Mathématiques - Page 11

  • Sur quels rivages nous mène la fonction zêta de Riemann?

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    zeta.jpgCe graphique coloré et séduisant est une représentation de la fonction zêta de Riemann dans le plan complexe. Fondamentale dans de nombreux développements mathématiques, et notamment en théorie des nombres, puisque la position de ses zéros a un rapport avec la répartition des nombres premiers, la fonction zêta touche, il faut bien l’avouer, à un domaine très ardu des maths. Je l’avais déjà mentionnée dans mon billet dédié au théorème des nombres premiers, consultable sur ce blog, et elle risque de réapparaître souvent dans des billets ultérieurs. Il existe en réalité plusieurs fonctions zêta. Celle d’Euler somme des puissances en nombres réels. Celle de Riemann des puissances en nombres complexes. La voici :

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    Les variables s désignent des nombres complexes (du corps des nombres complexes  ℂ), soit des nombres de la forme a + bi avec i (pour imaginaire) désignant la racine carrée de – 1 (a et b étant des nombres réels, bien sûr). Le zêta est une lettre de l'alphabet grec, tout comme le sigma majuscule, qui représente ici une somme infinie. Cela étant, la fonction prolonge en fait la fonction somme d’une série de Dirichlet dont voici l’exemple, à titre purement informatif:

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    Ce sont là des séries qui interviennent en théorie analytique des nombres. Elles servent notamment à démontrer le théorème de la progression arithmétique.

    L'Allemand Bernhard Riemann (1826 – 1866), l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire, reprenant les travaux du Suisse Euler, publie en 1859 un texte sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée. C’est à ce moment qu’il définit et introduit la fonction zêta, en étendant les travaux de ses prédécesseurs aux nombres complexes. Elle peut ainsi se définir comme une fonction analytique complexe (méromorphe). Précédemment, Euler avait entre autres calculé la valeur de la fonction pour les entiers s positifs pairs. En résultent des séries convergentes et infinies qui peuvent s’exprimer par des puissances paires de ∏. Voici quelques-uns de ces résultats :

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    Les choses se corsent, si j'ose dire, avec les nombres complexes, particulièrement ceux dont la partie réelle (notée Re(s)) est supérieure à 1. Euler est ainsi le premier à découvrir le lien entre la fonction zêta et un produit infini faisant intervenir tous les nombres premiers. Voici l’égalité - géniale - qu’il démontre, P désignant ici l’ensemble des nombres premiers :

    Capture d’écran 2015-02-19 à 20.53.42.pngIl remarque alors que la position des zéros de la fonction zêta de Riemann fournit la position des nombres premiers. C’est ce constat qui est à la base de l’hypothèse de Riemann, Graal absolu de la recherche en maths, et sur lequel je reviendrai dans un prochain billet. Pour faire simple, l’hypothèse de Riemann conjecture que les zéros non triviaux de la fonction zêta ont tous pour partie réelle ½. Elle n'est à ce jour toujours pas démontrée. Et le jour où elle le sera, la recherche en maths fera des bonds de géant.

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  • Le nombre 153 est-il divin?

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    poissons.jpgDaté de 1444, ce tableau de Konrad Witz s’intitule La Pêche miraculeuse. Exposé au Musée d’Art et d’Histoire de Genève, il représente un épisode de l’Evangile selon Jean (Jean 21 : 1 – 24), celui de la pêche miraculeuse de Saint-Pierre, qui ramène 153 gros poissons à Jésus et à ses disciples. Très peu de nombres sont cités dans la Bible. 153 en fait partie. De nombreuses interprétations exégétiques existent à son propos. Tel n’est pas aujourd’hui le sujet de mon billet, dans lequel je vous propose d’observer les curieuses et innombrables propriétés d’un nombre qui semble cacher bien des mystères.

    1) Tout d’abord, 153 est la somme de tous les entiers de 1 à 17. Cela fait de lui un nombre triangulaire, le 17ème, comme l’illustre le schéma ci-dessous, chaque ligne représentant successivement les nombres 1 à 17. triangle.jpg

    Les nombres triangulaires ont tous cette forme:


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    Ils possèdent diverses propriétés. Je me contenterais d’en citer une. En 1638, Fermat affirma que tout entier était somme de trois nombres triangulaires (à condition de considérer 0 comme un nombre triangulaire). Gauss prouva cette décomposition en 1796. En voici le résultat, relativement aisé à vérifier (M désigne un entier positif; x, y et z trois entiers; et l'équation utilise par ailleurs le théorème des trois carrés de Legendre, lequel induit que tout entier positif congru à 3 modulo 8 est la somme de trois carrés parfaits) :

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    2) 153 est également un nombre hexagonal, le 9ème, ceux-ci étant en fait les nombres triangulaires d’indices impairs.

    3) Ensuite, 153 est égal à la somme des factorielles des entiers de 1 à 5. Rappelons que la factorielle d’un entier naturel n est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Exemple, la factorielle de 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720. On note ce nombre 6 ! On voit donc clairement que

    153 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! + 5 !

    4) 153 est également divisible par la somme de ses chiffres. Soit 1 + 5 + 3 = 9. Et 9 x 17 = 153. On appelle ces nombres les nombres Harshad, terme sanskrit qui signifie «grande joie».

    5) On peut encore écrire 153 sous la forme 153 = 3 x 51. Ce qui fait de lui un nombre de Friedman, soit un entier qui est le résultat d’une combinaison de tous ses chiffres dans une base donnée avec l’une ou l’autre des opérations élémentaires.

    6) 153 est encore un nombre narcissique, c’est-à-dire un nombre égal à la somme des puissances p-ièmes de ses chiffres, p désignant le nombre de chiffres de n. A titre d’information, en voici la formulation mathématique.

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    Plus simplement, 153 est 3-narcissique car 153 = 13 + 53 + 33.

    7) Plus surprenant, prenons à présent au hasard n’importe quel multiple de 3, par exemple 7065. Elevons chacun de ses chiffres au cube, additionnons-les, puis répétons chaque fois la même opération avec le résultat de cette addition.

    73 + 03 + 63 + 53 = 343 + 0 + 216 + 125 = 684

    63 + 83 + 43 = 216 + 512 + 64 = 792

    73 + 93 + 23 = 343 + 729 + 8 = 1080

    13 + 03 + 83 + 03 = 1 + 0 + 512 + 0 = 513

    53 + 13 + 33 = 125 + 1 + 27 = 153

    On constate qu’on obtient 153 après un certain nombre de fois. Vous pouvez de votre côté tenter l’expérience avec n’importe quel multiple de 3, aussi grand soit-il. La série finira immanquablement par 153.

    Miracle ? Je vous laisse juge. Car le 153 possède de nombreuses autres propriétés sur lesquelles je reviendrai un jour.

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  • Qui a peur de la théorie des groupes?

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    rubiks.jpgLes applications de la théorie des groupes sont aussi multiples que variées. Il y a même peu de domaines scientifiques dans lesquels elle n’apparaît pas. En physique théorique (dans l’électrodynamique classique), en chimie (dans le calcul des orbitales moléculaires), et même dans certains jeux, comme ci-dessus le célèbre Rubik’s Cube et ses permutations, la théorie des groupes est partout. Elle intervient également dans pratiquement tous les domaines mathématiques, ce qui rend souvent son étude malaisée, pour ne pas dire compliquée. Cela dit, son étude va des groupes les plus simples aux plus complexes. Le théorème de la classification des groupes simples demeure pourtant l’un des plus longs de l’histoire des mathématiques (lire à la fin de ce billet).

    A l’origine, la notion de groupe a commencé à être utilisée car elle était pratique pour la résolution d’équations. Puis les groupes ont trouvé des implications dans la géométrie, avant de s’imposer comme une discipline à part entière. Mais qu’est-ce qu’un groupe, justement ? On peut y répondre en une phrase : il s’agit d’un ensemble muni d’une loi de composition interne associative avec un élément neutre et un symétrique pour chacun de ses éléments. Détaillons tout cela.

    Prenons un ensemble quelconque, noté G, et munissons-le d’une loi de composition elle aussi quelconque, notée ●. La structure algébrique (G, ●) est un groupe si elle satisfait les quatre conditions ou propriétés suivantes (parfois dénommés axiomes sous une présentation plus formelle).

    i) ● est une opération de G dans G lorsque deux éléments de cet ensemble, a et b, permettent toujours de déterminer un troisième élément, c, qui se trouve lui aussi dans G.

    Ainsi, a, b G, on a :

    a b = c avec c G.

    Voilà pourquoi ● est dite loi de composition interne.

    ii) Il existe un élément n de G qui vérifie l’égalité suivante pour tous les éléments de G (soit a G) :

    n ● a = a ● n = a.

    On appelle n l’élément neutre.

    iii) Pour tout élément a de G, il existe un élément inverse – notons le a’ – tel que:

    a a’ = n.

    iv) Enfin, tous les éléments de G satisfont la propriété associative que voici :

    (a ● b) ● c = a ● (b ●c).

    Par ailleurs, un groupe est dit commutatif, ou abélien, s’il satisfait la propriété suivante, pour tous ses éléments :

    a ● b = b ● a.

    Quelques exemples aideront à mieux comprendre la notion de groupe. Z, l’ensemble des nombres entiers relatifs, muni de l’addition, est ainsi un groupe (infini) qu’on note (Z, +). Son élément neutre est le 0 et son élément inverse (ou ici opposé), pour tout pZ, est noté – p. Ainsi, p + ( p) = ( p) + p = 0, ce qu’on peut écrire plus simplement par p p = 0.

    Dans la même logique, l’ensemble des nombres réels sans le zéro est un groupe (lui aussi infini) avec la multiplication noté (ℝ*, x). 1 est son élément neutre et 1/y son élément inverse pour tout y dans ℝ*. Autre exemple de groupe, là encore infini, celui des symétries d’un cercle de centre c, qui est en réalité un polygone à n côtés avec n tendant vers l’infini ().

    Ces bases ne sont que les prémisses de la théorie des groupes, qui se développe ensuite avec les notions de sous-groupes, de groupes quotients ou d’isomorphismes (etc.), dont je parlerai peut-être un jour. Aujourd’hui, ce qu’on appelle les «groupes simples», c’est-à-dire ceux qui permettent de construire tous les autres, ont tous été identifiés. Quant à la démonstration complète de leur structure, elle se nomme le «théorème monstrueux». Et c’est loin d’être un euphémisme. La première rédaction de cette démonstration occupait en effet entre 10 000 et 15 000 pages. Au XXe siècle, elle a été réduite à 6 000. J’en reparlerai dans un prochain billet qui sera dédié au «monstre», The Monster, appellation d’un groupe fini, simple et non abélien qui contient plus d’éléments qu’il n’existe d’atomes dans tout l’univers !

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