30/11/2014

Qu'y a-t-il au-delà de l'infini?

 

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Ce symbole, parfois appelé lemniscate, représente l’infini. Ce n’est pas à proprement parler un nombre, mais plutôt un concept dont la réalité mathématique est indéniable. Il est au cœur des recherches du mathématicien allemand Georg Cantor (1845 – 1918, photo ci-dessous), Cantor.jpgconnu pour avoir notamment créé la théorie des ensembles. Mais aussi les nombres transfinis et une conjecture célèbre plus connue sous le nom d’hypothèse du continu. Celle-ci est même le premier problème de la fameuse liste de Hilbert, qui en compte 23. L’hypothèse du continu stipule qu’il n’existe pas d’ensembles dont la «taille» se situe entre celle de l’ensemble des entiers naturels et celle de l’ensemble des nombres réels.

Pour mieux la comprendre, il faut rappeler ici différentes notions. L’ensemble des entiers naturels est simple à définir. Il désigne l’ensemble des nombres entiers positifs et s’écrit généralement comme suit :

= {0,1,2,3,4,5,6,7,…}. Il compte un nombre infini d’éléments, ce qui est aisé à démontrer, puisqu’on peut toujours, pour tout n ∈ , déterminer un élément n + 1 qui se trouve à son tour dans . Et ainsi de suite à l’infini.

L’ensemble des nombres réels, noté , regroupe tous les nombres pouvant être représentés par une partie entière et une partie (finie ou non) de décimales. Il inclut aussi bien les nombres rationnels et irrationnels que les nombres transcendants comme π ou e (base du logarithme naturel). Ses éléments sont évidemment en nombre infini et on remarque très vite que (ce qui signifie que est inclus dans ).

Leur taille se déduit de leur cardinalité. Le cardinal d’un ensemble désigne le nombre d’éléments que compte cet ensemble. Dans le cas de et , ce cardinal est clairement infini. Pourtant, compte de toute évidence davantage d’éléments que . Comme s’il y avait, en gros, différentes sortes d’infinis selon la taille des objets que l’on observe. Mais la différence entre et , c’est aussi que le premier est dénombrable et pas le second. Qu’est-ce à dire ?

Pour faire simple, un ensemble dénombrable est un ensemble dont on peut compter et ordonner les éléments. Et un ensemble infini est dit dénombrable s’il est en bijection avec l’ensemble des entiers naturels . Une bijection est une fonction f d’un ensemble A dans un ensemble B pour laquelle à chaque élément de A correspond exactement un et un seul élément de B. Exemple simple : peut être mis en bijection avec l’ensemble des nombres pairs, via la fonction f (x) = 2x pour laquelle on fait correspondre, à chaque élément de départ dans , son double. On dit dans ce cas que les deux ensembles sont équipotents. En revanche, n’est pas dénombrable et aucune bijection avec n’est possible. Aussi petit soit-il, n’importe quel intervalle de la droite des nombres réels contient en effet d’autres nombres.

Mais revenons à Cantor. Ce dernier s’interrogea sur les cardinaux respectifs de et . Il appela le cardinal de aleph-zéro et le nota aleph_0, du nom de la première lettre de l’alphabet hébraïque. Et comme tous les éléments de couvraient en continu la droite des réels, il nomma son cardinal le continu, l’abrégeant simplement par la lettre c. Puis s’en vint à se demander s’il existait un ensemble dont le cardinal était compris entre ces deux-là. C’était l’hypothèse du continu, qui peut se résumer par cette magnifique formule :

2^{aleph_0} = aleph_1

 

Elle fait du reste appel aux propriétés liées à l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble, dont je parlerai dans un futur billet, et à l’axiome du choix.

En 1963, Paul J.Cohen, un mathématicien américain, parvint à résoudre l’hypothèse du continu en montrant qu’elle était indécidable. Autrement dit qu’on ne pouvait prouver ni sa vérité ni sa fausseté. La question n’est pas pour autant fermée aujourd’hui. Et certains pensent que de nouveaux axiomes pourraient rendre l’hypothèse vraie. La suite dans le courant du XXIe siècle ?

 

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15/11/2014

Théorème de Fermat-Wiles, quel héritage?

wiles.jpg20 ans déjà ! La joie du mathématicien britannique Andrew Wiles éclate sur cette image prise en 1994. Heureux, il vient de mettre un point final à une démonstration sur laquelle il planche depuis sept ans. Sept ans pour atteindre le Graal et triompher de l’un des problèmes les plus insolubles de l’histoire des maths. Soit le dernier théorème de Fermat. Mais retournons quelques siècles en arrière.

Magistrat de renom et scientifique plus ou moins autodidacte, Pierre de Fermat s’est principalement illustré dans la recherche mathématique. Né au début du XVIIe siècle, vraisemblablement entre 1601 et 1610, décédé en 1665, il a laissé relativement peu d’écrits. Cinq ans après sa mort, une note manuscrite figurant en marge de l’un des exemplaires de son Diophante (Arithmetica) est rendue publique. Il s’agit de son fameux dernier théorème. Le voici, assorti d'un portrait de Pierre de Fermat:

theoreme.jpg

Fermat accompagne celui-ci d’une phrase affirmant qu’il en possède une merveilleuse démonstration mais n’a pas la place de l’écrire. Nous sommes en 1670 et il faudra plus de 325 ans (la note marginale ayant été rédigée bien avant le décès de Fermat) pour démontrer que le théorème est vrai. Durant ces trois siècles, toute une cohorte de chercheurs tentera d’en venir à bout. Certains y perdront la raison, d’autres mettront fin à leurs jours. Une odyssée brillamment narrée dans un livre paru en 1998, Le Dernier Théorème de Fermat (de Simon Singh).

Mais revenons à l’énigme. A première vue, l’équation posée par Fermat a l’air simple, abordable. Il n’en est rien. Le théorème stipule donc que l’égalité n’a pas de solutions entières pour un exposant n plus grand que 2. Le cas n = 2 est en revanche familier, puisqu’il s’agit – vous l’aurez reconnu - du théorème de Pythagore, lequel possède une infinité de solutions.

Mais à partir de n = 3, les choses se corsent. On découvre relativement rapidement qu’il suffit de vérifier Fermat pour tous les n premiers réguliers. Les n factorisables en découlent. Dans cette logique, plusieurs mathématiciens célèbres (dont Leonhard Euler et Sophie Germain) parviennent à résoudre Fermat pour les cas n = 3, n = 5, n = 7, etc. Mais procéder ainsi à l’infini ne mène pas à grand-chose. D’autant plus que Fermat pouvait très bien être vrai pour les 3 millions de premiers nombres, et tout à coup se vérifier (donc être faux) pour un exposant supérieur. Les chercheurs prouvèrent néanmoins que Fermat était valide pour des valeurs de n allant au moins jusqu’à 4 millions.

C’est au XXe siècle que les choses commencent à se décanter. Tout en provenant d’une direction totalement insoupçonnée. Nous sommes au Japon, en 1955, et deux chercheurs travaillent sur deux domaines particulièrement pointus des mathématiques : les courbes elliptiques et les formes modulaires. Une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique et peut être représentée par une équation cubique (je simplifie un peu). Quant aux formes modulaires, il s’agit de fonctions analytiques satisfaisant certains types d’équations fonctionnelles (autrement dit des équations dont les inconnues sont des fonctions). Nos deux mathématiciens, Yutaka Taniyama et Goro Shinura, émettent alors une hypothèse : les courbes elliptiques peuvent toujours être associées à (ou paramétrées par) des fonctions modulaires. Hypothèse plus connue sous le nom de conjecture de Shinura-Taniyama. Aucun des deux ne la démontrera et Taniyama finira même par se suicider.

Entre alors en scène un troisième mathématicien, l’Allemand Gerhard Frey. Ce dernier démontra, en 1984, qu’un contre-exemple au théorème de Fermat (donc une preuve que Fermat était faux) engendrerait une courbe elliptique qui viendrait contredire la conjecture de Shinura-Taniyama. timbrefr.jpgC’est cette découverte-là qui encouragea Andrew Wiles à s’atteler à ses travaux. En effet, s’il parvenait à démontrer que la conjecture de Shinura-Taniyama était vraie, cela impliquerait qu’il n’existe aucun contre-exemple au théorème de Fermat. Donc que Fermat était vrai !

Au terme de sept ans de recherches et d’enfermement, et de deux ans de corrections à sa démonstration, qui ne sera publiée qu’en 1995, Andrew Wiles accède à la gloire, fait la une de tous les grands quotidiens internationaux et décroche de nombreux prix. Le théorème de Fermat devient alors le théorème de Fermat-Wiles.

timbrepo.jpgQu’en reste-t-il aujourd’hui, au-delà du sentiment d’avoir triomphé de l’un des problèmes les plus résistants de toute l’histoire des math ? Beaucoup de choses. L’arsenal de techniques utilisées par Wiles a révolutionné la théorie des nombres. Grâce à lui, de grandes avancées ont pu se faire dans des domaines très différents. Dont un programme, dit programme de Langlands (du nom du mathématicien Robert Langlands), dont l’objet est de relier la théorie des nombres à celle de la représentation des groupes. Il a déjà permis de résoudre, en 2009, la conjecture de Sato-Tate, qu’il n’est pas possible, vu sa complexité, de résumer ici. Corollaire de tout cela, la démonstration de Wiles n’est pas à la portée de tout le monde. On prétend même que seules 200 personnes au monde environ sont à même de la comprendre. D’où une autre interrogation : Fermat avait-il réellement trouvé une démonstration à son théorème au XVIIe siècle ? Et si oui, laquelle, sachant qu’à son époque, il ne possédait pas tous les outils mathématiques découverts bien après ? Le mystère demeure entier.

 

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03/11/2014

Nombres premiers jumeaux: où en est-on?

premiers.jpgPlus d'un an après la démonstration de Zhang, rendue publique en avril 2013, il est temps de faire le point. Le tableau ci-contre donne la liste de tous les nombres premiers strictement inférieurs à 2000. C'est-à-dire tous les nombres qui ne se divisent que par eux-mêmes ou par 1. Ou, pour prendre une autre définition, tous ceux dont le nombre de diviseurs est égal à 2. Ce qui exclut bien sûr 1, qui n'est pas premier. On sait depuis Euclide (au moins) qu'il existe une infinité de nombres premiers. Et le démontrer prend à peine quelques minutes. Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant qu'il y a un nombre fini de premiers. On désigne alors P comme étant le dernier. On effectue ensuite le produit de tous les premiers le précédant (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x...x P) et on y ajoute 1. Le nouveau nombre obtenu est soit non factorisable, donc premier. Soit factorisable mais par des premiers supérieurs à tous les nombres apparaissant dans la multiplication. Dans les deux cas, cela prouve qu'il existe un ou des premiers supérieurs à P. Et donc que leur liste est infinie.

Dans la liste ci-dessus, un certain nombre de paires de nombres ont été entourées en rouge. Il s'agit là de nombres premiers jumeaux, c'est-à-dire de premiers qui ne diffèrent que de 2. (Si P et Q sont jumeaux, alors Q = P + 2.) On ignore s'il en existe une infinité. Et autant l'infinitude des premiers est aisée à démontrer (comme vu plus haut), autant celle des jumeaux résiste depuis des lustres à toute démonstration. Mais intuitivement, on suppose que c'est le cas et qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux. La conjecture figure dans la liste des problèmes de Hilbert (établie en 1900) et y porte le numéro 8, qu'elle partage avec l'hypothèse de Riemann et la conjecture de Goldbach (sur lesquelles je consacrerai de prochains billets).

zhang.jpgMais au printemps 2013, un Chinois inconnu au bataillon (de la communauté mathématique), Yitang Zhang (photo), a fait un pas de géant vers la démonstration de la conjecture. Plus précisément de la version faible de la conjecture, qui stipule qu'il existe une infinité de premiers dont la différence (appelons-là k) est égale à 2. Zhang a ainsi démontré (dans un article depuis accepté dans la prestigieuse revue Annals of Mathematics) qu'il existe une infinité de nombres premiers dont l'écart est inférieur à 70 millions ou, en d'autres termes, que la conjecture est vraie pour k = 70 millions. Evidemment, de 70 millions à 2, il y a une certaine distance. Certes, mais pas si énorme aux yeux de l'infini. Pour la communauté mathématique, il s'agissait alors de plancher pour réduire cet écart de 70 millions. Un projet collaboratif a été lancé, sur la plateforme Polymath8.

Quelques mois plus tard, James Maynard, un jeune étudiant d'Oxford, annonçait qu'il avait réduit cet écart, le ramenant à 700 puis à 600, le tout en modifiant la méthode de crible utilisée par Zhang. C'est sans conteste un progrès énorme pour les mathématiques. L'espoir de réduire encore l'écart pour atteindre 2, ce qui prouverait définitivement la conjecture, commence à devenir palpable. Devra-t-on pour cela affiner les cribles de Zhang ou Maynard? Ou, à l'instar d'Andrew Wiles et de sa démonstration, après plus de trois siècles de recherches, du dernier théorème de Fermat en 1994, passer par des domaines mathématiques très éloignés de la théorie des nombres? Rien ne l'exclut. A suivre, bien entendu.

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