27/05/2016

Le mystère des crop circles: 1) L'apparition du nombre Pi

crop3.jpgCette nouvelle série de billets se propose de revenir, toutefois sans tenter de l’expliquer, sur un phénomène qui a mauvaise presse et dont les médias ne parlent peu ou prou jamais, à savoir les crop circles. Vaste supercherie et œuvre de quelques farceurs surdoués (c’est peu crédible, même si certains artistes en ont ensuite créé eux-mêmes) pour les uns, émanation de civilisations extra-terrestres lointaines (non prouvable vu l’état de nos connaissances actuelles) pour d’autres, ce qui bien sûr infirmerait le paradoxe de Fermi, ces agroglyphes surgissent sans crier gare, généralement de nuit, dans des champs de céréales et se forment par la flétrissure des épis. Ils dévoilent des motifs et compositions géométriques complexes visibles depuis le ciel. Certains couvrent plusieurs hectares.

Pour ce premier billet, voici un crop circle découvert à Barbary Castle, dans le Wilshire, le 1er juin 2008. Il mesure 45 mètres et il s’agit d’un des crop circles les plus complexes jamais observés. C’est l’astrophysicien Mike Reed qui a découvert, après des mois de recherches, comment l’interpréter. Se basant sur une photographie, il a codé l’image en un graphe que voici :

cropcirclecolors.jpg

Observons chacun des segments proportionnellement identiques, décalés à des endroits stratégiques, ici représentés par des couleurs différentes. Les plus petits, rouges, près du centre, sont au nombre de 3. Un segment unique apparaît ensuite, en vert. Il contient un point. Suivent 4 segments violets, 1 orange, 5 bleus clairs, 9 jaunes, 2 violets, 6 rouges, 5 verts et 4 bleus. Enfin, trois cercles noirs terminent le circuit, suggérant l’idée d’infinité. Que signifient ces chiffres ? La réponse saute aux yeux lorsqu’on les écrit bout à bout et dans l’ordre.

3.141592654…

On reconnaît en effet là le nombre Pi, le plus célèbre d’entre tous les nombres, et ses dix premières décimales. L’infinitude de la période représentée par les trois cercles noirs concluant le cercle fait clairement partie du dessin. Tout cela est d’autant plus surprenant que cette représentation de Pi ne correspond à aucun usage mathématique du nombre, toutes civilisations et époques confondues. Qu’en déduire ? Que le crop circle a été conçu par un génie des maths dont l’identité demeurera à jamais inconnue ? Ou qu’il serait l’œuvre de quelque civilisation lointaine qui cherche à communiquer avec l’homme ? La question reste douloureusement ouverte.

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16/03/2016

A-t-on découvert une loi ordonnant les nombres premiers?

premiers.jpgDepuis quelques jours, la communauté mathématique est en ébullition. Deux chercheurs de l’université de Stanford, en Californie – Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver –, aidés d’énormes processeurs, ont découvert une propriété inédite concernant les nombres premiers (représentés ci-dessus dans un graphique circulaire), qui pour rappel, ne sont divisibles que par eux-mêmes et par 1. Le pire, c’est que cette découverte est d’une simplicité affolante, au point de se demander pourquoi personne n’y a songé avant. Elle consiste à observer les chiffres terminant les nombres premiers. Ceux-ci ne peuvent en effet se terminer que par 1, 3, 7 ou 9. Pour des raisons qu’il n’est nul besoin de démontrer, une terminaison par 2, 4, 6 ou 8 est exclue – tous les nombres de cette forme étant des multiples de 2. Raisonnement identique pour 5 ou 0 et les multiples de 5. Restent donc ces quatre chiffres, seule possibilité de terminaison pour un candidat à la primalité : 1, 3, 7 et 9. Nos deux chercheurs ont donc observé tous les nombres premiers jusqu’à un milliard et ont remarqué que la fréquence d’apparition de certaines terminaisons après d’autres n’était pas équiprobable. Prenons l’exemple d’un nombre premier se terminant par 1. En toute logique, la probabilité que le premier suivant, son successeur, se termine par 1, 3, 7 ou 9 devrait être la même. Or non, justement. Il n’en est rien. Ainsi, un premier se finissant par 1 n’a que 18% de chances d’être suivi par un premier de même forme. En revanche, il y a 30% de chances qu’il soit suivi par un premier se terminant par 3 ou 7. Et 22% par un premier se terminant par le chiffre 9. Et ainsi de suite.

Le problème, c’est que ces écarts probabilistes ne sont pas minimes. Ils sont importants, conséquents. Suffisamment en tout cas pour poser question et surtout remettre en cause l’ordre a priori aléatoire de l’apparition des premiers dans la suite des entiers. D’autant plus que l’écart se creuse encore plus lorsqu’on débute la chaîne par un premier se terminant par 9. Il a alors 65% de chances supplémentaires d’être suivi par un premier se terminant par 1 que par un autre se terminant par 9. La logique voudrait que toutes ces probabilités s’équilibrent, comme je l’ai dit avant. C’est loin d’être le cas, ce qui laisse supposer l’existence d’une loi cachée ordonnant la succession des nombres premiers et leur apparition selon un critère moins aléatoire qu’on le pensait. A moins de redéfinir la notion d’aléatoire, autrement dit de l’élargir. Nous en sommes loin.

Enfin, pour réfuter cette découverte, on pourrait affirmer que ces fréquences d’apparitions ne sont pas si illogiques lorsqu’on observe tous les nombres, premiers ou pas, se terminant par 1, 3, 7 ou 9. Prenons l’exemple de la chaîne 41, 43, 47 et 49. 41 est premier. Il est suivi par 43 (ce sont en l’occurrence des jumeaux), puis par 47. La probabilité qu’il soit suivi par un premier se terminant à son tour par 1 est donc plus faible que les autres. C’est empirique et imparable, et valable pour n’importe quelle chaîne analogue. Sauf que les deux chercheurs de Stanford (photo ci-dessous) ont envisagé ce cas de figure (raisonnement) et constaté qu’il ne tenait pas la route par rapport à la magnitude des biais découlant de leur observation des nombres dans d’autres bases (exemple en base 3, où tous les nombres se terminent par 1 ou 2). En d’autres termes, les mathématiciens ont du pain sur la planche pour plusieurs décennies.

stanford.jpg

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21/01/2016

Découverte d'un nouveau nombre premier de Mersenne: qui dit mieux?

mersenne.jpgEn 1949, ce tank préhistorique traquait déjà les nombres premiers de Mersenne. En a–t-il trouvé ? Pas vraiment, et vu leur rareté, ce n’est guère étonnant. Mais l’algorithme nécessaire pour cette recherche fonctionnait parfaitement. On va un peu plus vite aujourd’hui, mais il a quand même fallu 31 jours à différents ordinateurs pour valider la découverte, ce 7 janvier, d’un nouveau nombre de Mersenne, qui est aussi désormais le plus grand nombre premier connu. Il s’agit de 274207281 – 1. Il est composé de 22 millions 338 618 chiffres. Il s’agit du 49e premier de Mersenne trouvé à ce jour (un classement provisoire, rien n’indique en effet qu’il n’en existe pas de plus petits qui n’aient pas encore été découverts). Et même si les grands premiers s’avèrent utiles en cryptographie, celui-ci est trop énorme pour avoir une quelconque utilité. Jusqu’alors, le plus grand premier de Mersenne, découvert en janvier 2013, totalisait 17 millions de chiffres et des poussières.

Rappelons qu’un premier de Mersenne est un nombre de la forme 2p – 1 dans lequel p est lui aussi premier. C’est le scientifique français Marin Mersenne (1588 – 1648, photo) Marin_mersenne.jpgqui fut le premier à en fournir une liste presque exacte, à quelques omissions près. Depuis, les nombres de Mersenne font l’objet de recherches approfondies en théorie des nombres. Je leur avais déjà consacré un billet détaillé qu’on peut consulter en cliquant ici. Rappelons encore que chaque premier de Mersenne engendre à son tour un nombre parfait, c’est-à-dire un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres. En effet, selon différents travaux entrepris notamment par le Suisse Euler (1707 – 1783), on sait que si 2p – 1 est premier, alors 2p-1 x (2p – 1) est parfait. Par conséquent, 274207280 x (274207281 – 1) est le plus grand nombre parfait connu à ce jour.

Mais peut-on encore aller plus loin ? Oui, vu l’infinitude des nombres premiers. En d’autres termes, le challenge est désormais de battre ce nouveau nombre obtenu, tout comme le précédent en 2013, par le professeur Curtis Cooper de l’Université du Missouri – il avait du reste déjà battu deux records dans ce domaine en 2005 et 2006 - via son logiciel relié à la plateforme du GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), installé depuis plusieurs années et pour lequel 150 000 ordinateurs sont déjà connectés. En effet, ce logiciel créé il y a vingt ans, et grâce auquel on a pu découvrir les 15 plus grands premiers de Mersenne, est téléchargeable par n’importe quels volontaires. L’objectif consiste à présent à trouver un nombre premier de plus de cent millions de chiffres. L'Electronic Frontier Foundation promet d'ailleurs une récompense de 150 000 $ à celui ou celle qui y parviendrait. Chiche ?

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