02/03/2015

Théorème de Green-Tao, quelles perspectives?

pixel.jpg

Voici un tableau constellé de points noirs. Ce sont des pixels. Ils représentent les nombres entre 1 et 76800. Un pixel noir désigne un nombre premier et un blanc un nombre qui n’est pas premier. Impossible, bien sûr, d’en tirer matière immédiate à déduction. Les nombres premiers semblent y apparaître de manière irrégulière, même si leur distribution (asymptotique) peut être énoncée par une formule et un théorème dont j’avais parlé il y a quelques mois (lisible ici).

Intéressons-nous aujourd’hui à un théorème qui valut de nombreux prix à ses deux auteurs, l’Anglais Ben Green et l’Australien Terence Tao. Il s’agit du théorème de Green-Tao. Il peut s’énoncer ainsi : «La suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues. »

Voyons cela de plus près et attardons-nous d’abord sur la notion de suite arithmétique, qui fait intervenir la notion d’écart entre nombres. En voici un exemple simple: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... On aura reconnu là la suite des nombres impairs. On dit qu’elle est arithmétique de raison 2, car l’écart entre chaque nombre successif est justement de 2. Chaque terme permet ici de déduire le suivant en lui ajoutant une constante (appelée raison).

Au XVIIIe siècle, Legendre (1752 – 1833) avait conjecturé que lorsque le premier terme d’une suite et sa raison sont premiers entre eux, en d’autres termes qu’ils n’ont pas de diviseurs communs, la suite contient alors une infinité de nombres premiers. Si l’exemple donné ci-dessus est évident, d’autres le sont un peu moins. Tel celui-ci : 4, 7, 10, 13, 16, 19, … qui est de raison 3 et de premier terme 4. Elle contient pourtant elle aussi une infinité de nombres premiers. C’est finalement Dirichlet (1805 – 1859), au XIXe siècle, qui a démontré le théorème, plus connu sous le nom de théorème de la progression arithmétique.  Sa démonstration sera même à la base de la théorie analytique des nombres.

greentaot.jpg

Le théorème de Green-Tao (photos ci-dessus) est une généralisation de celui de Dirichlet. Et consiste à se demander si on peut trouver des suites arithmétiques finies, mais de longueur arbitrairement grande, constituées uniquement de nombres premiers. Exemple : 3, 5, 7 est une suite de raison 2 et de longueur 3 constituée uniquement de premiers. Idem pour 5, 11, 17, 23, 29 (raison 6, longueur 5) et pour 7, 37, 67, 97, 127, 157 (raison 30, longueur 6). Green et Tao ont ainsi prouvé, en 2004, qu’on peut trouver de telles suites d’une longueur aussi grande qu’on le souhaite. En revanche, leur théorème ne dit pas comment les construire et établit seulement qu’une progression de longueur k existe avec des entiers tous plus petits que :

Capture d’écran 2015-03-02 à 20.41.44.pngImpressionnant!

Reste aujourd’hui à augmenter la longueur de la suite, diminuer la raison pour une longueur donnée et jouer sur la taille du premier terme. A ce jour, la plus longue suite connue a été trouvée en 2010 (par Benoît Perichon via PrimeGrid, projet de calcul distribué pour la recherche des nombres premiers) et est constituée de 26 termes. La voici :

Capture d’écran 2015-03-02 à 20.42.57.pngLa variable n désigne ici un entier allant de 0 à 25 et P(23) est la primorielle de 23, soit le produit, parfois noté P !! (donc à ne pas confondre avec la factorielle), de tous les nombres premiers qui le précèdent avec lui-même.

Deux mathématiciens en ont trouvé deux autres de même longueur en 2012 et 2014. Des records qui devraient tôt ou tard être battus.

 

20:57 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

19/02/2015

Sur quels rivages nous mène la fonction zêta de Riemann?

 

zeta.jpgCe graphique coloré et séduisant est une représentation de la fonction zêta de Riemann dans le plan complexe. Fondamentale dans de nombreux développements mathématiques, et notamment en théorie des nombres, puisque la position de ses zéros a un rapport avec la répartition des nombres premiers, la fonction zêta touche, il faut bien l’avouer, à un domaine très ardu des maths. Je l’avais déjà mentionnée dans mon billet dédié au théorème des nombres premiers, consultable sur ce blog, et elle risque de réapparaître souvent dans des billets ultérieurs. Il existe en réalité plusieurs fonctions zêta. Celle d’Euler somme des puissances en nombres réels. Celle de Riemann des puissances en nombres complexes. La voici :

Capture d’écran 2015-02-19 à 20.21.35.png

Les variables s désignent des nombres complexes (du corps des nombres complexes  ℂ), soit des nombres de la forme a + bi avec i (pour imaginaire) désignant la racine carrée de – 1 (a et b étant des nombres réels, bien sûr). Le zêta est une lettre de l'alphabet grec, tout comme le sigma majuscule, qui représente ici une somme infinie. Cela étant, la fonction prolonge en fait la fonction somme d’une série de Dirichlet dont voici l’exemple, à titre purement informatif:

Capture d’écran 2015-02-19 à 20.28.48.png

Ce sont là des séries qui interviennent en théorie analytique des nombres. Elles servent notamment à démontrer le théorème de la progression arithmétique.

L'Allemand Bernhard Riemann (1826 – 1866), l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire, reprenant les travaux du Suisse Euler, publie en 1859 un texte sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée. C’est à ce moment qu’il définit et introduit la fonction zêta, en étendant les travaux de ses prédécesseurs aux nombres complexes. Elle peut ainsi se définir comme une fonction analytique complexe (méromorphe). Précédemment, Euler avait entre autres calculé la valeur de la fonction pour les entiers s positifs pairs. En résultent des séries convergentes et infinies qui peuvent s’exprimer par des puissances paires de ∏. Voici quelques-uns de ces résultats :

Capture d’écran 2015-02-19 à 20.47.07.png

Les choses se corsent, si j'ose dire, avec les nombres complexes, particulièrement ceux dont la partie réelle (notée Re(s)) est supérieure à 1. Euler est ainsi le premier à découvrir le lien entre la fonction zêta et un produit infini faisant intervenir tous les nombres premiers. Voici l’égalité - géniale - qu’il démontre, P désignant ici l’ensemble des nombres premiers :

Capture d’écran 2015-02-19 à 20.53.42.pngIl remarque alors que la position des zéros de la fonction zêta de Riemann fournit la position des nombres premiers. C’est ce constat qui est à la base de l’hypothèse de Riemann, Graal absolu de la recherche en maths, et sur lequel je reviendrai dans un prochain billet. Pour faire simple, l’hypothèse de Riemann conjecture que les zéros non triviaux de la fonction zêta ont tous pour partie réelle ½. Elle n'est à ce jour toujours pas démontrée. Et le jour où elle le sera, la recherche en maths fera des bonds de géant.

21:19 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

01/02/2015

Le nombre 153 est-il divin?

 

poissons.jpgDaté de 1444, ce tableau de Konrad Witz s’intitule La Pêche miraculeuse. Exposé au Musée d’Art et d’Histoire de Genève, il représente un épisode de l’Evangile selon Jean (Jean 21 : 1 – 24), celui de la pêche miraculeuse de Saint-Pierre, qui ramène 153 gros poissons à Jésus et à ses disciples. Très peu de nombres sont cités dans la Bible. 153 en fait partie. De nombreuses interprétations exégétiques existent à son propos. Tel n’est pas aujourd’hui le sujet de mon billet, dans lequel je vous propose d’observer les curieuses et innombrables propriétés d’un nombre qui semble cacher bien des mystères.

1) Tout d’abord, 153 est la somme de tous les entiers de 1 à 17. Cela fait de lui un nombre triangulaire, le 17ème, comme l’illustre le schéma ci-dessous, chaque ligne représentant successivement les nombres 1 à 17. triangle.jpg

Les nombres triangulaires ont tous cette forme:


Capture d’écran 2015-02-01 à 18.07.51.png





Ils possèdent diverses propriétés. Je me contenterais d’en citer une. En 1638, Fermat affirma que tout entier était somme de trois nombres triangulaires (à condition de considérer 0 comme un nombre triangulaire). Gauss prouva cette décomposition en 1796. En voici le résultat, relativement aisé à vérifier (M désigne un entier positif; x, y et z trois entiers; et l'équation utilise par ailleurs le théorème des trois carrés de Legendre, lequel induit que tout entier positif congru à 3 modulo 8 est la somme de trois carrés parfaits) :

Capture d’écran 2015-02-01 à 18.09.41.png



2) 153 est également un nombre hexagonal, le 9ème, ceux-ci étant en fait les nombres triangulaires d’indices impairs.

3) Ensuite, 153 est égal à la somme des factorielles des entiers de 1 à 5. Rappelons que la factorielle d’un entier naturel n est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Exemple, la factorielle de 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720. On note ce nombre 6 ! On voit donc clairement que

153 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! + 5 !

4) 153 est également divisible par la somme de ses chiffres. Soit 1 + 5 + 3 = 9. Et 9 x 17 = 153. On appelle ces nombres les nombres Harshad, terme sanskrit qui signifie «grande joie».

5) On peut encore écrire 153 sous la forme 153 = 3 x 51. Ce qui fait de lui un nombre de Friedman, soit un entier qui est le résultat d’une combinaison de tous ses chiffres dans une base donnée avec l’une ou l’autre des opérations élémentaires.

6) 153 est encore un nombre narcissique, c’est-à-dire un nombre égal à la somme des puissances p-ièmes de ses chiffres, p désignant le nombre de chiffres de n. A titre d’information, en voici la formulation mathématique.

Capture d’écran 2015-02-01 à 18.28.51.png

 





Plus simplement, 153 est 3-narcissique car 153 = 13 + 53 + 33.

7) Plus surprenant, prenons à présent au hasard n’importe quel multiple de 3, par exemple 7065. Elevons chacun de ses chiffres au cube, additionnons-les, puis répétons chaque fois la même opération avec le résultat de cette addition.

73 + 03 + 63 + 53 = 343 + 0 + 216 + 125 = 684

63 + 83 + 43 = 216 + 512 + 64 = 792

73 + 93 + 23 = 343 + 729 + 8 = 1080

13 + 03 + 83 + 03 = 1 + 0 + 512 + 0 = 513

53 + 13 + 33 = 125 + 1 + 27 = 153

On constate qu’on obtient 153 après un certain nombre de fois. Vous pouvez de votre côté tenter l’expérience avec n’importe quel multiple de 3, aussi grand soit-il. La série finira immanquablement par 153.

Miracle ? Je vous laisse juge. Car le 153 possède de nombreuses autres propriétés sur lesquelles je reviendrai un jour.

19:14 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (5) | |  Facebook | | | |