17/08/2016

Et si on reparlait de la conjecture de Polignac?

polignac.jpgProfitons de l'été pour se rafraîchir les méninges. Et évoquer un problème mathématique relativement aisé à comprendre, au point que mon billet pourra, pour cette fois, faire l’économie de formules. En 1851, le mathématicien français Alphonse de Polignac (1826 - 1863), fils d'un ancien ministre de Charles X et spécialiste de la théorie des nombres, publie son plus célèbre ouvrage, reprinté en 2011. Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Il y énonce une conjecture qui le fit connaître deux ans plus tôt, et dont l'énoncé est extrêmement simple. La conjecture de Polignac affirme que tout nombre pair peut s'écrire d'une infinité de manières comme la différence de deux nombres premiers consécutifs.

Nous voici donc en terrain connu. On reconnaîtra même sans peine là ces cas particuliers que sont les nombres pairs 2, 4 et 6. Lorsque l'écart entre deux premiers consécutifs est égal à 2, on parle ainsi de nombres premiers jumeaux. De cousins lorsqu'il est égal à 4 et de nombres sexy lorsque cet écart vaut 6. La conjecture stipule que ces écarts se répètent une infinité de fois pour tous les nombres pairs. Sans doute, mais comment le prouver? C'est là que tout se complique. Si le problème agite la communauté depuis plus de cent ans, les choses ne bougent pas aussi vite qu’elles le devraient.

De Polignac et de sa conjecture, il fut donc à nouveau question en mai 2013 avec la découverte majeure du Chinois Zhang Yitang, qui établit qu’il existe une infinité de premiers dont l’écart est de moins de 70 millions (7 x 107). Ecart rapidement réduit à 600 dans les mois qui suivirent par James Maynard, brillant mathématicien anglais de 29 ans, puis à 246 grâce au projet Polymath8. Et ensuite ? Ensuite, il faudrait prouver que la conjecture d’Elliot-Halberstam, dont j’avais parlé dans un précédent billet, est valide pour descendre à 12 ou 6. Et pour parvenir à 2 et prouver la conjecture des jumeaux ? Là, on ne sait trop. Il faudra sans doute repasser par la conjecture de Hardy-Littlewood, généralisation de la conjecture des jumeaux, par celle de Goldbach, qui prend in fine le problème dans un autre sens, relire tout ce qui a été écrit sur l’aride hypothèse H de Schinzel, suivre attentivement les publications de Terence Tao (l’un des plus grands mathématiciens du monde, qui plus est d’une admirable clarté), voire transiter par différentes conjectures (Bateman-Horn, Dickson) abordant le problème de la densité des nombres premiers à grands renforts de logarithmes. Tout cela sans oublier l’hypothèse de Riemann, qui n’est jamais très loin lorsqu’on évoque les premiers.

En attendant de revenir dans un prochain billet sur les écarts entre premiers (prime gaps), on peut même supposer, même si je ne le pense pas, que la conjecture de Polignac est fausse en-dessous d’un certain nombre pair, forcément inférieur à 246. Dans tous les cas, des preuves de la conjecture des jumeaux, comme des démonstrations de sa fausseté, circulent allègrement sur le net. Mais la conjecture de Polignac peut-elle être erronée ? Oui, d’autant plus qu’une autre de ses conjectures, soi-disant vérifiée jusqu’à 3 millions, qui stipulait que tout nombre impair est égal à une puissance de 2 plus un nombre premier, s’est effondrée. La proposition vaut en effet jusqu’à 125, mais s’écroule à partir de 127, nombre qu’il est impossible d’écrire sous la forme d’une puissance de 2 sommée à un premier. Le Hongrois Paul Erdös (1913 – 1996) a même démontré qu’il existe une infinité de contre-exemples à l’assertion. Preuve qu’il ne faut jamais trop se fier à son instinct en mathématiques.

 

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24/07/2016

Pourquoi les nombres de Liouville nous fascinent-ils?

factorielle.jpgA chaque langage ses conventions, ses symboles, son vocabulaire. Celui des maths n’y fait pas exception. Un exemple au hasard. Placé après un nombre (ou chiffre), le point d'exclamation exprime une factorielle. Le petit tableau ci-dessus permettra de comprendre la notion de factorielle sans qu'il soit nécessaire de l'assortir d'une longue explication. Produit de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à n, la factorielle n ! s'utilise en combinatoire, mais pas seulement. Sa stricte définition se traduit par la formule ci-dessous, où le Pi majuscule désigne un produit sur un intervalle donné, parfois infini (à l'instar du sigma majuscule pour l'addition).

déf fact.png

Plus intéressant, observons les sommes des inverses des factorielles via cette forme générique :
inverses fact.pngLe cas x = 1 nous permet de retrouver une vieille connaissance :

esomme.pngSoit la constante e, nombre transcendant (mais n'anticipons pas) et base du logarithme naturel. Il est la somme de cette série, qui consiste en fait à décomposer la fonction logarithmique en série entière. On peut dès lors constater que les inverses des factorielles donnent les coefficients du développement de la fonction exponentielle. Plus simplement:plusimple.pngMais venons-en à Liouville. Dans un roman paru récemment, La Formule de Stokes, roman, audin.jpgque je vous conseille fortement, la Française Michèle Audin rappelle la beauté du plus connu des nombres de Liouville, parfois surnommé constante de Liouville. Célèbre mathématicien français, Joseph Liouville (1809 – 1882, portrait ci-contre) liouvilleportait.jpegs’est en effet intéressé à des nombres relativement proches des séries logarithmiques vues ci-dessus. Leur forme générique est donnée par la formulegénérique liouville.png

 

 

 

avec b plus grand que 1 et les ak compris entre 0 et b – 1.

Le plus fameux de ces nombres est donc la constante de Liouville :

constanteliouville.png

Les positions des 1, de plus en plus espacés parmi les 0, y correspondent aux factorielles successives de l'ensemble des entiers naturels. Magnifique, non ? Il s’agit là d’un nombre réel mais surtout de l’un des premiers exemples de réel transcendant, c’est-à-dire, par opposition aux nombres algébriques, qu’il n’est racine d’aucune équation polynomiale. La chose se démontre aisément, et vous en trouverez facilement la preuve sur plusieurs sites, preuve que je ne reproduis pas ici afin de ne pas rallonger ce billet. La transcendance du nombre e ne sera quant à elle établie que plus tard, soit en 1873. L’ensemble des nombres de Liouville, qui se construisent tous sur le même modèle, a par ailleurs la puissance du continu. Autrement dit, il est équipotent à celui des nombres réels. J’avais déjà consacré un billet à ces passionnantes questions de cardinalité et de hiérarchie dans les infinis et y reviendrai d’ailleurs bientôt. Au XXe siècle, le grand mathématicien hongrois Paul Erdös (1913 – 1996) a démontré que tout nombre réel non nul peut s’écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville. Problème ardu sur lequel j’espère revenir dans un prochain billet.

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27/05/2016

Le mystère des crop circles: 1) L'apparition du nombre Pi

crop3.jpgCette nouvelle série de billets se propose de revenir, toutefois sans tenter de l’expliquer, sur un phénomène qui a mauvaise presse et dont les médias ne parlent peu ou prou jamais, à savoir les crop circles. Vaste supercherie et œuvre de quelques farceurs surdoués (c’est peu crédible, même si certains artistes en ont ensuite créé eux-mêmes) pour les uns, émanation de civilisations extra-terrestres lointaines (non prouvable vu l’état de nos connaissances actuelles) pour d’autres, ce qui bien sûr infirmerait le paradoxe de Fermi, ces agroglyphes surgissent sans crier gare, généralement de nuit, dans des champs de céréales et se forment par la flétrissure des épis. Ils dévoilent des motifs et compositions géométriques complexes visibles depuis le ciel. Certains couvrent plusieurs hectares.

Pour ce premier billet, voici un crop circle découvert à Barbary Castle, dans le Wilshire, le 1er juin 2008. Il mesure 45 mètres et il s’agit d’un des crop circles les plus complexes jamais observés. C’est l’astrophysicien Mike Reed qui a découvert, après des mois de recherches, comment l’interpréter. Se basant sur une photographie, il a codé l’image en un graphe que voici :

cropcirclecolors.jpg

Observons chacun des segments proportionnellement identiques, décalés à des endroits stratégiques, ici représentés par des couleurs différentes. Les plus petits, rouges, près du centre, sont au nombre de 3. Un segment unique apparaît ensuite, en vert. Il contient un point. Suivent 4 segments violets, 1 orange, 5 bleus clairs, 9 jaunes, 2 violets, 6 rouges, 5 verts et 4 bleus. Enfin, trois cercles noirs terminent le circuit, suggérant l’idée d’infinité. Que signifient ces chiffres ? La réponse saute aux yeux lorsqu’on les écrit bout à bout et dans l’ordre.

3.141592654…

On reconnaît en effet là le nombre Pi, le plus célèbre d’entre tous les nombres, et ses dix premières décimales. L’infinitude de la période représentée par les trois cercles noirs concluant le cercle fait clairement partie du dessin. Tout cela est d’autant plus surprenant que cette représentation de Pi ne correspond à aucun usage mathématique du nombre, toutes civilisations et époques confondues. Qu’en déduire ? Que le crop circle a été conçu par un génie des maths dont l’identité demeurera à jamais inconnue ? Ou qu’il serait l’œuvre de quelque civilisation lointaine qui cherche à communiquer avec l’homme ? La question reste douloureusement ouverte.

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