11/10/2015

Sophie Germain fut-elle une pionnière?

germain.jpgMême si plusieurs écoles, une rue de Paris et un hôtel portent aujourd’hui son nom, Sophie Germain (1776 – 1831) eut en son temps toutes les peines du monde à s’imposer dans un univers d’hommes d’où les femmes étaient généralement exclues. Dès l’âge de treize ans, elle se passionne pour les mathématiques et étudie la nuit dans sa chambre à la lueur de bougies. Son père, ne comprenant pas que sa fille s’intéresse à une «profession masculine», les lui confisque. Mais elle s’obstine et il finit par la soutenir. Pour emprunter les cours de l’Ecole polytechnique, alors strictement réservée aux hommes, Sophie Germain se fait passer pour un ancien élève, Antoine Auguste Le Blanc.  Séduit par ses travaux brillants, Lagrange (1776 – 1813), un mathématicien célèbre dont il sera bientôt question dans ce blog, la convoque et découvre l’imposture. Puis devient son ami et son mentor. C’est encore sous le nom de Le Blanc que Sophie Germain contacte Gauss (1777 – 1855), l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire, pour parler notamment de ses découvertes sur le dernier théorème de Fermat. S’ensuivra une longue correspondance entre les deux. Plus tard, elle sera la première femme autorisée à assister aux séances de l’Institut de France. Et sur les conseils de Gauss, elle reçoit en 1830 un titre honorifique à l’Université de Göttingen, mais décède d’un cancer du sein avant de le réceptionner.

Le génie de Sophie Germain est incontestable. Parmi ses travaux les plus célèbres, la démonstration de la véracité du dernier théorème de Fermat pour certains nombres, est l’un des plus importants. Pour en parler, il faut d’abord rappeler en quelques mots ce qu’est un nombre premier de Sophie Germain. Soit p, un nombre premier. Si 2p + 1 est à son tour un nombre premier, on dit alors que p est un premier de Sophie Germain. Exemples ? 3, 11 ou 29 sont des premiers de Sophie Germain (tout comme 2, 5 et 23 dans ce même intervalle), car

2 x 3 + 1 = 7

2 x 11 + 1 = 23

2 x 29 + 1 = 59

sont tous également premiers. On conjecture qu’il en existe une infinité, mais, tout comme la conjecture des nombres premiers jumeaux, celle-ci n’est pas davantage démontrée. On estime leur nombre, pour un entier inférieur à n, à

Capture d’écran 2015-10-11 à 19.26.50.pngC est ici la constante des nombres premiers jumeaux, que les lecteurs attentifs de mon blog auront déjà rencontré dans mon billet consacré aux deux conjectures de Hardy-Littlewood (lire ici).

Capture d’écran 2015-10-11 à 19.27.07.pngC’est durant ses recherches sur Fermat (né entre 1601 et 1610, décédé en 1665), dont le dernier théorème stipule qu’il n’existe aucune solution entière pour n > 2 à l’égalité

fermat.jpgque Sophie Germain va démontrer que si n et 2n + 1 sont premiers, alors x, y ou z sont divisibles par n. Et que si n est impair et 2n + 1 premier, alors le théorème n’admet aucune solution si le produit xyz ne divise pas n. En d’autres termes, elle prouve que Fermat est vrai en tout cas pour tous les nombres de cette forme.

Sophie Germain aurait-elle pu aller plus loin, voire résoudre Fermat ? Rien ne l’exclut. En effet, des chercheurs ont relu récemment tous les manuscrits de la mathématicienne, et notamment sa correspondance avec Gauss. Il en ressort qu’elle avait un plan d’attaque très ambitieux pour résoudre Fermat, qui ne sera prouvé, pour rappel, qu’en 1994 par Andrew Wiles. Voici notamment ce qu’elle écrit dans une lettre adressée à Gauss en 1819 :

«Vous concevrez aisément, Monsieur, que j'ai dû parvenir à prouver que cette équation ne serait possible qu'en nombres dont la grandeur effraie l'imagination. (…) Mais tout cela n'est encore rien, car il faut l'infini et non pas le très grand.»

Le lecteur en tirera les conclusions nécessaires.

 

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04/10/2015

La conjecture d’Elliott-Halberstam, un espoir pour les maths du futur ?

premiers.pngDans la constellation des nombres premiers, l’ordre semble surgir du chaos et le hasard obéir à des règles aussi strictes que mystérieuses. Ces quatre motifs abstraits, de gauche à droite et de haut en bas, présentent successivement la suite des nombres premiers, puis ceux qui sont respectivement jumeaux, cousins et sexy – c’est-à-dire distants de deux, quatre ou six unités. (Pour des raisons que le bon sens suffit à démontrer, cette différence ne peut évidemment pas être impaire.) Décèle-t-on un ordre quelconque dans ces suites de points qui paraissent surgir sans logique les uns derrière les autres ? Pas vraiment. En irait-il de même si on agrandissait démesurément ces figures ? Peut-être. Comment progressent ces suites de nombres lorsqu’elles tendent vers l’infini et à quelle fréquence les écarts successifs entre premiers apparaissent-ils ? Même si le théorème des nombres premiers (lire ici) répond en grande partie à cette question, nous sommes encore loin d’en avoir fait le tour. Dans tous les cas, dès qu’on aborde le sujet des nombres premiers – auxquels j’ai déjà consacré un certain nombre de billets dans ce blog –, on finit tôt ou tard par buter sur un obstacle. Hypothèses, conjectures, théorèmes en attente de démonstration, énigmes, les dossiers ne manquent pas. Je vais me pencher aujourd’hui sur le cas d’une conjecture elle aussi ouverte, du moins en partie, la conjecture d’Elliott-Halberstam, qui découle d’ailleurs du théorème de la progression arithmétique – la notion de progression étant ici assurément centrale. Pour présenter cette conjecture, ou plutôt la résumer (il faudrait plus de 50 pages pour l’exposer réellement) – quitte à ce que la suite de ce billet soit malheureusement difficile et ardue pour les néophytes -, il convient de rappeler quelques notions, dans une forme très synthétique. Les voici :

1) Le théorème de la progression arithmétique : démontré par Dirichlet (1805 – 1859), il stipule que pour tous les entiers naturels différents de zéro et premiers entre eux – nommons les m et n -, il existe une infinité de premiers de la forme m + an (a étant un entier positif).

2) La fonction de compte des nombres premiers : elle désigne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x (x étant un nombre réel). On la note en général π (x), à ne pas confondre avec le nombre Pi.

3) Les congruences modulo : deux nombres entiers a et b sont dits congruents modulo n si leur différence est divisible par n, ou si le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n. Exemple : 26 est congru à 12 modulo 7 car 26 – 12 = 14, qui est un multiple de 7. De plus, 26 et 12 ont tous deux 5 comme reste lors de leur division par 7.

4) La fonction indicatrice d’Euler : il s’agit d’une fonction arithmétique qui associe, à tout entier naturel non nul n, le nombre d’entiers premiers avec n compris entre 1 et n. Elle est notée φ (n), du nom de la lettre grecque phi. Exemple : φ (8) = 4, car entre 1 et 8, les nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8.

 5) La fonction logarithme naturel ou népérien : notée ln(x), elle est la réciproque de la fonction exponentielle.

A présent que ces notions ont été évoquées, on peut tenter de définir notre conjecture. Soit π (x ; q, a), le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont congrus à a modulo q. On peut en déduire, sur la base du théorème de la progression arithmétique, l’«égalité» suivante :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.14.28.pngA dessein, j’ai écrit égalité entre guillemets. Car en effet, ce n’en est pas tout à fait une, comme l’indique le symbole d’approximation usité. En d’autres termes, l’égalité comporte une marge d’erreur. Celle-ci se calcule aisément via une autre formule où le max est considéré parmi tous les a premiers avec q :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.14.43.pngLa conjecture d’Elliott-Halberstam affirme dès lors que pour tout θ < 1, et pour tout A > 0, il existe une constante C telle que pour tout x ≥ 2 :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.19.12.pngJe disais au début de ce billet que la conjecture est un problème ouvert. Pour le cas où θ = 1, elle est fausse. Pour les cas où θ < ½, elle a été démontrée et porte le nom de théorème de Bombieri-Vinogradov, qui est par ailleurs une forme moyennée de l’hypothèse de Riemann généralisée (j’en parlerai un jour dans un billet). Mais si la conjecture était démontrée, elle aurait de nombreuses conséquences. Et notamment de montrer qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d’au plus 16 unités. En clair, on ferait un pas décisif en direction de la démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux, irrésolue depuis des millénaires.

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27/07/2015

Quels mystères se nichent sous la constante gamma?

gamma.jpgJ'ai déjà parlé dans mon blog de plusieurs nombres particuliers. La constante de Brun, mais bien sûr aussi Pi, e et i, qu'Euler relia dans son identité magique, sans oublier les nombres parfaits, les nombres intouchables, le nombre 2147483647, les nombres de Mersenne et quelques autres que vous pouvez retrouver en vous baladant dans la section mathématiques de mon blog. Aujourd'hui, je vais évoquer la constante gamma, plus connue sous le nom de constante d'Euler-Mascheroni (du nom des deux mathématiciens qui furent les premiers à identifier bon nombre de ses décimales). La voici, avec ses 100 premières décimales:


0,577215664901532860606512090082402431042159335939923598805767234884867726777 6646709369470632917467495

 

Pour la déterminer, il suffit d'abord de considérer une série connue sous le nom de série harmonique (représentation graphique ci-dessus) qui consiste à sommer les inverses des entiers naturels. La voici, exprimée sous sa forme usuelle de somme infinie:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.04.04.png

 

Il s'agit d'une série divergente, c'est-à-dire qui tend vers l'infini pour k très grand. Mais en revanche, sa divergence est extrêmement lente. Si on l'exprime graphiquement, on va très vite observer sa proximité avec une autre fonction, à savoir ln(x), ou logarithme naturel, comme le montre le graphique ci-dessous, sur lequel on voit clairement la similitude entre les deux courbes:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.11.56.png

L'idée est alors de calculer la différence entre les deux, la série harmonique et le logarithme naturel, et de voir ce vers quoi on tend. La formule est aisée à déduire:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.14.42.png

Ou, sous sa forme condensée:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.14.54.png

Mais vers quoi tend cette limite, figurée ci-dessus par la lettre grecque gamma? Justement vers cette constante gamma, qu'on peut approximer par le nombre 0,5772156649. Cela dit, le calcul est lent, et il faut aller jusqu'à de très grandes valeurs de k pour que les décimales se précisent. On ne sait toujours pas aujourd'hui si cette constante d'Euler-Mascheroni est un nombre rationnel ou pas, mais si elle l'était, son dénominateur posséderait plus de 242 080 chiffres. Le Suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) fut le premier à la calculer en 1781 avec quinze décimales, puis Lorenzo Mascheroni (1750 - 1800) parvint à en donner dix-neuf (décimales) en 1791. Aujourd'hui, on en connaît environ 30 milliards. Mais à quoi sert-elle, me direz-vous, du moins si vous êtes arrivés jusque là? La réponse pourrait prendre plusieurs billets de ce blog. Mais au-delà de son rôle par rapport à la célèbre fonction gamma, qui fera l'objet d'un billet ultérieur, on retrouve cette constante d'Euler-Mascheroni dans d'innombrables formules. Mon but n'est pas d'en faire la liste, très longue, mais juste de signaler l'étonnante égalité que voici:

 

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.34.09.png

Surprenante car elle met en relation notre constante gamma avec la célèbre fonction zêta de Riemann (piqûre de rappel ici), qu'on retrouve ci-dessus symbolisée par sa lettre grecque. Qu'est-ce que la fonction zêta vient faire ici? Quel incroyable mystère gouverne cet improbable rapprochement? Bien malins ceux qui pourront le dire.

 

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