04/10/2015

La conjecture d’Elliott-Halberstam, un espoir pour les maths du futur ?

premiers.pngDans la constellation des nombres premiers, l’ordre semble surgir du chaos et le hasard obéir à des règles aussi strictes que mystérieuses. Ces quatre motifs abstraits, de gauche à droite et de haut en bas, présentent successivement la suite des nombres premiers, puis ceux qui sont respectivement jumeaux, cousins et sexy – c’est-à-dire distants de deux, quatre ou six unités. (Pour des raisons que le bon sens suffit à démontrer, cette différence ne peut évidemment pas être impaire.) Décèle-t-on un ordre quelconque dans ces suites de points qui paraissent surgir sans logique les uns derrière les autres ? Pas vraiment. En irait-il de même si on agrandissait démesurément ces figures ? Peut-être. Comment progressent ces suites de nombres lorsqu’elles tendent vers l’infini et à quelle fréquence les écarts successifs entre premiers apparaissent-ils ? Même si le théorème des nombres premiers (lire ici) répond en grande partie à cette question, nous sommes encore loin d’en avoir fait le tour. Dans tous les cas, dès qu’on aborde le sujet des nombres premiers – auxquels j’ai déjà consacré un certain nombre de billets dans ce blog –, on finit tôt ou tard par buter sur un obstacle. Hypothèses, conjectures, théorèmes en attente de démonstration, énigmes, les dossiers ne manquent pas. Je vais me pencher aujourd’hui sur le cas d’une conjecture elle aussi ouverte, du moins en partie, la conjecture d’Elliott-Halberstam, qui découle d’ailleurs du théorème de la progression arithmétique – la notion de progression étant ici assurément centrale. Pour présenter cette conjecture, ou plutôt la résumer (il faudrait plus de 50 pages pour l’exposer réellement) – quitte à ce que la suite de ce billet soit malheureusement difficile et ardue pour les néophytes -, il convient de rappeler quelques notions, dans une forme très synthétique. Les voici :

1) Le théorème de la progression arithmétique : démontré par Dirichlet (1805 – 1859), il stipule que pour tous les entiers naturels différents de zéro et premiers entre eux – nommons les m et n -, il existe une infinité de premiers de la forme m + an (a étant un entier positif).

2) La fonction de compte des nombres premiers : elle désigne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x (x étant un nombre réel). On la note en général π (x), à ne pas confondre avec le nombre Pi.

3) Les congruences modulo : deux nombres entiers a et b sont dits congruents modulo n si leur différence est divisible par n, ou si le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n. Exemple : 26 est congru à 12 modulo 7 car 26 – 12 = 14, qui est un multiple de 7. De plus, 26 et 12 ont tous deux 5 comme reste lors de leur division par 7.

4) La fonction indicatrice d’Euler : il s’agit d’une fonction arithmétique qui associe, à tout entier naturel non nul n, le nombre d’entiers premiers avec n compris entre 1 et n. Elle est notée φ (n), du nom de la lettre grecque phi. Exemple : φ (8) = 4, car entre 1 et 8, les nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8.

 5) La fonction logarithme naturel ou népérien : notée ln(x), elle est la réciproque de la fonction exponentielle.

A présent que ces notions ont été évoquées, on peut tenter de définir notre conjecture. Soit π (x ; q, a), le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont congrus à a modulo q. On peut en déduire, sur la base du théorème de la progression arithmétique, l’«égalité» suivante :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.14.28.pngA dessein, j’ai écrit égalité entre guillemets. Car en effet, ce n’en est pas tout à fait une, comme l’indique le symbole d’approximation usité. En d’autres termes, l’égalité comporte une marge d’erreur. Celle-ci se calcule aisément via une autre formule où le max est considéré parmi tous les a premiers avec q :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.14.43.pngLa conjecture d’Elliott-Halberstam affirme dès lors que pour tout θ < 1, et pour tout A > 0, il existe une constante C telle que pour tout x ≥ 2 :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.19.12.pngJe disais au début de ce billet que la conjecture est un problème ouvert. Pour le cas où θ = 1, elle est fausse. Pour les cas où θ < ½, elle a été démontrée et porte le nom de théorème de Bombieri-Vinogradov, qui est par ailleurs une forme moyennée de l’hypothèse de Riemann généralisée (j’en parlerai un jour dans un billet). Mais si la conjecture était démontrée, elle aurait de nombreuses conséquences. Et notamment de montrer qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d’au plus 16 unités. En clair, on ferait un pas décisif en direction de la démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux, irrésolue depuis des millénaires.

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27/07/2015

Quels mystères se nichent sous la constante gamma?

gamma.jpgJ'ai déjà parlé dans mon blog de plusieurs nombres particuliers. La constante de Brun, mais bien sûr aussi Pi, e et i, qu'Euler relia dans son identité magique, sans oublier les nombres parfaits, les nombres intouchables, le nombre 2147483647, les nombres de Mersenne et quelques autres que vous pouvez retrouver en vous baladant dans la section mathématiques de mon blog. Aujourd'hui, je vais évoquer la constante gamma, plus connue sous le nom de constante d'Euler-Mascheroni (du nom des deux mathématiciens qui furent les premiers à identifier bon nombre de ses décimales). La voici, avec ses 100 premières décimales:


0,577215664901532860606512090082402431042159335939923598805767234884867726777 6646709369470632917467495

 

Pour la déterminer, il suffit d'abord de considérer une série connue sous le nom de série harmonique (représentation graphique ci-dessus) qui consiste à sommer les inverses des entiers naturels. La voici, exprimée sous sa forme usuelle de somme infinie:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.04.04.png

 

Il s'agit d'une série divergente, c'est-à-dire qui tend vers l'infini pour k très grand. Mais en revanche, sa divergence est extrêmement lente. Si on l'exprime graphiquement, on va très vite observer sa proximité avec une autre fonction, à savoir ln(x), ou logarithme naturel, comme le montre le graphique ci-dessous, sur lequel on voit clairement la similitude entre les deux courbes:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.11.56.png

L'idée est alors de calculer la différence entre les deux, la série harmonique et le logarithme naturel, et de voir ce vers quoi on tend. La formule est aisée à déduire:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.14.42.png

Ou, sous sa forme condensée:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.14.54.png

Mais vers quoi tend cette limite, figurée ci-dessus par la lettre grecque gamma? Justement vers cette constante gamma, qu'on peut approximer par le nombre 0,5772156649. Cela dit, le calcul est lent, et il faut aller jusqu'à de très grandes valeurs de k pour que les décimales se précisent. On ne sait toujours pas aujourd'hui si cette constante d'Euler-Mascheroni est un nombre rationnel ou pas, mais si elle l'était, son dénominateur posséderait plus de 242 080 chiffres. Le Suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) fut le premier à la calculer en 1781 avec quinze décimales, puis Lorenzo Mascheroni (1750 - 1800) parvint à en donner dix-neuf (décimales) en 1791. Aujourd'hui, on en connaît environ 30 milliards. Mais à quoi sert-elle, me direz-vous, du moins si vous êtes arrivés jusque là? La réponse pourrait prendre plusieurs billets de ce blog. Mais au-delà de son rôle par rapport à la célèbre fonction gamma, qui fera l'objet d'un billet ultérieur, on retrouve cette constante d'Euler-Mascheroni dans d'innombrables formules. Mon but n'est pas d'en faire la liste, très longue, mais juste de signaler l'étonnante égalité que voici:

 

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.34.09.png

Surprenante car elle met en relation notre constante gamma avec la célèbre fonction zêta de Riemann (piqûre de rappel ici), qu'on retrouve ci-dessus symbolisée par sa lettre grecque. Qu'est-ce que la fonction zêta vient faire ici? Quel incroyable mystère gouverne cet improbable rapprochement? Bien malins ceux qui pourront le dire.

 

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19/07/2015

Saviez-vous que les décimales de Pi contiennent votre date de naissance (et bien plus)?

pi_wrapping_paper_print.jpgLa chasse aux décimales de Pi n'est pas un sport mathématique comme les autres. Il occupe en tout cas les chercheurs depuis plus de 4000 ans. Le record en cours date de 2011, et ce sont deux Japonais, Alexander J. Yee et Shigeru Kondo, qui le détiennent, avec 10 000 milliards de décimales. Evidemment, ils n'ont pas obtenu ce résultat en deux heures de calcul, et il leur a même fallu 371 jours, soit plus d'une année, pour l'obtenir. Le nombre Pi, ou ∏ (16e lettre de l'aphabet grec), souvent défini en géométrie euclidienne comme le rapport entre la circonférence d'un cercle avec son diamètre, semble attesté par des tablettes babyloniennes d'environ 2000 ans avant J.-C.

Faire son histoire n'est pas mon but aujourd'hui. Pi comporte un nombre de décimales infini. Au point que si l'on observe ses 200 premiers millions de décimales, on peut y trouver n'importe quelle suite arbitraire de six (voire plus, avec un peu de chance) chiffres. En d'autres termes, n'importe quelle date de naissance à six chiffres est susceptible d'y figurer. Prenons un exemple. Mettons que vous fêtiez vos trente ans aujourd'hui, vous seriez donc né(e) le 19 juillet 1985, soit le 19.07.85. Cette suite, 190785, surgit bel et bien en position 93821 des décimales de Pi. Mieux, elle se trouve répétée 207 fois dans les 200 premiers millions de décimales de notre nombre. Pour vous amuser à trouver d'autres occurrences de dates, vous pouvez aller consulter un site d'utilisation très simple qui fera le calcul pour vous,

The Pi-Search Page

(le lien actif vous y renvoie directement). Vous pouvez bien sûr tenter l'expérience avec des nombres de plus de six chiffres. Et, en extrapolant, avec les lettres de votre prénom, moyennant codage préalable. Pi semble ainsi contenir n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie. J'écris "semble" à dessein. Car il s'agit là de la définition d'un nombre univers, dénommé ainsi car on peut y trouver (selon un codage en chiffres prédéterminé), tous les livres déjà écrits et à venir, l'histoire de nos vies, sa contradiction, la liste de tous les numéros gagnants dans l'ordre de l'Euromillions pour les dix ans à venir, et j'en passe. Sauf qu'on ne sait pas, aujourd'hui, si Pi est un nombre univers ou non. Je me contenterai donc de rappeler que Pi est 1) un nombre réel irrationnel, car il ne peut pas s'exprimer comme le rapport entre deux nombres entiers, et 2) un nombre transcendant, car il n'est racine d'aucune équation polynomiale. Mais je reviendrai sur tout cela de manière plus sérieuse et analytique dans quelque temps.

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