21/01/2016

Découverte d'un nouveau nombre premier de Mersenne: qui dit mieux?

mersenne.jpgEn 1949, ce tank préhistorique traquait déjà les nombres premiers de Mersenne. En a–t-il trouvé ? Pas vraiment, et vu leur rareté, ce n’est guère étonnant. Mais l’algorithme nécessaire pour cette recherche fonctionnait parfaitement. On va un peu plus vite aujourd’hui, mais il a quand même fallu 31 jours à différents ordinateurs pour valider la découverte, ce 7 janvier, d’un nouveau nombre de Mersenne, qui est aussi désormais le plus grand nombre premier connu. Il s’agit de 274207281 – 1. Il est composé de 22 millions 338 618 chiffres. Il s’agit du 49e premier de Mersenne trouvé à ce jour (un classement provisoire, rien n’indique en effet qu’il n’en existe pas de plus petits qui n’aient pas encore été découverts). Et même si les grands premiers s’avèrent utiles en cryptographie, celui-ci est trop énorme pour avoir une quelconque utilité. Jusqu’alors, le plus grand premier de Mersenne, découvert en janvier 2013, totalisait 17 millions de chiffres et des poussières.

Rappelons qu’un premier de Mersenne est un nombre de la forme 2p – 1 dans lequel p est lui aussi premier. C’est le scientifique français Marin Mersenne (1588 – 1648, photo) Marin_mersenne.jpgqui fut le premier à en fournir une liste presque exacte, à quelques omissions près. Depuis, les nombres de Mersenne font l’objet de recherches approfondies en théorie des nombres. Je leur avais déjà consacré un billet détaillé qu’on peut consulter en cliquant ici. Rappelons encore que chaque premier de Mersenne engendre à son tour un nombre parfait, c’est-à-dire un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres. En effet, selon différents travaux entrepris notamment par le Suisse Euler (1707 – 1783), on sait que si 2p – 1 est premier, alors 2p-1 x (2p – 1) est parfait. Par conséquent, 274207280 x (274207281 – 1) est le plus grand nombre parfait connu à ce jour.

Mais peut-on encore aller plus loin ? Oui, vu l’infinitude des nombres premiers. En d’autres termes, le challenge est désormais de battre ce nouveau nombre obtenu, tout comme le précédent en 2013, par le professeur Curtis Cooper de l’Université du Missouri – il avait du reste déjà battu deux records dans ce domaine en 2005 et 2006 - via son logiciel relié à la plateforme du GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), installé depuis plusieurs années et pour lequel 150 000 ordinateurs sont déjà connectés. En effet, ce logiciel créé il y a vingt ans, et grâce auquel on a pu découvrir les 15 plus grands premiers de Mersenne, est téléchargeable par n’importe quels volontaires. L’objectif consiste à présent à trouver un nombre premier de plus de cent millions de chiffres. L'Electronic Frontier Foundation promet d'ailleurs une récompense de 150 000 $ à celui ou celle qui y parviendrait. Chiche ?

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26/10/2015

Que cache la conjecture de Legendre?

premiers entre 1 et 1049.gifS’agissant des nombres premiers, la méthode du crible d’Eratosthène (tableau ci-dessus), que je suppose connue du lecteur, reste encore l’une des plus efficaces pour déterminer leur apparition dans la suite des entiers. Le problème, c’est qu’elle est fastidieuse, donc sans portée lorsqu’on tend vers de très grands nombres. S’agissant des nombres premiers toujours, plusieurs conjectures demeurent aujourd’hui ouvertes. C’est le cas de la conjecture de Legendre (1752 – 1833), qui stipule qu’il existe un nombre premier, pour tout entier non nul n, entre n2 et (n+1)2. L’affaire a l’air simple comme bonjour, elle n’est toujours pas résolue à l’heure actuelle, même si quelques démonstrations non encore validées ont fleuri ici et là sur des forums. Une conjecture très proche, le postulat de Bertrand (1822 – 1900), affirme qu’entre un entier et son double existe toujours un nombre premier. Mais celle-ci fut démontrée, par Tchebychev (1821 – 1894) en 1852, puis plus simplement par Ramanujan (1887 – 1920) et par Paul Erdöss (1913 – 1996) au XXe siècle.

Revenons à la conjecture de Legendre. Supposons qu’elle soit vraie. Prenons alors un nombre premier de rang m, soit pm. En ce cas, n peut s’écrire [pm] + 1. On aurait donc (les calculs qui suivent sont aisés à effectuer et déduire) :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.57.37.png

Par suite, on voit que :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.58.22.pngEt en simplifiant :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.59.09.pngCe qui nous fait presque aboutir à un autre problème irrésolu, l’hypothèse de Riemann, laquelle implique, pour une constante C strictement plus grande que 0, que :

Capture d’écran 2015-10-26 à 20.00.45.pngEst-ce réellement surprenant ? Non, dans la mesure où l’hypothèse de Riemann apparaît souvent lorsqu’on étudie un peu le comportement des nombres premiers quand ceux-ci tendent vers l’infini. Et ce court billet n’est destiné qu’à rappeler les liens parfois très serrés qu’entretiennent des domaines mathématiques apparemment éloignés. Pour exemple, rêvons un instant en nous rappelant le cheminement sinueux emprunté par Andrew Wiles pour démontrer le dernier théorème de Fermat, déjà évoqué dans ce blog.

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11/10/2015

Sophie Germain fut-elle une pionnière?

germain.jpgMême si plusieurs écoles, une rue de Paris et un hôtel portent aujourd’hui son nom, Sophie Germain (1776 – 1831) eut en son temps toutes les peines du monde à s’imposer dans un univers d’hommes d’où les femmes étaient généralement exclues. Dès l’âge de treize ans, elle se passionne pour les mathématiques et étudie la nuit dans sa chambre à la lueur de bougies. Son père, ne comprenant pas que sa fille s’intéresse à une «profession masculine», les lui confisque. Mais elle s’obstine et il finit par la soutenir. Pour emprunter les cours de l’Ecole polytechnique, alors strictement réservée aux hommes, Sophie Germain se fait passer pour un ancien élève, Antoine Auguste Le Blanc.  Séduit par ses travaux brillants, Lagrange (1776 – 1813), un mathématicien célèbre dont il sera bientôt question dans ce blog, la convoque et découvre l’imposture. Puis devient son ami et son mentor. C’est encore sous le nom de Le Blanc que Sophie Germain contacte Gauss (1777 – 1855), l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire, pour parler notamment de ses découvertes sur le dernier théorème de Fermat. S’ensuivra une longue correspondance entre les deux. Plus tard, elle sera la première femme autorisée à assister aux séances de l’Institut de France. Et sur les conseils de Gauss, elle reçoit en 1830 un titre honorifique à l’Université de Göttingen, mais décède d’un cancer du sein avant de le réceptionner.

Le génie de Sophie Germain est incontestable. Parmi ses travaux les plus célèbres, la démonstration de la véracité du dernier théorème de Fermat pour certains nombres, est l’un des plus importants. Pour en parler, il faut d’abord rappeler en quelques mots ce qu’est un nombre premier de Sophie Germain. Soit p, un nombre premier. Si 2p + 1 est à son tour un nombre premier, on dit alors que p est un premier de Sophie Germain. Exemples ? 3, 11 ou 29 sont des premiers de Sophie Germain (tout comme 2, 5 et 23 dans ce même intervalle), car

2 x 3 + 1 = 7

2 x 11 + 1 = 23

2 x 29 + 1 = 59

sont tous également premiers. On conjecture qu’il en existe une infinité, mais, tout comme la conjecture des nombres premiers jumeaux, celle-ci n’est pas davantage démontrée. On estime leur nombre, pour un entier inférieur à n, à

Capture d’écran 2015-10-11 à 19.26.50.pngC est ici la constante des nombres premiers jumeaux, que les lecteurs attentifs de mon blog auront déjà rencontré dans mon billet consacré aux deux conjectures de Hardy-Littlewood (lire ici).

Capture d’écran 2015-10-11 à 19.27.07.pngC’est durant ses recherches sur Fermat (né entre 1601 et 1610, décédé en 1665), dont le dernier théorème stipule qu’il n’existe aucune solution entière pour n > 2 à l’égalité

fermat.jpgque Sophie Germain va démontrer que si n et 2n + 1 sont premiers, alors x, y ou z sont divisibles par n. Et que si n est impair et 2n + 1 premier, alors le théorème n’admet aucune solution si le produit xyz ne divise pas n. En d’autres termes, elle prouve que Fermat est vrai en tout cas pour tous les nombres de cette forme.

Sophie Germain aurait-elle pu aller plus loin, voire résoudre Fermat ? Rien ne l’exclut. En effet, des chercheurs ont relu récemment tous les manuscrits de la mathématicienne, et notamment sa correspondance avec Gauss. Il en ressort qu’elle avait un plan d’attaque très ambitieux pour résoudre Fermat, qui ne sera prouvé, pour rappel, qu’en 1994 par Andrew Wiles. Voici notamment ce qu’elle écrit dans une lettre adressée à Gauss en 1819 :

«Vous concevrez aisément, Monsieur, que j'ai dû parvenir à prouver que cette équation ne serait possible qu'en nombres dont la grandeur effraie l'imagination. (…) Mais tout cela n'est encore rien, car il faut l'infini et non pas le très grand.»

Le lecteur en tirera les conclusions nécessaires.

 

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