Mathématiques - Page 12

  • Que cache la conjecture de Gilbreath?

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    gilbreath01.jpgPour ce premier billet maths de 2015, j’ai choisi un sujet à la fois très abordable, car ne nécessitant pas un gros bagage mathématique pour être compris, et relativement ludique dans son approche. Il s’agit d’une hypothèse plus connue sous le nom de conjecture de Gilbreath. Pour l’illustrer, voici un tableau avec des nombres et des couleurs. Sur la première ligne, on note la suite de tous les nombres premiers, ici jusqu’à 71 (soit les vingt premiers d'entre eux). Puis on calcule la différence entre chaque premier et celui qui le suit (en valeur absolue). On répertorie la valeur obtenue sur la seconde ligne. On répète l’opération ensuite pour chaque ligne, jusqu’à la fin du tableau. On remarque alors que la première colonne du tableau, juste en dessous du 2, ne contient que des 1. Et qu’aucun 1 n’apparaît d’ailleurs dans aucune autre case.

    La conjecture de Gilbreath stipule qu’aussi loin qu’on répète l’opération, la première colonne ne contiendra toujours que des 1.  Elle est à ce jour démontrée pour tous les nombres premiers inférieurs à 10 puissance 13.

    Voici une autre disposition du tableau, peut-être plus aisée à lire, avec cette fois uniquement les onze premiers nombres premiers.


    Capture d’écran 2015-01-18 à 02.46.53.png


















    On y voit bien le résultat de chaque addition, sous chaque paire de nombres premiers et ainsi de suite. Les couleurs utilisées dans le premier tableau – violet pour les 1, blanc pour les 0 et jaune pour tous les autres nombres – permettent également d’amusantes spéculations. Les 0 sont donc ici en blanc et on remarque qu’ils forment des structures d’apparence triangulaires. Si on agrandit le tableau à une plus grande échelle – c’est-à-dire en prenant les 200 premiers nombres premiers -, la triangulation des 0 est confirmée, comme on peut le voir ci-dessous.

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    Un schéma qui évoque du reste les triangles de Sierpinski. La conjecture de Gilbreath a été formulée en 1958 par le mathématicien Norman J. Gilbreath. Elle semble pourtant avoir déjà été proposée par d’autres chercheurs au XIXe siècle, ce qui n’est pas illogique, car elle résulte finalement d’un travail d’observation auquel tout le monde ou presque pourrait se livrer. Qu’apporterait sa résolution ? Difficile à dire, mais sans doute pas une révolution en théorie des nombres.

    Ultime remarque, on notera, dans la seconde ligne du tableau, qu’apparaissent tous les écarts successifs entre premiers. L’écart de 2 indique tous les jumeaux. L’écart de 4 tous les premiers dits cousins. Et l’écart de 6 tous les premiers dits sexy. Si ces valeurs se reproduisaient à l’infini, cela prouverait bien sûr que la conjecture des nombres premiers jumeaux (et cousins et sexy) est vraie.

     

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  • La conjecture de Goldbach est-elle vraie?

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    Goldbach.jpg

     

    Tout nombre pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers: cet énoncé a beau avoir l’air tout simple, il n’est toujours pas démontré aujourd’hui. Ce séduisant graphique de forme triangulaire illustre cette affirmation, plus connue sous le nom de conjecture de Goldbach. Sur les côtés gauche et droit de notre schéma, on remarque la succession de tous les nombres premiers jusqu’à 47 (ou plus petits que 50, ce qui revient au même). Au centre du triangle, le résultat de leurs additions (ou plus précisément toutes les solutions de l’équation 2N = p + q avec p et q premiers), visibles à travers les lignes bleue et rose qui se croisent. Les nombres qui en résultent sont tous pairs, ce qui est logique, la somme de deux premiers supérieurs à deux, donc l’un et l’autre impairs, engendrant forcément un résultat pair, comme (dé)montré ci-dessous.

    (2k + 1) + (2n +1) = 2k + 2n + 2 = 2 x (k + n + 1)

    On note encore que tous les nombres pairs jusqu’à 50 se retrouvent dans cette liste. Et que les lignes grises figurant à côté comportent toutes au moins un point de croisement. Ce constat nous amène naturellement à la fameuse conjecture de Goldbach.

    En 1742, le mathématicien allemand Christian Goldbach (1690 – 1764) écrivit une lettre à Leonhard Euler, lui proposant la conjecture suivante : «Tout nombre plus grand que 2 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers». Ce à quoi Euler répondit que cette affirmation découlait d’un autre énoncé, à savoir que tout nombre pair (supérieur à 3 dans la formulation actuelle, comme dit au début de ce billet) peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. Tel est le point de départ d’un problème insoluble qui est en réalité le cas particulier d’une autre conjecture en rapport avec l’hypothèse H de Schinzel (sur laquelle je consacrerai un billet l’année prochaine). Il existe également des variantes de la conjecture et une version faible stipulant que tout entier supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs.

    Mais revenons à Goldbach. Depuis 2012, sa conjecture a été démontrée (par le mathématicien portugais Tomas Oliveira e Silva) pour tous les nombres pairs jusqu’à 4 x 1018. En d’autres termes, pour démontrer sa fausseté (peu probable, mais sait-on jamais), il suffirait de lui trouver un contre-exemple, autrement dit un nombre pair supérieur à 4 x 1018 qui ne soit pas la somme de deux nombres premiers. Si ce nombre existe, il est donc énorme. Et si on ne le trouve jamais, la conjecture est donc vraie.

    On peut également étudier le problème en passant par la quantité de partitions correspondant à chaque nombre N. Elle est généralement notée r(N). Pour la définir, un exemple suffira. Prenons le nombre 100. On peut l’écrire comme suit :

    100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53

    Au total, il y a donc six partitions, six façons d’écrire 100 comme somme de deux nombres premiers. Autrement dit, pour N = 100, r(N) = 6. En toute légitimité, on peut dès lors supposer que plus N est grand et plus r(N) le sera aussi. (Le cas r(N) = 0 infirmerait évidemment la conjecture.) Assertion que le tableau ci-dessous, appelé comète de Goldbach, semble confirmer.


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    Et pourtant, malgré tout cela, la conjecture n’est toujours pas démontrée !

    En recherchant sur le net, on s’aperçoit qu’il existe plusieurs démonstrations en ligne de la conjecture. Aucune n’a pour l’instant été validée. En revanche, la version faible de la conjecture serait démontrée depuis 2013. Dans la liste des problèmes de Hilbert, la conjecture de Goldbach porte le numéro 8, qu’elle partage avec l’hypothèse de Riemann et la conjecture des nombres premiers jumeaux.

     

     

     

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  • L'identité d'Euler, manifeste du génie helvétique?

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    euler_t_shirt.jpgOn la retrouve sur des tee shirts. Elle se décline sur des sacs. euler_sac.jpg


    Et même des coques de smartphones.

    euler_coque2.jpg

    Et sur toutes sortes d’autres objets comme ici sur ce "gobelet" à café.

    eulercafe.jpg

    Elle, c’est l’identité d‘Euler, l’une des formules les plus célèbres et les plus belles de toute l’histoire des maths. La voici en dehors de tout support:

    Capture d’écran 2014-12-21 à 17.33.01.png

    C’est le Bâlois Leonhard Euler (1707 – 1783) qui l’a découverte et l’a mentionnée dans un ouvrage paru en 1748, sans vraiment la démontrer. Ce qu’il y a évidemment de remarquable dans cette égalité a priori très simple, c’est la coprésence de cinq constantes mathématiques fondamentales. Voyons plutôt.

    0 et 1 sont les éléments neutres respectifs de l’addition et de la multiplication.

    Pi ou π est un nombre transcendant désignant le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. Rappelons qu’un nombre est dit transcendant s’il n’est racine d’aucun polynome à coefficients entiers.

    e est la base du logarithme naturel et se caractérise par la relation ln(e) = 1. Tout comme π, il s’agit d’un nombre transcendant.

    Quant à i, racine carrée de – 1, c’est l’unité imaginaire servant de base à la construction des nombres complexes.

    La relation qu’établit Euler entre ces cinq nombres utilise par ailleurs trois opérations fondamentales, l’addition, la multiplication et l’exponentiation. L’identité d’Euler peut se démontrer de plusieurs manières et bizarrement de façon assez aisée. En géométrie, on peut l’établir par la juxtaposition de triangles rectangles. En analyse complexe, on déduit qu'elle est un cas particulier de la formule suivante (dans laquelle apparaissent les fonctions trigonométriques sinus et cosinus)

    mathrm e^{mathrm ix} = cos x + mathrm i sin x ,!

    et, grâce à différentes égalités déductibles des séries de Taylor, dont voici un exemple,

    Capture d’écran 2014-12-21 à 17.45.15.png

    on peut démontrer l'identité via des calculs et injections que je ne reproduirai pas ici pour ne pas alourdir ce billet.

    D’Euler, déjà mentionné dans plusieurs billets maths (et notamment dans celui dédié au théorème des nombres premiers), il sera évidemment fréquemment question dans de futurs billets. Il reste l’un des scientifiques les plus grands et les plus prolifiques de tous les temps. Son apport dans des branches aussi variées que le calcul infinitésimal, l’analyse mathématique, la théorie des graphes ou, en physique, la dynamique des fluides et l’astronomie, font de lui l’un des Suisses les plus célèbres à travers l’histoire. Et vous l’avez tous tenu entre vos mains. Souvenez-vous de nos anciens billets de dix francs. C’est Euler qui est dessus.

    eulerbillet.jpg

     

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