pas terminé et on obtient même des facteurs premiers gigantesques de près de 200 chiffres. Il va sans dire que HP(49) = HP(77) = HP(711), et ainsi de suite. On conjecture donc que pour tout nombre composé, il existe un «premier-maison», et que l’algorithme brièvement décrit ci-dessus se termine toujours. Jusqu’à preuve du contraire (un seul contre-exemple suffirait). Cette conjecture étant considérée comme mineure, on en trouve peu de traces sur internet et encore moins dans les revues spécialisées.

22:06 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

03/02/2017

Quels secrets cachent les grands écarts entre nombres premiers ?

ecarts.jpgOn sait qu’il existe une infinité de nombres premiers. Et on sait qu’on peut trouver des suites de nombres composés arbitrairement longues. En d’autres termes, que les écarts entre nombres premiers successifs peuvent donc être eux aussi arbitrairement longs. Justement, je vous propose aujourd’hui d’observer brièvement ces écarts. Mis à part celui entre 2 et 3, ils sont tous pairs, ce qui est logique. Jusqu’au nombre 389, l’écart le plus fréquent est 2, signe distinctif des nombres premiers jumeaux, dont l’infinitude demeure à l’état de conjecture. Et puis cela change ! Lorsqu’on grimpe un peu dans la liste, c’est le nombre 6 qui s’impose alors comme l’écart le plus courant entre deux premiers consécutifs, preuve que la densité de ceux-ci décroit, ce qui n’a rien de surprenant (j’ai du reste déjà consacré plusieurs billets au théorème des nombres premiers et n’y reviendrai pas dans celui-ci). Est-ce que 6 reste champion ad aeternam ? Bien sûr que non.

Mais pour établir la liste des champions suivants dans un intervalle donné (qui bien sûr se calcule avec précision, via les logarithmes et sous une forme parente, pour faire simple, avec la formule de Legendre - mais j’ai choisi de ne pas citer les formules fixant cet intervalle afin de ne pas alourdir ce billet), de simples calculettes ne suffisent assurément plus. Vers 1,7 x 1036, un nouveau champion apparaît parmi ces écarts : il s’agit de 30. Détrôné à son tour vers 5,81 x 10428 par 210. Toujours plus loin, les champions successifs sont 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230 et 200560490130. Evidemment, ces différents écarts ne signifient pas que leurs prédécesseurs n’apparaissent plus. Des premiers successifs différant de 2, 6 ou 30 surgissent ainsi encore, même si leur fréquence baisse nettement. Mais revenons à cette liste de champions prenant gaillardement la première place du podium les uns après les autres:

2 – 6 – 30 – 210 – 2310 – 30030 – 510510 – 9699690 – 223092870 - 6469693230 – 200560490130

Rien ne vous frappe, dans cette liste? Les plus perspicaces auront sans doute remarqué qu’il s’agit de la suite des primorielles. Soit

2

2 x 3 = 6

2 x 3 x 5 = 30

2 x 3 x 5 x 7 = 210

2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2310

Et ainsi de suite.

Par définition, la primorielle d’un entier désigne le produit de tous les premiers inférieurs ou égaux à cet entier. Ces résultats sur les écarts entre nombres premiers ("prime gap" en anglais), et en l’occurrence entre grands nombres premiers, ne peuvent assurément pas être fortuits. Trois mathématiciens, Andrew Odlyzko, Michael Rubinstein et Marek Wolf, ceux-là même qui ont conduits les calculs informatiques pour les déterminer, en ont déduit une conjecture (des "jumping champions", ou champions sauteurs), mieux, un énoncé dont personne ne peut censément douter. Le hic, c’est comment l’utiliser pour faire avancer l’ensemble des problèmes ouverts dans ce domaine. La réponse n’est pas simple, et de nombreux sites anglo-américains – le problème semble moins abordé chez les francophones – planchent régulièrement dessus. J’y reviendrai prochainement de manière plus abstraite avec quelques formules et égalités qu’il sera nécessaire d’énoncer ou de rappeler à ce moment-là.

22:28 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |