12/04/2015

Des deux conjectures de Hardy-Littlewood, laquelle est fausse?

 

hardy.jpgCes deux graphiques colorés, séduisants mais complexes, illustrent la seconde conjecture de Hardy-Littlewood, ainsi nommée d’après le patronyme de ses deux découvreurs au début du XXe siècle. Il existe en réalité deux conjectures de Hardy-Littlewood. Mais si la première est vraie, l’autre pas. Paradoxe ? Pas tant que ça, même si le problème demeure aujourd’hui ouvert. Je vais tenter de le résumer brièvement dans ce nouveau billet.

Il en va en effet des conjectures mathématiques comme de tout. Pour prouver leur véracité, il faut démontrer qu’elles sont valables (vraies) pour n’importe quel élément jusqu’à l’infini. En revanche, un seul contre-exemple peut suffire à prouver leur fausseté. Il y a des cas demeurés célèbres de conjectures ou hypothèses qui étaient finalement fausses, mais ce sera le sujet d’un prochain billet. Il y a également des cas où elles sont indécidables, telle l’hypothèse du continu de Georg Cantor (lire ici).

Mais revenons à Hardy et Littlewood. Leurs conjectures concernent les nombres premiers. La première n’est pas aisée à expliquer et son cas particulier, qui rejoint la conjecture des nombres premiers jumeaux, va permettre de préparer le terrain. Dans ce cas particulier, si on prend le couple (0, 2), on conjecture qu’il existe une infinité de p tels que (p, p+2) soient premiers. Généralisons cela à (0, K). On suppose dès lors que pour toute valeur de K paire, la conjecture est vraie. Mais aucune de ces conjectures n’est démontrée à l’heure actuelle, sauf pour le cas K = 70 millions, démontré par Yitang Zhang en 2013 (lire ici).

Continuons le raisonnement au-delà des jumeaux, et considérons des triplés comme (0, 2, 6). On peut alors aussi conjecturer qu’il existe une infinité de p tels que (p, p + 2, p + 6) soient premiers. Sur ces bases, on peut encore généraliser avec n’importe quelle suite croissante de K nombres, suite désignée sous l’appellation de K-uplet et qu’on peut ainsi noter (0, a2, a3, … , ak).

Peut-on cette fois conjecturer qu’il existe une infinité de p tels que (p, p + a2, p + a3, … , p  + ak) soient tous premiers ? Peut-être, mais n’allons pas trop vite. Car d’évidence, certains K-uplets ne sont pas admissibles (exemple basique avec le triplet (0, 2, 4)). (Pour qu’un K-uplet soit admissible, il faut en fait que pour tout p, il ne contienne pas les restes possibles modulo p.) Le dernier terme du K-uplet, qui est également son plus grand nombre, est appelé son diamètre. Ceux avec les plus petits diamètres s’avèrent les plus intéressants. Et on nomme constellation un K-uplet admissible de diamètre minimal. Tout cela me permet enfin d’énoncer la première conjecture de Hardy-Littlewood : pour toute constellation (0, a2, a3, … , ak), il existe une infinité de nombres p tels que (p, p + a2, p +  a3, … , p  + ak) soient tous premiers.  Et la répartition des nombres p pour lesquels la conjecture marche suit une progression asymptotique. A titre purement indicatif, en voici la formulation :

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avec

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La seconde conjecture de Hardy-Littlewood est nettement plus aisée à comprendre. Considérons un nombre N pris au hasard. La conjecture stipule que si on compte les nombres premiers apparaissant entre 0 et N, il y en aura toujours plus que dans n’importe quel intervalle de longueur N. Elle peut également s’écrire de manière plus formelle - avec l’expression ∏(N), qui désigne la quantité de premiers entre 0 et N – ainsi :

Capture d’écran 2015-04-12 à 19.03.39.pnget cela pour tout M et N supérieurs à 2.

Mais pour bon nombre de mathématiciens, cette conjecture est fausse. Et ils ont sans doute raison. Car si la première conjecture de Hardy-Littlewood était vraie, elle fournirait des contre-exemples à la seconde, qui serait alors fausse, comme l'a démontré de manière extrêmement complexe le mathématicien Ian Richards en 1974. Et pour trouver ces contre-exemples, il faudrait aller chercher entre 10174 et 101197. Bonne chance !

 

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03/04/2015

Nombres premiers jumeaux: quel rôle joue la constante de Brun?

Prime-Spiral-Flower.jpgCette belle spirale de nombres premiers présente par endroits des aspects plus ou moins réguliers qui devraient nous interpeller. Il existe des dizaines de graphiques analogues - spirales d'Ulam ou de Sacks, et j'en reparlerai un jour dans un autre billet - mais on ne peut en tirer aucune preuve scientifique. On sait qu'il y a une infinité de nombres premiers, on ne sait toujours pas s'il y a une infinité de premiers jumeaux, conjecture qui était d'ailleurs le sujet de mon premier billet maths de ce blog (consultable ici). Mais si les travaux de Zhang ont permis de faire un bond de géant en direction de la démonstration de la conjecture, on peut aussi observer le problème par un autre chemin. Par exemple en observant la série des inverses des nombres premiers jumeaux. En voici la formule, aisée à comprendre:

Capture d’écran 2015-04-03 à 17.31.00.pngLe P majuscule y désigne l'ensemble des nombres premiers. C'est le mathématicien norvégien Viggo Brun (1885 - 1978) qui remarqua que la série était convergente, autrement dit qu'elle admet une limite lorsqu'elle tend vers l'infini. Du nom de son découvreur, cette limite est appelée constante de Brun, parfois notée B2. Selon de récentes estimations, la valeur de B2, extrêmement dure à calculer au-delà de neuf décimales, est à peu près de 1,90216 05831 04, nombre obtenu en 2002 en utilisant tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10 16. Voici ci-dessous le détail de son estimation pour plusieurs puissances de dix successives.

Capture d’écran 2015-04-03 à 17.51.16.pngNotons que contrairement à la série des inverses des jumeaux, la série des inverses des nombres premiers est divergente, ce qui établit leur infinitude, même si aisée à démontrer sans cela. En d'autres termes, si la série des inverses des jumeaux avait été divergente, cela aurait permis de prouver la conjecture des nombres premiers jumeaux. Aujourd'hui, les plus grands nombres premiers jumeaux sont énormes. En voici quelques-uns, avec le nom de leurs découvreurs à droite.

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La dernière paire de la liste contient plus de 32000 chiffres. Et concernant la constante de Brun, B2, on ne sait toujours pas aujourd'hui de quel type de nombre il s'agit. Mais à l'instar de Pi ou e, il est probablement transcendant.

 

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16/03/2015

Les hypercubes sont-ils solubles dans la géométrie euclidienne?

Futuroscope.jpgFilms Imax, 3D ou 4D furent parmi les premières attractions du Futuroscope de Poitiers. Voici l’un des pavillons de ce parc de loisirs. Sa forme ne représente pas un cube, mais un hypercube. Plus précisément un hypercube quadridimensionnel, c’est-à-dire de dimension 4, ou Tesseract. De telles figures ne sont pas rares en géométrie, et on peut ainsi en construire et en concevoir dans toutes les dimensions désirées. Les hypercubes de dimension 0, 1, 2 et 3 sont bien sûr les plus fréquents.  Il s’agit respectivement du point, du digone, du carré et du cube. Seul le digone peut paraître moins familier. Il s’agit d’un polygone dégénéré avec deux côtés et deux sommets. Géométriquement, on peut le représenter par un segment de droite.

Mais pour construire un hypercube, que faut-il faire ? Réponse assez simple. Il faut pour cela opérer une translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire à ses propres dimensions. Ainsi du point (0-cube) au digone (1-cube). Puis du digone (1-cube) au carré (2-cube) et de ce dernier au cube (3-cube). Mais au-delà ? Eh bien, c’est pareil. Et on obtient ainsi un Tesseract, soit un hypercube de dimension 4 dont chaque face est à son tour constituée d’un cube, tel que ci-dessous.Capture d’écran 2015-03-16 à 20.15.30.png

Il possède 16 sommets, 32 arêtes et 24 faces planes, et il est limité par 8 hyperplans. Plus simplement, le Tesseract est au cube ce que le cube est au carré.

Mais on peut évidemment aller plus loin que quatre dimensions. Et tout cela se généralise et se calcule.  Un hypercube à n dimensions possède ainsi 2n sommets et n × 2n-1 arêtes. Et le nombre de faces à k dimensions d’un hypercube à n dimensions peut se déterminer par cette jolie formule :

Capture d’écran 2015-03-16 à 20.26.53.pngReprésenter ces figures est en revanche un peu plus complexe. En voici pourtant quelques unes, sous forme de graphes.

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Leurs noms ne sont pas moins séduisants : Penteract, Hexeract, Hepteract, Octeract et Ennéneract (soit respectivement de 5,6,7,8 et 9 dimensions). Enfin, de nombreuses représentations filmées de ces objets sont disponibles sur le net. En voici une tout à fait plaisante :


 

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