25/01/2015

Qui a peur de la théorie des groupes?

 

 

rubiks.jpgLes applications de la théorie des groupes sont aussi multiples que variées. Il y a même peu de domaines scientifiques dans lesquels elle n’apparaît pas. En physique théorique (dans l’électrodynamique classique), en chimie (dans le calcul des orbitales moléculaires), et même dans certains jeux, comme ci-dessus le célèbre Rubik’s Cube et ses permutations, la théorie des groupes est partout. Elle intervient également dans pratiquement tous les domaines mathématiques, ce qui rend souvent son étude malaisée, pour ne pas dire compliquée. Cela dit, son étude va des groupes les plus simples aux plus complexes. Le théorème de la classification des groupes simples demeure pourtant l’un des plus longs de l’histoire des mathématiques (lire à la fin de ce billet).

A l’origine, la notion de groupe a commencé à être utilisée car elle était pratique pour la résolution d’équations. Puis les groupes ont trouvé des implications dans la géométrie, avant de s’imposer comme une discipline à part entière. Mais qu’est-ce qu’un groupe, justement ? On peut y répondre en une phrase : il s’agit d’un ensemble muni d’une loi de composition interne associative avec un élément neutre et un symétrique pour chacun de ses éléments. Détaillons tout cela.

Prenons un ensemble quelconque, noté G, et munissons-le d’une loi de composition elle aussi quelconque, notée ●. La structure algébrique (G, ●) est un groupe si elle satisfait les quatre conditions ou propriétés suivantes (parfois dénommés axiomes sous une présentation plus formelle).

i) ● est une opération de G dans G lorsque deux éléments de cet ensemble, a et b, permettent toujours de déterminer un troisième élément, c, qui se trouve lui aussi dans G.

Ainsi, a, b G, on a :

a b = c avec c G.

Voilà pourquoi ● est dite loi de composition interne.

ii) Il existe un élément n de G qui vérifie l’égalité suivante pour tous les éléments de G (soit a G) :

n ● a = a ● n = a.

On appelle n l’élément neutre.

iii) Pour tout élément a de G, il existe un élément inverse – notons le a’ – tel que:

a a’ = n.

iv) Enfin, tous les éléments de G satisfont la propriété associative que voici :

(a ● b) ● c = a ● (b ●c).

Par ailleurs, un groupe est dit commutatif, ou abélien, s’il satisfait la propriété suivante, pour tous ses éléments :

a ● b = b ● a.

Quelques exemples aideront à mieux comprendre la notion de groupe. Z, l’ensemble des nombres entiers relatifs, muni de l’addition, est ainsi un groupe (infini) qu’on note (Z, +). Son élément neutre est le 0 et son élément inverse (ou ici opposé), pour tout pZ, est noté – p. Ainsi, p + ( p) = ( p) + p = 0, ce qu’on peut écrire plus simplement par p p = 0.

Dans la même logique, l’ensemble des nombres réels sans le zéro est un groupe (lui aussi infini) avec la multiplication noté (ℝ*, x). 1 est son élément neutre et 1/y son élément inverse pour tout y dans ℝ*. Autre exemple de groupe, là encore infini, celui des symétries d’un cercle de centre c, qui est en réalité un polygone à n côtés avec n tendant vers l’infini ().

Ces bases ne sont que les prémisses de la théorie des groupes, qui se développe ensuite avec les notions de sous-groupes, de groupes quotients ou d’isomorphismes (etc.), dont je parlerai peut-être un jour. Aujourd’hui, ce qu’on appelle les «groupes simples», c’est-à-dire ceux qui permettent de construire tous les autres, ont tous été identifiés. Quant à la démonstration complète de leur structure, elle se nomme le «théorème monstrueux». Et c’est loin d’être un euphémisme. La première rédaction de cette démonstration occupait en effet entre 10 000 et 15 000 pages. Au XXe siècle, elle a été réduite à 6 000. J’en reparlerai dans un prochain billet qui sera dédié au «monstre», The Monster, appellation d’un groupe fini, simple et non abélien qui contient plus d’éléments qu’il n’existe d’atomes dans tout l’univers !

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18/01/2015

Que cache la conjecture de Gilbreath?

 

gilbreath01.jpgPour ce premier billet maths de 2015, j’ai choisi un sujet à la fois très abordable, car ne nécessitant pas un gros bagage mathématique pour être compris, et relativement ludique dans son approche. Il s’agit d’une hypothèse plus connue sous le nom de conjecture de Gilbreath. Pour l’illustrer, voici un tableau avec des nombres et des couleurs. Sur la première ligne, on note la suite de tous les nombres premiers, ici jusqu’à 71 (soit les vingt premiers d'entre eux). Puis on calcule la différence entre chaque premier et celui qui le suit (en valeur absolue). On répertorie la valeur obtenue sur la seconde ligne. On répète l’opération ensuite pour chaque ligne, jusqu’à la fin du tableau. On remarque alors que la première colonne du tableau, juste en dessous du 2, ne contient que des 1. Et qu’aucun 1 n’apparaît d’ailleurs dans aucune autre case.

La conjecture de Gilbreath stipule qu’aussi loin qu’on répète l’opération, la première colonne ne contiendra toujours que des 1.  Elle est à ce jour démontrée pour tous les nombres premiers inférieurs à 10 puissance 13.

Voici une autre disposition du tableau, peut-être plus aisée à lire, avec cette fois uniquement les onze premiers nombres premiers.


Capture d’écran 2015-01-18 à 02.46.53.png


















On y voit bien le résultat de chaque addition, sous chaque paire de nombres premiers et ainsi de suite. Les couleurs utilisées dans le premier tableau – violet pour les 1, blanc pour les 0 et jaune pour tous les autres nombres – permettent également d’amusantes spéculations. Les 0 sont donc ici en blanc et on remarque qu’ils forment des structures d’apparence triangulaires. Si on agrandit le tableau à une plus grande échelle – c’est-à-dire en prenant les 200 premiers nombres premiers -, la triangulation des 0 est confirmée, comme on peut le voir ci-dessous.

gilbreath03.jpeg

 

Un schéma qui évoque du reste les triangles de Sierpinski. La conjecture de Gilbreath a été formulée en 1958 par le mathématicien Norman J. Gilbreath. Elle semble pourtant avoir déjà été proposée par d’autres chercheurs au XIXe siècle, ce qui n’est pas illogique, car elle résulte finalement d’un travail d’observation auquel tout le monde ou presque pourrait se livrer. Qu’apporterait sa résolution ? Difficile à dire, mais sans doute pas une révolution en théorie des nombres.

Ultime remarque, on notera, dans la seconde ligne du tableau, qu’apparaissent tous les écarts successifs entre premiers. L’écart de 2 indique tous les jumeaux. L’écart de 4 tous les premiers dits cousins. Et l’écart de 6 tous les premiers dits sexy. Si ces valeurs se reproduisaient à l’infini, cela prouverait bien sûr que la conjecture des nombres premiers jumeaux (et cousins et sexy) est vraie.

 

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28/12/2014

La conjecture de Goldbach est-elle vraie?

Goldbach.jpg

 

Tout nombre pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers: cet énoncé a beau avoir l’air tout simple, il n’est toujours pas démontré aujourd’hui. Ce séduisant graphique de forme triangulaire illustre cette affirmation, plus connue sous le nom de conjecture de Goldbach. Sur les côtés gauche et droit de notre schéma, on remarque la succession de tous les nombres premiers jusqu’à 47 (ou plus petits que 50, ce qui revient au même). Au centre du triangle, le résultat de leurs additions (ou plus précisément toutes les solutions de l’équation 2N = p + q avec p et q premiers), visibles à travers les lignes bleue et rose qui se croisent. Les nombres qui en résultent sont tous pairs, ce qui est logique, la somme de deux premiers supérieurs à deux, donc l’un et l’autre impairs, engendrant forcément un résultat pair, comme (dé)montré ci-dessous.

(2k + 1) + (2n +1) = 2k + 2n + 2 = 2 x (k + n + 1)

On note encore que tous les nombres pairs jusqu’à 50 se retrouvent dans cette liste. Et que les lignes grises figurant à côté comportent toutes au moins un point de croisement. Ce constat nous amène naturellement à la fameuse conjecture de Goldbach.

En 1742, le mathématicien allemand Christian Goldbach (1690 – 1764) écrivit une lettre à Leonhard Euler, lui proposant la conjecture suivante : «Tout nombre plus grand que 2 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers». Ce à quoi Euler répondit que cette affirmation découlait d’un autre énoncé, à savoir que tout nombre pair (supérieur à 3 dans la formulation actuelle, comme dit au début de ce billet) peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. Tel est le point de départ d’un problème insoluble qui est en réalité le cas particulier d’une autre conjecture en rapport avec l’hypothèse H de Schinzel (sur laquelle je consacrerai un billet l’année prochaine). Il existe également des variantes de la conjecture et une version faible stipulant que tout entier supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs.

Mais revenons à Goldbach. Depuis 2012, sa conjecture a été démontrée (par le mathématicien portugais Tomas Oliveira e Silva) pour tous les nombres pairs jusqu’à 4 x 1018. En d’autres termes, pour démontrer sa fausseté (peu probable, mais sait-on jamais), il suffirait de lui trouver un contre-exemple, autrement dit un nombre pair supérieur à 4 x 1018 qui ne soit pas la somme de deux nombres premiers. Si ce nombre existe, il est donc énorme. Et si on ne le trouve jamais, la conjecture est donc vraie.

On peut également étudier le problème en passant par la quantité de partitions correspondant à chaque nombre N. Elle est généralement notée r(N). Pour la définir, un exemple suffira. Prenons le nombre 100. On peut l’écrire comme suit :

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53

Au total, il y a donc six partitions, six façons d’écrire 100 comme somme de deux nombres premiers. Autrement dit, pour N = 100, r(N) = 6. En toute légitimité, on peut dès lors supposer que plus N est grand et plus r(N) le sera aussi. (Le cas r(N) = 0 infirmerait évidemment la conjecture.) Assertion que le tableau ci-dessous, appelé comète de Goldbach, semble confirmer.


Capture d’écran 2014-12-28 à 19.57.25.png


















Et pourtant, malgré tout cela, la conjecture n’est toujours pas démontrée !

En recherchant sur le net, on s’aperçoit qu’il existe plusieurs démonstrations en ligne de la conjecture. Aucune n’a pour l’instant été validée. En revanche, la version faible de la conjecture serait démontrée depuis 2013. Dans la liste des problèmes de Hilbert, la conjecture de Goldbach porte le numéro 8, qu’elle partage avec l’hypothèse de Riemann et la conjecture des nombres premiers jumeaux.

 

 

 

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