29/05/2015

Que nous racontent les nombres intouchables?

réglettes.JPGVous souvenez-vous de ces réglettes que vous avez sans doute tenues en mains à l'école enfantine? Je suis sûr que oui. Inventées en 1945, les réglettes Cuisenaire portent le nom de leur créateur, un pédagogue belge, et sont destinées à familiariser les enfants au calcul. Sur cette image, elles sont de quatre couleurs et représentent les diviseurs de 10. Soit 1, 2, 5 et 10. L'observation des diviseurs et des rapports ou propriétés qu'ils peuvent entretenir avec certains nombres a toujours intéressé les mathématiciens. Il y a quelques mois, j'avais consacré un billet aux nombres parfaits, qui sont des entiers égaux à la somme de leurs diviseurs stricts (lire ici). Rappelons qu'un diviseur strict (ou partie aliquote dans l'ancienne terminologie) d'un entier n est un diviseur de n distinct de n. Exemple: les diviseurs stricts de 15 sont 1, 3 et 5.

La définition de nombre intouchable n'est guère plus compliquée. Un nombre (entier naturel, ce que je ne préciserai plus dans la suite de ce billet) est dit intouchable s'il ne peut pas être exprimé comme la somme de tous les diviseurs stricts d'un entier donné. Cette somme inclut ainsi forcément le nombre 1, diviseur strict de tous les entiers. Un exemple sera plus parlant. 5 est intouchable, car la seule somme d'entiers strictement positifs incluant 1 est 1 + 4. Or 4 est divisible par 2. Voyons à présent un contre-exemple en reprenant le nombre 15, dont les diviseurs stricts sont 1, 3 et 5. Leur somme est égale à 9. Ce qui signifie que 9 n'est pas un nombre intouchable, tout simplement. Une fois leur définition posée, les nombres intouchables peuvent se déployer. Ils ne sont pas légion. Voici les premiers qu'on peut recenser:

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658

Par déduction, on remarque vite qu'aucun nombre parfait ne peut être intouchable. Mais quelque chose d'autre frappe immédiatement au vu de cette liste. Elle ne contient, hormis 5, aucun nombre impair. S'agit-il de l'unique intouchable impair? On ne le sait pas, mais on suppose que oui, même si cette conjecture n'est toujours pas démontrée. Si elle l'était, cela signifierait que 2 et 5 sont les seuls nombres premiers intouchables. En revanche, le célèbre mathématicien hongrois Paul Erdös (1913 - 1996), sur lequel je consacrerai un billet dans le courant de l'année, a démontré qu'il existait une infinité de nombres intouchables. Depuis, des chercheurs auraient observé, à l'aide d'ordinateurs, qu'environ un tiers des nombres pairs sont intouchables, mais que la proportion décroit selon une loi qui reste à trouver. Une propriété qui semble n'avoir aucun rapport avec la taille des nombres examinés. Ces problèmes ouverts sont relativement peu traités sur les sites que j'ai pu parcourir. Leurs résolutions ouvriraient-elles d'autres perspectives? Probablement.

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06/05/2015

Faut-il avoir peur du nombre 2147483647?

psy.pngEn novembre 2014, le clip du Coréen Psy, Gangnam Style, atteignait les 2147483647 de vues sur Youtube. Et le compteur ne pouvait plus s’incrémenter au-delà. Il avait atteint la limite du codage en 32 bits. Le plus grand nombre entier représentable avec ce codage est en effet 2147483647 (soit deux milliards cent quarante-sept millions quatre cent quatre-vingt-trois mille six cent quarante-sept). Pour le dépasser, les développeurs du site ont dû coder leur compteur sur 64 bits. Cette fois, le maximum de vues sera atteint lorsque le compteur dépassera les 9223372036854775807 vues. Il y a donc encore un peu de marge.

Néanmoins, le nombre 2147483647, qui est la représentation utilisée par presque tous les microprocesseurs 32 bits, refait parler de lui depuis quelques jours et plusieurs dépêches ont été publiées hier. Pourquoi hier ? Mystère du traitement des news par les médias du monde entier. Toujours est-il que 2147483647 est également impliqué dans l’explosion de la fusée Ariane le 4 juin 1996, et dans la mort de 28 soldats américains lors de la guerre du Golfe, tués par un Scud irakien qu’un missile n’avait pas intercepté. Plus récemment, l’autorité américaine de l’aviation civile a ordonné aux compagnies opérant avec des Boeing 787 Dreamliner de couper l’alimentation électrique de leurs générateurs tous les 248 jours. En centièmes de seconde, ce nombre correspond en effet à 2147483647.

Ce n’est évidemment pas tout, et 2147483647 pourrait générer un bug mondial en 2038. Le 19 janvier, à 3 heures 14 minutes et 7 secondes (en temps universel) pour être plus précis. C’est à cette seconde que les logiciels tournant sous Unix, et comptant en secondes depuis le 1er janvier 1970 à minuit, atteindront ce nombre et donc leur limite. Toutes les machines Unix devraient alors tomber en panne. Que se passera-t-il réellement ce jour-là ? Nul ne le sait trop, mais les informaticiens planchent déjà sur ce bug de l’an 2038. Entre octobre 2000 et mars 2001, un mystérieux internaute du nom de John Titor, déclarant venir du futur, plus exactement de 2036, pour récupérer un IBM 5100, ordinateur (le premier personnel lancé par IBM en 1975) nécessaire pour surmonter le bug Unix, s’était répandu sur de nombreux forums pour y laisser quantité de messages troublants.

Tel n’est pas le sujet de ce billet (peut-être un jour, qui sait), mais revenons un instant sur ce nombre, 2147483647. Il s’agit, on l’aura (presque) deviné, d’un nombre premier, et même du 8e nombre premier de Mersenne (lire ici, mon précédent billet sur les premiers de Mersenne). Il peut donc s’écrire sous la forme 231–1. Il a été découvert en 1772 par le Bâlois Leonhard Euler. Le plus petit nombre entier est son opposé à une unité près, soit –2147483648, qui est égal à –231. Faut-il avoir peur de ces nombres? J'en reparlerai d’ici une quinzaine d’années.

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26/04/2015

Que nous révèlent les nombres de Mersenne?

 

nombre-premier.jpgCe timbre émis en 2004 au Liechtenstein met en vedette, en surimpression sur un motif de spirale, un très grand nombre, 213466917 – 1. Découvert en 2001, ce nombre de plus de 4 millions de chiffres est premier. Il s’agissait même alors du plus grand nombre premier jamais trouvé. Un record pourtant régulièrement battu depuis. Attardons-nous néanmoins sur ce nombre 213466917 – 1. En effet, ce n’est pas un premier comme les autres. Il s’agit d’un nombre premier de Mersenne, autrement dit un premier de la forme 2p – 1 avec p également premier. Marin Mersenne (1588 – 1648) mersenne.jpgétait un religieux français qui faisait partie de l’ordre des Minimes. Féru de philosophie et de mathématiques, il s’intéressa plus particulièrement à quatre nombres premiers connus depuis l’Antiquité et mentionnés par Euclide. Soit 3, 7, 31 et 127. Tous peuvent s’écrire sous la forme 2p – 1.

3 = 22 – 1

7 = 23 –1

31 = 25 – 1

127 = 27 – 1

On remarque tout de suite que leurs exposants donnent la liste des quatre premiers nombres premiers (2, 3, 5 et 7). Fort de cette observation, Mersenne en proposa d’autres et en fournit une liste jusqu’à l’exposant 257. Malheureusement, cette liste était fausse, car elle incluait des exposants comme 67 et 257 pour lesquels le résultat n’était pas premier. Et il en omettait par ailleurs trois avec les exposants 61, 89 et 107. Voici la liste des 20 premiers nombres de Mersenne, certains premiers, d’autres pas. On remarque très vite que si p n’est pas premier, alors 2p – 1 ne l’est pas non plus, ce qui a évidemment été démontré depuis.

Capture d’écran 2015-04-26 à 17.22.45.png

 

La sous-suite des nombres de Mersenne premiers est généralement notée M1, M2, M3,… MN. Afin de mieux comprendre, voici la notation des quatre premiers que nous avons rencontrés avant.

Capture d’écran 2015-04-26 à 17.25.39.pngContrairement à ce qu’on pourrait supposer, les premiers de Mersenne ne sont pas légion. Jusqu’en 1952, on n’en connaissait que douze. Six autres ont été découverts grâce à l’avènement des calculateurs électroniques. Et depuis, trente autres premiers de Mersenne ont surgi de l’infini, si j’ose dire. A noter qu’ils n’ont pas toujours été trouvés par ordre croissant. Voici la liste de tous les Mersenne premiers découverts jusqu’en février 2013, avec les noms de leurs découvreurs à droite du tableau.

Capture d’écran 2015-04-26 à 17.37.25.pngLe plus grand est donc M48 (soit M57885161). Y en a-t-il avant lui qui auraient été omis dans la liste et viendraient se glisser entre deux Mersenne premiers identifiés ? C'est tout à fait possible. Y en a-t-il d’autres au-delà de M48 ? On le suppose. Les nombres de Mersenne ont leur importance en théorie des nombres et chacun d’entre eux engendre un nombre dit parfait (soit un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres), sujet sur lequel j’avais écrit un précédent billet (lire ici). Et ils possèdent évidemment d’autres propriétés sur lesquelles je reviendrai une autre fois.

 

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