21/12/2014

L'identité d'Euler, manifeste du génie helvétique?

 

euler_t_shirt.jpgOn la retrouve sur des tee shirts. Elle se décline sur des sacs. euler_sac.jpg


Et même des coques de smartphones.

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Et sur toutes sortes d’autres objets comme ici sur ce "gobelet" à café.

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Elle, c’est l’identité d‘Euler, l’une des formules les plus célèbres et les plus belles de toute l’histoire des maths. La voici en dehors de tout support:

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C’est le Bâlois Leonhard Euler (1707 – 1783) qui l’a découverte et l’a mentionnée dans un ouvrage paru en 1748, sans vraiment la démontrer. Ce qu’il y a évidemment de remarquable dans cette égalité a priori très simple, c’est la coprésence de cinq constantes mathématiques fondamentales. Voyons plutôt.

0 et 1 sont les éléments neutres respectifs de l’addition et de la multiplication.

Pi ou π est un nombre transcendant désignant le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. Rappelons qu’un nombre est dit transcendant s’il n’est racine d’aucun polynome à coefficients entiers.

e est la base du logarithme naturel et se caractérise par la relation ln(e) = 1. Tout comme π, il s’agit d’un nombre transcendant.

Quant à i, racine carrée de – 1, c’est l’unité imaginaire servant de base à la construction des nombres complexes.

La relation qu’établit Euler entre ces cinq nombres utilise par ailleurs trois opérations fondamentales, l’addition, la multiplication et l’exponentiation. L’identité d’Euler peut se démontrer de plusieurs manières et bizarrement de façon assez aisée. En géométrie, on peut l’établir par la juxtaposition de triangles rectangles. En analyse complexe, on déduit qu'elle est un cas particulier de la formule suivante (dans laquelle apparaissent les fonctions trigonométriques sinus et cosinus)

mathrm e^{mathrm ix} = cos x + mathrm i sin x ,!

et, grâce à différentes égalités déductibles des séries de Taylor, dont voici un exemple,

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on peut démontrer l'identité via des calculs et injections que je ne reproduirai pas ici pour ne pas alourdir ce billet.

D’Euler, déjà mentionné dans plusieurs billets maths (et notamment dans celui dédié au théorème des nombres premiers), il sera évidemment fréquemment question dans de futurs billets. Il reste l’un des scientifiques les plus grands et les plus prolifiques de tous les temps. Son apport dans des branches aussi variées que le calcul infinitésimal, l’analyse mathématique, la théorie des graphes ou, en physique, la dynamique des fluides et l’astronomie, font de lui l’un des Suisses les plus célèbres à travers l’histoire. Et vous l’avez tous tenu entre vos mains. Souvenez-vous de nos anciens billets de dix francs. C’est Euler qui est dessus.

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14/12/2014

Combien y a-t-il de nombres parfaits?

 

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Il en va des nombres comme des organismes vivants. Certains sont dotés de propriétés singulières ou remarquables qui les rendent uniques. Nombres amicaux, sociables, chanceux, palindromes, pyramidaux, primoriels, automorphes, étranges, intouchables, ou, du nom de leurs découvreurs, nombres de Mersenne, de Sophie Germain, de Fibonacci, de Liouville ou de Fermat, les catégories ne manquent pas. Je vais me pencher aujourd’hui sur les nombres parfaits, lesquels font toujours à l’heure actuelle l’objet de recherches incessantes.

Le petit tableau ci-dessus donne une idée de leur définition (ligne du milieu). Un nombre est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres (ou stricts). On peut aussi définir un nombre parfait par la formule suivante : σ(n) = 2n, σ(n) désignant la somme de tous les diviseurs positifs de n. Prenons le cas de 6, qui est le premier nombre parfait connu. La somme de ses diviseurs stricts donne 1 + 2 + 3 = 6. Et σ(n) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, qui est bien égal à 2n (2 x 6).

Lorsqu’on monte un peu dans la progression des nombres, on note très vite que les nombres parfaits sont extrêmement rares. Les quatre premiers sont 6, 28, 496 et 8128. Ils sont tous pairs. Dans l’histoire des mathématiques, leur apparition a lieu très tôt. Nicomaque de Gérase (vers 150 – vers 196) cite ainsi les quatre premiers nombres parfaits dans un traité d’arithmétique, mais Euclide en parlait déjà dans l’un des livres de ses Eléments (IIIe siècle av. J.-C.) Le cinquième nombre parfait est cité dans un manuscrit du XVe siècle. Et les deux suivants furent découverts par Pietro Cataldi en 1588. Quant au huitième, il sera trouvé par le Suisse Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Euler ira même plus loin, en affinant une égalité démontrée par Euclide et qui peut se formuler ainsi :

Capture d’écran 2014-12-14 à 20.12.57.pngEt ce qu’il y a d’intéressant, c’est qu’on retrouve ici les nombres dits de Mersenne (du nom de leur découvreur, Marin Mersenne (1588-1648), dont je reparlerai bientôt), c’est-à-dire les nombres premiers qui peuvent s’écrire sous la forme suivante, avec n premier:

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La démonstration d’Euler nous apprend surtout que tous les nombres parfaits pairs ont cette forme. En revanche, on ne connaît, à ce jour, aucun nombre parfait impair et on ignore s’il en existe. Actuellement, 48 nombres parfaits ont été découverts. On conjecture qu'il en existe une infinité. Le dernier en date a été calculé en janvier 2013 à partir du 48e( ?) nombre de Mersenne que voici,

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lequel se compose de plus de 17 millions de chiffres (17 425 170 exactement). Il s'agit également du plus grand nombre premier connu. Et le jour (proche, je l'espère) où des ordinateurs dûment programmés pourront calculer un nombre de Mersenne supérieur à celui-ci, il en découlera la découverte d'un nouveau nombre parfait.

Quant aux nombres abondants et déficients, cités dans le tableau du haut, vous n'aurez aucune peine à déduire leur définition.

 

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07/12/2014

Le théorème des nombres premiers a-t-il livré tous ses secrets?

 

Capture d’écran 2014-12-06 à 01.49.49.pngInterrogations, conjectures, suppositions, mystères. Même si leur infinitude est prouvée depuis des millénaires, les nombres premiers continuent à faire de la résistance. Existe-t-il une fonction qui les engendre tous, si possible dans l’ordre ? Une équation polynomiale simple ne comportant que des premiers comme solutions ? Comment se comportent leurs écarts successifs lorsqu’ils tendent vers l’infini ? Toutes ces questions sont à ce jour sans réponses. Le graphique ci-contre présente deux courbes, l'une régulière, l'autre moins. La rouge désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à x. La bleue correspond à la courbe d’équation de la fonction logarithmique x/log(x). On remarque qu’elles sont très proches l’une de l’autre. Qu’elles se touchent presque par endroits.

On sait que les nombres premiers se raréfient à l’approche de l’infini (encore que leur apparition, dans de très grands intervalles, demeure souvent aléatoire), ce qui peut sembler logique. En clair, plus un nombre est grand et moins il y a de chances qu’il soit premier. La question de leur fréquence et de leur répartition est depuis longtemps un point essentiel de la recherche en théorie des nombres. C’est au XIXe siècle qu’a été démontré, à la fois (et indépendamment) par le Français Jacques Hadamard (1865 - 1963) et le Belge Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962), le théorème des nombres premiers, lequel permet une approche assez précise et fiable de leur distribution asymptotique. Il illustre exactement ce qu’établit le graphique ci-dessus et s’énonce par la formule qui suit:

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Ici, le symbole Pi ne désigne pas le célèbre nombre transcendant que tout le monde connaît, mais le nombre de premiers inférieurs à n, et ln est la fonction logarithmique naturelle (courbe bleue ci-dessus). On peut également formuler le théorème en disant que pour un P premier assez grand, l’intervalle {1,…, P} contient environ P/log (P) nombres premiers. D’autres formulations encore plus précises font appel à un symbolisme mathématique qui viendrait sans doute alourdir ce billet en m’obligeant à expliquer des notions que je n’aborde pas pour cette fois.

Cela étant, l’observation graphique ne constitue pas une preuve, même si la formule est «aisément» déductible du comportement de nos deux courbes. Pour établir cette égalité, il a donc fallu la démontrer. Je ne vais pas tenter de résumer cette démonstration, trop complexe pour ce billet, mais me contenter de dire qu’elle fait appel à plusieurs égalités ou fonctions fondamentales en mathématiques. A commencer par la célèbre fonction zêta de Riemann que voici :

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qui est une somme infinie (comme l’indique le Sigma majuscule) dans laquelle les n désignent les entiers naturels de 1 à l’infini alors que les s sont des nombres complexes de la forme a + bi avec i désignant le nombre imaginaire, soit la racine carrée de – 1. A priori, on peut se demander ce qu’elle a de commun avec les nombres premiers. Enormément de choses, et c’est le Suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) qui va le démontrer en établissant que la fonction de Riemann est équivalente au produit infini ci-dessous :

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Vous suivez ? Si vous êtes arrivés jusque là, je suppose que la réponse est oui. Le Pi majuscule désigne là un produit infini, et ce qu’il y a de remarquable, c’est que ce dernier s’établit cette fois pour tous les p premiers et non pour les n entiers. Cette merveilleuse égalité relie tout simplement les deux. Montre un lien entre les entiers et les premiers. Ce qui est aussi miraculeux qu’inouï. En résumé, la démonstration du théorème des nombres premiers va faire avancer d’un bond énorme la théorie des nombres. Et laisser entrevoir la perspective d’une possible répartition logique des nombres premiers sur la droite menant à l’infini. Mais pour cela, il sera nécessaire de se pencher sur la célèbre hypothèse de Riemann, Graal absolu des mathématiques, puisque toujours irrésolue, et ce sera dans un billet futur.

 

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