28/12/2014

La conjecture de Goldbach est-elle vraie?

Goldbach.jpg

 

Tout nombre pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers: cet énoncé a beau avoir l’air tout simple, il n’est toujours pas démontré aujourd’hui. Ce séduisant graphique de forme triangulaire illustre cette affirmation, plus connue sous le nom de conjecture de Goldbach. Sur les côtés gauche et droit de notre schéma, on remarque la succession de tous les nombres premiers jusqu’à 47 (ou plus petits que 50, ce qui revient au même). Au centre du triangle, le résultat de leurs additions (ou plus précisément toutes les solutions de l’équation 2N = p + q avec p et q premiers), visibles à travers les lignes bleue et rose qui se croisent. Les nombres qui en résultent sont tous pairs, ce qui est logique, la somme de deux premiers supérieurs à deux, donc l’un et l’autre impairs, engendrant forcément un résultat pair, comme (dé)montré ci-dessous.

(2k + 1) + (2n +1) = 2k + 2n + 2 = 2 x (k + n + 1)

On note encore que tous les nombres pairs jusqu’à 50 se retrouvent dans cette liste. Et que les lignes grises figurant à côté comportent toutes au moins un point de croisement. Ce constat nous amène naturellement à la fameuse conjecture de Goldbach.

En 1742, le mathématicien allemand Christian Goldbach (1690 – 1764) écrivit une lettre à Leonhard Euler, lui proposant la conjecture suivante : «Tout nombre plus grand que 2 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers». Ce à quoi Euler répondit que cette affirmation découlait d’un autre énoncé, à savoir que tout nombre pair (supérieur à 3 dans la formulation actuelle, comme dit au début de ce billet) peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. Tel est le point de départ d’un problème insoluble qui est en réalité le cas particulier d’une autre conjecture en rapport avec l’hypothèse H de Schinzel (sur laquelle je consacrerai un billet l’année prochaine). Il existe également des variantes de la conjecture et une version faible stipulant que tout entier supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs.

Mais revenons à Goldbach. Depuis 2012, sa conjecture a été démontrée (par le mathématicien portugais Tomas Oliveira e Silva) pour tous les nombres pairs jusqu’à 4 x 1018. En d’autres termes, pour démontrer sa fausseté (peu probable, mais sait-on jamais), il suffirait de lui trouver un contre-exemple, autrement dit un nombre pair supérieur à 4 x 1018 qui ne soit pas la somme de deux nombres premiers. Si ce nombre existe, il est donc énorme. Et si on ne le trouve jamais, la conjecture est donc vraie.

On peut également étudier le problème en passant par la quantité de partitions correspondant à chaque nombre N. Elle est généralement notée r(N). Pour la définir, un exemple suffira. Prenons le nombre 100. On peut l’écrire comme suit :

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53

Au total, il y a donc six partitions, six façons d’écrire 100 comme somme de deux nombres premiers. Autrement dit, pour N = 100, r(N) = 6. En toute légitimité, on peut dès lors supposer que plus N est grand et plus r(N) le sera aussi. (Le cas r(N) = 0 infirmerait évidemment la conjecture.) Assertion que le tableau ci-dessous, appelé comète de Goldbach, semble confirmer.


Capture d’écran 2014-12-28 à 19.57.25.png


















Et pourtant, malgré tout cela, la conjecture n’est toujours pas démontrée !

En recherchant sur le net, on s’aperçoit qu’il existe plusieurs démonstrations en ligne de la conjecture. Aucune n’a pour l’instant été validée. En revanche, la version faible de la conjecture serait démontrée depuis 2013. Dans la liste des problèmes de Hilbert, la conjecture de Goldbach porte le numéro 8, qu’elle partage avec l’hypothèse de Riemann et la conjecture des nombres premiers jumeaux.

 

 

 

20:21 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (1) | |  Facebook | | | |

21/12/2014

L'identité d'Euler, manifeste du génie helvétique?

 

euler_t_shirt.jpgOn la retrouve sur des tee shirts. Elle se décline sur des sacs. euler_sac.jpg


Et même des coques de smartphones.

euler_coque2.jpg

Et sur toutes sortes d’autres objets comme ici sur ce "gobelet" à café.

eulercafe.jpg

Elle, c’est l’identité d‘Euler, l’une des formules les plus célèbres et les plus belles de toute l’histoire des maths. La voici en dehors de tout support:

Capture d’écran 2014-12-21 à 17.33.01.png

C’est le Bâlois Leonhard Euler (1707 – 1783) qui l’a découverte et l’a mentionnée dans un ouvrage paru en 1748, sans vraiment la démontrer. Ce qu’il y a évidemment de remarquable dans cette égalité a priori très simple, c’est la coprésence de cinq constantes mathématiques fondamentales. Voyons plutôt.

0 et 1 sont les éléments neutres respectifs de l’addition et de la multiplication.

Pi ou π est un nombre transcendant désignant le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. Rappelons qu’un nombre est dit transcendant s’il n’est racine d’aucun polynome à coefficients entiers.

e est la base du logarithme naturel et se caractérise par la relation ln(e) = 1. Tout comme π, il s’agit d’un nombre transcendant.

Quant à i, racine carrée de – 1, c’est l’unité imaginaire servant de base à la construction des nombres complexes.

La relation qu’établit Euler entre ces cinq nombres utilise par ailleurs trois opérations fondamentales, l’addition, la multiplication et l’exponentiation. L’identité d’Euler peut se démontrer de plusieurs manières et bizarrement de façon assez aisée. En géométrie, on peut l’établir par la juxtaposition de triangles rectangles. En analyse complexe, on déduit qu'elle est un cas particulier de la formule suivante (dans laquelle apparaissent les fonctions trigonométriques sinus et cosinus)

mathrm e^{mathrm ix} = cos x + mathrm i sin x ,!

et, grâce à différentes égalités déductibles des séries de Taylor, dont voici un exemple,

Capture d’écran 2014-12-21 à 17.45.15.png

on peut démontrer l'identité via des calculs et injections que je ne reproduirai pas ici pour ne pas alourdir ce billet.

D’Euler, déjà mentionné dans plusieurs billets maths (et notamment dans celui dédié au théorème des nombres premiers), il sera évidemment fréquemment question dans de futurs billets. Il reste l’un des scientifiques les plus grands et les plus prolifiques de tous les temps. Son apport dans des branches aussi variées que le calcul infinitésimal, l’analyse mathématique, la théorie des graphes ou, en physique, la dynamique des fluides et l’astronomie, font de lui l’un des Suisses les plus célèbres à travers l’histoire. Et vous l’avez tous tenu entre vos mains. Souvenez-vous de nos anciens billets de dix francs. C’est Euler qui est dessus.

eulerbillet.jpg

 

17:59 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (2) | |  Facebook | | | |

14/12/2014

Combien y a-t-il de nombres parfaits?

 

parfait.jpg

Il en va des nombres comme des organismes vivants. Certains sont dotés de propriétés singulières ou remarquables qui les rendent uniques. Nombres amicaux, sociables, chanceux, palindromes, pyramidaux, primoriels, automorphes, étranges, intouchables, ou, du nom de leurs découvreurs, nombres de Mersenne, de Sophie Germain, de Fibonacci, de Liouville ou de Fermat, les catégories ne manquent pas. Je vais me pencher aujourd’hui sur les nombres parfaits, lesquels font toujours à l’heure actuelle l’objet de recherches incessantes.

Le petit tableau ci-dessus donne une idée de leur définition (ligne du milieu). Un nombre est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres (ou stricts). On peut aussi définir un nombre parfait par la formule suivante : σ(n) = 2n, σ(n) désignant la somme de tous les diviseurs positifs de n. Prenons le cas de 6, qui est le premier nombre parfait connu. La somme de ses diviseurs stricts donne 1 + 2 + 3 = 6. Et σ(n) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, qui est bien égal à 2n (2 x 6).

Lorsqu’on monte un peu dans la progression des nombres, on note très vite que les nombres parfaits sont extrêmement rares. Les quatre premiers sont 6, 28, 496 et 8128. Ils sont tous pairs. Dans l’histoire des mathématiques, leur apparition a lieu très tôt. Nicomaque de Gérase (vers 150 – vers 196) cite ainsi les quatre premiers nombres parfaits dans un traité d’arithmétique, mais Euclide en parlait déjà dans l’un des livres de ses Eléments (IIIe siècle av. J.-C.) Le cinquième nombre parfait est cité dans un manuscrit du XVe siècle. Et les deux suivants furent découverts par Pietro Cataldi en 1588. Quant au huitième, il sera trouvé par le Suisse Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Euler ira même plus loin, en affinant une égalité démontrée par Euclide et qui peut se formuler ainsi :

Capture d’écran 2014-12-14 à 20.12.57.pngEt ce qu’il y a d’intéressant, c’est qu’on retrouve ici les nombres dits de Mersenne (du nom de leur découvreur, Marin Mersenne (1588-1648), dont je reparlerai bientôt), c’est-à-dire les nombres premiers qui peuvent s’écrire sous la forme suivante, avec n premier:

Capture d’écran 2014-12-14 à 20.14.50.png

La démonstration d’Euler nous apprend surtout que tous les nombres parfaits pairs ont cette forme. En revanche, on ne connaît, à ce jour, aucun nombre parfait impair et on ignore s’il en existe. Actuellement, 48 nombres parfaits ont été découverts. On conjecture qu'il en existe une infinité. Le dernier en date a été calculé en janvier 2013 à partir du 48e( ?) nombre de Mersenne que voici,

Capture d’écran 2014-12-14 à 20.23.51.png

lequel se compose de plus de 17 millions de chiffres (17 425 170 exactement). Il s'agit également du plus grand nombre premier connu. Et le jour (proche, je l'espère) où des ordinateurs dûment programmés pourront calculer un nombre de Mersenne supérieur à celui-ci, il en découlera la découverte d'un nouveau nombre parfait.

Quant aux nombres abondants et déficients, cités dans le tableau du haut, vous n'aurez aucune peine à déduire leur définition.

 

20:52 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (2) | |  Facebook | | | |