14/06/2015

Pourquoi certains théorèmes sont-ils hors de notre portée?

 

Bibliotheque.jpgVoyez ces magnifiques rayonnages de livres qui s’alignent. Ils ne suffiraient même pas à contenir certaines démonstrations mathématiques particulièrement longues et complexes. Ni même les décimales de Pi. En octobre 2014, on en a ainsi identifié 13 000 milliards pour ce nombre transcendant. Un record ! Mais pour les contenir toutes, il faudrait environ 6 millions de volumes de mille pages chacun. Légèrement décourageant, on va dire. Sont-elles alors stockables sur le net ? Oui, mais je vous laisse imaginer le nombre d’octets nécessaires à cela.

Venons-en à présent au cas du «théorème géant», ainsi dénommé parce que la taille de sa démonstration défie nos capacités cognitives. En théorie des groupes, il désigne la démonstration du théorème de classification des groupes finis simples. En 1980, celle-ci a été considérée comme achevée. Petit problème : elle tient sur environ 15 000 pages (soit une quinzaine d’ouvrages de mille pages chacun) et se trouve dispersée dans 500 articles rédigés par une centaine de chercheurs. Dispersée dans des revues poussiéreuses, enfouie dans des collections inaccessibles, donc quelque part menacée par l’oubli, puisque seule une frange étroite de chercheurs peut en disposer, y compris sur internet. Et cela sans parler de sa fragilité. Quel mathématicien a pu la lire entièrement ? Qu’est-ce qui garantit, au fond, qu’elle ne contient aucune erreur ?

Dans cette optique, une démonstration de seconde génération, plus simple, a été entreprise depuis par plusieurs mathématiciens. Bonheur, elle ne s’étale que sur 5 000 pages et une douzaine de volumes, dont la moitié a déjà été publiée. Oui, mais c’est encore trop, et la communauté envisage désormais une démonstration de troisième génération qui tiendrait idéalement sur mille pages.

Pour arriver à leurs fins, les mathématiciens disposent aujourd’hui sur le net de plateformes collaboratives, telle polymathprojects.org, qui leur permettent d’avancer notablement sur certains problèmes irrésolus. Le projet 8 de cette plateforme étudie par exemple les écarts entre premiers consécutifs, et par ce biais, on a pu faire un pas de géant vers la démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux (j’en ai déjà parlé dans plusieurs billets que je vous laisse redécouvrir si le cœur vous en dit). Avec un peu de chance, le théorème géant dont je parlais plus haut sera donc un jour à peu près accessible à tout le monde. Réjouissant, non ? Certes, mais il y a encore pire.

A savoir le célèbre problème de la «Discrepancy», soulevé en 1930 par le grand mathématicien hongrois Paul Erdös (1913 – 1996) et qui concerne, pour faire simple, les sous-suites d’«indice arithmétique» en théorie combinatoire des nombres. Je vous fais grâce de son énoncé (mais y reviendrai dans un prochain billet) pour ne parler que de la taille de sa preuve dans le cas K = 2. On note en effet généralement Discrep(K) la conjecture correspondant à l’entier K. Et si Discrep(1) est relativement aisée à résoudre, Discrep(2) est en revanche restée irrésolue durant 80 ans.

Sa démonstration, établie il y a peu par un ordinateur et par le travail de deux chercheurs de l’Université de Liverpool (Boris Konev et Alexei Lisitsa) via le projet Polymath, couvre 13 giga-octets ou gigabytes (soit autant que tout Wikipédia), ou, en termes d’impression, 13 000 ouvrages de 1000 pages chacun. Je n’ose imaginer ce qu’il en serait pour le cas Discrep(K) ! On s’évertue aujourd’hui à la simplifier. Ce n’est pas pour demain, ai-je envie d’ajouter.

 

18:48 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

29/05/2015

Que nous racontent les nombres intouchables?

réglettes.JPGVous souvenez-vous de ces réglettes que vous avez sans doute tenues en mains à l'école enfantine? Je suis sûr que oui. Inventées en 1945, les réglettes Cuisenaire portent le nom de leur créateur, un pédagogue belge, et sont destinées à familiariser les enfants au calcul. Sur cette image, elles sont de quatre couleurs et représentent les diviseurs de 10. Soit 1, 2, 5 et 10. L'observation des diviseurs et des rapports ou propriétés qu'ils peuvent entretenir avec certains nombres a toujours intéressé les mathématiciens. Il y a quelques mois, j'avais consacré un billet aux nombres parfaits, qui sont des entiers égaux à la somme de leurs diviseurs stricts (lire ici). Rappelons qu'un diviseur strict (ou partie aliquote dans l'ancienne terminologie) d'un entier n est un diviseur de n distinct de n. Exemple: les diviseurs stricts de 15 sont 1, 3 et 5.

La définition de nombre intouchable n'est guère plus compliquée. Un nombre (entier naturel, ce que je ne préciserai plus dans la suite de ce billet) est dit intouchable s'il ne peut pas être exprimé comme la somme de tous les diviseurs stricts d'un entier donné. Cette somme inclut ainsi forcément le nombre 1, diviseur strict de tous les entiers. Un exemple sera plus parlant. 5 est intouchable, car la seule somme d'entiers strictement positifs incluant 1 est 1 + 4. Or 4 est divisible par 2. Voyons à présent un contre-exemple en reprenant le nombre 15, dont les diviseurs stricts sont 1, 3 et 5. Leur somme est égale à 9. Ce qui signifie que 9 n'est pas un nombre intouchable, tout simplement. Une fois leur définition posée, les nombres intouchables peuvent se déployer. Ils ne sont pas légion. Voici les premiers qu'on peut recenser:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658

Par déduction, on remarque vite qu'aucun nombre parfait ne peut être intouchable. Mais quelque chose d'autre frappe immédiatement au vu de cette liste. Elle ne contient, hormis 5, aucun nombre impair. S'agit-il de l'unique intouchable impair? On ne le sait pas, mais on suppose que oui, même si cette conjecture n'est toujours pas démontrée. Si elle l'était, cela signifierait que 2 et 5 sont les seuls nombres premiers intouchables. En revanche, le célèbre mathématicien hongrois Paul Erdös (1913 - 1996), sur lequel je consacrerai un billet dans le courant de l'année, a démontré qu'il existait une infinité de nombres intouchables. Depuis, des chercheurs auraient observé, à l'aide d'ordinateurs, qu'environ un tiers des nombres pairs sont intouchables, mais que la proportion décroit selon une loi qui reste à trouver. Une propriété qui semble n'avoir aucun rapport avec la taille des nombres examinés. Ces problèmes ouverts sont relativement peu traités sur les sites que j'ai pu parcourir. Leurs résolutions ouvriraient-elles d'autres perspectives? Probablement.

21:10 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

06/05/2015

Faut-il avoir peur du nombre 2147483647?

psy.pngEn novembre 2014, le clip du Coréen Psy, Gangnam Style, atteignait les 2147483647 de vues sur Youtube. Et le compteur ne pouvait plus s’incrémenter au-delà. Il avait atteint la limite du codage en 32 bits. Le plus grand nombre entier représentable avec ce codage est en effet 2147483647 (soit deux milliards cent quarante-sept millions quatre cent quatre-vingt-trois mille six cent quarante-sept). Pour le dépasser, les développeurs du site ont dû coder leur compteur sur 64 bits. Cette fois, le maximum de vues sera atteint lorsque le compteur dépassera les 9223372036854775807 vues. Il y a donc encore un peu de marge.

Néanmoins, le nombre 2147483647, qui est la représentation utilisée par presque tous les microprocesseurs 32 bits, refait parler de lui depuis quelques jours et plusieurs dépêches ont été publiées hier. Pourquoi hier ? Mystère du traitement des news par les médias du monde entier. Toujours est-il que 2147483647 est également impliqué dans l’explosion de la fusée Ariane le 4 juin 1996, et dans la mort de 28 soldats américains lors de la guerre du Golfe, tués par un Scud irakien qu’un missile n’avait pas intercepté. Plus récemment, l’autorité américaine de l’aviation civile a ordonné aux compagnies opérant avec des Boeing 787 Dreamliner de couper l’alimentation électrique de leurs générateurs tous les 248 jours. En centièmes de seconde, ce nombre correspond en effet à 2147483647.

Ce n’est évidemment pas tout, et 2147483647 pourrait générer un bug mondial en 2038. Le 19 janvier, à 3 heures 14 minutes et 7 secondes (en temps universel) pour être plus précis. C’est à cette seconde que les logiciels tournant sous Unix, et comptant en secondes depuis le 1er janvier 1970 à minuit, atteindront ce nombre et donc leur limite. Toutes les machines Unix devraient alors tomber en panne. Que se passera-t-il réellement ce jour-là ? Nul ne le sait trop, mais les informaticiens planchent déjà sur ce bug de l’an 2038. Entre octobre 2000 et mars 2001, un mystérieux internaute du nom de John Titor, déclarant venir du futur, plus exactement de 2036, pour récupérer un IBM 5100, ordinateur (le premier personnel lancé par IBM en 1975) nécessaire pour surmonter le bug Unix, s’était répandu sur de nombreux forums pour y laisser quantité de messages troublants.

Tel n’est pas le sujet de ce billet (peut-être un jour, qui sait), mais revenons un instant sur ce nombre, 2147483647. Il s’agit, on l’aura (presque) deviné, d’un nombre premier, et même du 8e nombre premier de Mersenne (lire ici, mon précédent billet sur les premiers de Mersenne). Il peut donc s’écrire sous la forme 231–1. Il a été découvert en 1772 par le Bâlois Leonhard Euler. Le plus petit nombre entier est son opposé à une unité près, soit –2147483648, qui est égal à –231. Faut-il avoir peur de ces nombres? J'en reparlerai d’ici une quinzaine d’années.

17:24 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (2) | |  Facebook | | | |