19/04/2015

L'hypothèse de Riemann sera-t-elle un jour démontrée?

riemann.jpgA l’instar de l’identité d’Euler ou de la formule d'Einstein, elle est suffisamment connue pour apparaître sur des tee-shirts comme ci-dessus. L’hypothèse de Riemann, assimilable à la quête du Graal pour une large part de la communauté mathématique, rapportera un million de dollars à celui ou celle qui la démontrera, puisqu’elle fait partie de la liste des problèmes du prix du millénaire de l’Institut Clay. Elle en est même le premier (problème). Ceux qui ont pu voir le dernier Godard, Adieu au langage, à l’affiche depuis quelques jours, ont peut-être vu que le film fait allusion, de manière très poétique et métaphorique, à l’hypothèse de Riemann. Mais de quoi s’agit-il ?

Formulée en 1859 par Bernhard Riemann (1826 – 1866), l’hypothèse affirme que la partie réelle des zéros non triviaux de la fonction zêta vaut toujours ½. Ce qui ne va guère avancer les néophytes, je le concède. Il y a environ deux mois, j’avais consacré un billet à la fonction zêta de Riemann (qu’on peut consulter ici, ce qui ne sera pas forcément inutile pour comprendre la suite). Il s’agit donc d’une somme infinie – laquelle prolonge une somme de Dirichlet pour les plus courageux – de puissances en nombres complexes dont la partie réelle est strictement supérieure à 1. En voici une formulation très simple dans laquelle les z désignent des nombres complexes (de la forme a + bi avec a,b réels et i racine carrée de – 1):

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L’hypothèse de Riemann porte sur les zéros de cette fonction, c’est-à-dire les valeurs pour lesquelles cette fonction s’annule. On peut observer rapidement que la fonction s’annule pour tout entier pair négatif (-2, - 4, - 6, etc). On les appelle des zéros triviaux, car leur calcul est relativement aisé. Mais la fonction zêta s’annule-t-elle pour d’autres valeurs que celles-ci ? La réponse est oui et il semble même que tous les nombres de la forme ½ + ia, avec a réel, satisfassent cette égalité. Mieux, ils seraient les seuls nombres la vérifiant et il n’y en aurait pas d’autres. Tous ces zéros semblent donc s’aligner sur la droite des réels ½. Mais en quoi est-ce révolutionnaire, me direz-vous (du moins si vous avez suivi jusque là) ? Eh bien simplement parce que la fonction zêta est intimement liée aux nombres premiers (il faudrait ici également évoquer les travaux du Russe Tchebychev, mais cela alourdirait considérablement un billet qui se veut synthétique), comme le rappelle ci-dessous son analogie avec le produit eulérien:

Capture d’écran 2015-04-19 à 17.56.06.pngEn d’autres termes, les zéros de la fonction zêta contrôleraient la répartition des nombres premiers. Et si elle était vraie, cette répartition suivrait la fonction Li(x), qui est la fonction logarithme intégral, laquelle en donne une meilleure approximation que x/ln(x), qui est quant à elle la fonction de compte des nombres premiers (pour davantage de précisions, jeter un œil à ce billet).

Pour faire encore plus simple, l'hypothèse de Riemann, si elle était vraie, ôterait un peu de hasard à la répartition des premiers en montrant une certaine régularité dans leur apparition. Sera-t-elle un jour démontrée ? Selon l’état des recherches depuis une vingtaine d’années (j’y reviendrai une prochaine fois), ce jour ne devrait pas être si loin. En 2004, le nombre de zéros non triviaux satisfaisant l’hypothèse était déjà supérieur à 1013. Plusieurs preuves de l’hypothèse de Riemann sont régulièrement proposées sur le net (souvent par des mathématiciens en marge des systèmes universitaires), tout comme des preuves de sa fausseté. Aucune d’entre elles n’a à ce jour reçu l’aval de la communauté mathématique.

 

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12/04/2015

Des deux conjectures de Hardy-Littlewood, laquelle est fausse?

 

hardy.jpgCes deux graphiques colorés, séduisants mais complexes, illustrent la seconde conjecture de Hardy-Littlewood, ainsi nommée d’après le patronyme de ses deux découvreurs au début du XXe siècle. Il existe en réalité deux conjectures de Hardy-Littlewood. Mais si la première est vraie, l’autre pas. Paradoxe ? Pas tant que ça, même si le problème demeure aujourd’hui ouvert. Je vais tenter de le résumer brièvement dans ce nouveau billet.

Il en va en effet des conjectures mathématiques comme de tout. Pour prouver leur véracité, il faut démontrer qu’elles sont valables (vraies) pour n’importe quel élément jusqu’à l’infini. En revanche, un seul contre-exemple peut suffire à prouver leur fausseté. Il y a des cas demeurés célèbres de conjectures ou hypothèses qui étaient finalement fausses, mais ce sera le sujet d’un prochain billet. Il y a également des cas où elles sont indécidables, telle l’hypothèse du continu de Georg Cantor (lire ici).

Mais revenons à Hardy et Littlewood. Leurs conjectures concernent les nombres premiers. La première n’est pas aisée à expliquer et son cas particulier, qui rejoint la conjecture des nombres premiers jumeaux, va permettre de préparer le terrain. Dans ce cas particulier, si on prend le couple (0, 2), on conjecture qu’il existe une infinité de p tels que (p, p+2) soient premiers. Généralisons cela à (0, K). On suppose dès lors que pour toute valeur de K paire, la conjecture est vraie. Mais aucune de ces conjectures n’est démontrée à l’heure actuelle, sauf pour le cas K = 70 millions, démontré par Yitang Zhang en 2013 (lire ici).

Continuons le raisonnement au-delà des jumeaux, et considérons des triplés comme (0, 2, 6). On peut alors aussi conjecturer qu’il existe une infinité de p tels que (p, p + 2, p + 6) soient premiers. Sur ces bases, on peut encore généraliser avec n’importe quelle suite croissante de K nombres, suite désignée sous l’appellation de K-uplet et qu’on peut ainsi noter (0, a2, a3, … , ak).

Peut-on cette fois conjecturer qu’il existe une infinité de p tels que (p, p + a2, p + a3, … , p  + ak) soient tous premiers ? Peut-être, mais n’allons pas trop vite. Car d’évidence, certains K-uplets ne sont pas admissibles (exemple basique avec le triplet (0, 2, 4)). (Pour qu’un K-uplet soit admissible, il faut en fait que pour tout p, il ne contienne pas les restes possibles modulo p.) Le dernier terme du K-uplet, qui est également son plus grand nombre, est appelé son diamètre. Ceux avec les plus petits diamètres s’avèrent les plus intéressants. Et on nomme constellation un K-uplet admissible de diamètre minimal. Tout cela me permet enfin d’énoncer la première conjecture de Hardy-Littlewood : pour toute constellation (0, a2, a3, … , ak), il existe une infinité de nombres p tels que (p, p + a2, p +  a3, … , p  + ak) soient tous premiers.  Et la répartition des nombres p pour lesquels la conjecture marche suit une progression asymptotique. A titre purement indicatif, en voici la formulation :

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avec

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La seconde conjecture de Hardy-Littlewood est nettement plus aisée à comprendre. Considérons un nombre N pris au hasard. La conjecture stipule que si on compte les nombres premiers apparaissant entre 0 et N, il y en aura toujours plus que dans n’importe quel intervalle de longueur N. Elle peut également s’écrire de manière plus formelle - avec l’expression ∏(N), qui désigne la quantité de premiers entre 0 et N – ainsi :

Capture d’écran 2015-04-12 à 19.03.39.pnget cela pour tout M et N supérieurs à 2.

Mais pour bon nombre de mathématiciens, cette conjecture est fausse. Et ils ont sans doute raison. Car si la première conjecture de Hardy-Littlewood était vraie, elle fournirait des contre-exemples à la seconde, qui serait alors fausse, comme l'a démontré de manière extrêmement complexe le mathématicien Ian Richards en 1974. Et pour trouver ces contre-exemples, il faudrait aller chercher entre 10174 et 101197. Bonne chance !

 

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03/04/2015

Nombres premiers jumeaux: quel rôle joue la constante de Brun?

Prime-Spiral-Flower.jpgCette belle spirale de nombres premiers présente par endroits des aspects plus ou moins réguliers qui devraient nous interpeller. Il existe des dizaines de graphiques analogues - spirales d'Ulam ou de Sacks, et j'en reparlerai un jour dans un autre billet - mais on ne peut en tirer aucune preuve scientifique. On sait qu'il y a une infinité de nombres premiers, on ne sait toujours pas s'il y a une infinité de premiers jumeaux, conjecture qui était d'ailleurs le sujet de mon premier billet maths de ce blog (consultable ici). Mais si les travaux de Zhang ont permis de faire un bond de géant en direction de la démonstration de la conjecture, on peut aussi observer le problème par un autre chemin. Par exemple en observant la série des inverses des nombres premiers jumeaux. En voici la formule, aisée à comprendre:

Capture d’écran 2015-04-03 à 17.31.00.pngLe P majuscule y désigne l'ensemble des nombres premiers. C'est le mathématicien norvégien Viggo Brun (1885 - 1978) qui remarqua que la série était convergente, autrement dit qu'elle admet une limite lorsqu'elle tend vers l'infini. Du nom de son découvreur, cette limite est appelée constante de Brun, parfois notée B2. Selon de récentes estimations, la valeur de B2, extrêmement dure à calculer au-delà de neuf décimales, est à peu près de 1,90216 05831 04, nombre obtenu en 2002 en utilisant tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10 16. Voici ci-dessous le détail de son estimation pour plusieurs puissances de dix successives.

Capture d’écran 2015-04-03 à 17.51.16.pngNotons que contrairement à la série des inverses des jumeaux, la série des inverses des nombres premiers est divergente, ce qui établit leur infinitude, même si aisée à démontrer sans cela. En d'autres termes, si la série des inverses des jumeaux avait été divergente, cela aurait permis de prouver la conjecture des nombres premiers jumeaux. Aujourd'hui, les plus grands nombres premiers jumeaux sont énormes. En voici quelques-uns, avec le nom de leurs découvreurs à droite.

Capture d’écran 2015-04-03 à 17.54.07.png

La dernière paire de la liste contient plus de 32000 chiffres. Et concernant la constante de Brun, B2, on ne sait toujours pas aujourd'hui de quel type de nombre il s'agit. Mais à l'instar de Pi ou e, il est probablement transcendant.

 

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