Mathématiques - Page 10

  • Nombres premiers jumeaux: quel rôle joue la constante de Brun?

    Imprimer Pin it!

    Prime-Spiral-Flower.jpgCette belle spirale de nombres premiers présente par endroits des aspects plus ou moins réguliers qui devraient nous interpeller. Il existe des dizaines de graphiques analogues - spirales d'Ulam ou de Sacks, et j'en reparlerai un jour dans un autre billet - mais on ne peut en tirer aucune preuve scientifique. On sait qu'il y a une infinité de nombres premiers, on ne sait toujours pas s'il y a une infinité de premiers jumeaux, conjecture qui était d'ailleurs le sujet de mon premier billet maths de ce blog (consultable ici). Mais si les travaux de Zhang ont permis de faire un bond de géant en direction de la démonstration de la conjecture, on peut aussi observer le problème par un autre chemin. Par exemple en observant la série des inverses des nombres premiers jumeaux. En voici la formule, aisée à comprendre:

    Capture d’écran 2015-04-03 à 17.31.00.pngLe P majuscule y désigne l'ensemble des nombres premiers. C'est le mathématicien norvégien Viggo Brun (1885 - 1978) qui remarqua que la série était convergente, autrement dit qu'elle admet une limite lorsqu'elle tend vers l'infini. Du nom de son découvreur, cette limite est appelée constante de Brun, parfois notée B2. Selon de récentes estimations, la valeur de B2, extrêmement dure à calculer au-delà de neuf décimales, est à peu près de 1,90216 05831 04, nombre obtenu en 2002 en utilisant tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10 16. Voici ci-dessous le détail de son estimation pour plusieurs puissances de dix successives.

    Capture d’écran 2015-04-03 à 17.51.16.pngNotons que contrairement à la série des inverses des jumeaux, la série des inverses des nombres premiers est divergente, ce qui établit leur infinitude, même si aisée à démontrer sans cela. En d'autres termes, si la série des inverses des jumeaux avait été divergente, cela aurait permis de prouver la conjecture des nombres premiers jumeaux. Aujourd'hui, les plus grands nombres premiers jumeaux sont énormes. En voici quelques-uns, avec le nom de leurs découvreurs à droite.

    Capture d’écran 2015-04-03 à 17.54.07.png

    La dernière paire de la liste contient plus de 32000 chiffres. Et concernant la constante de Brun, B2, on ne sait toujours pas aujourd'hui de quel type de nombre il s'agit. Mais à l'instar de Pi ou e, il est probablement transcendant.

     

    Lien permanent Catégories : Mathématiques, Sciences 2 commentaires
  • Les hypercubes sont-ils solubles dans la géométrie euclidienne?

    Imprimer Pin it!

    Futuroscope.jpgFilms Imax, 3D ou 4D furent parmi les premières attractions du Futuroscope de Poitiers. Voici l’un des pavillons de ce parc de loisirs. Sa forme ne représente pas un cube, mais un hypercube. Plus précisément un hypercube quadridimensionnel, c’est-à-dire de dimension 4, ou Tesseract. De telles figures ne sont pas rares en géométrie, et on peut ainsi en construire et en concevoir dans toutes les dimensions désirées. Les hypercubes de dimension 0, 1, 2 et 3 sont bien sûr les plus fréquents.  Il s’agit respectivement du point, du digone, du carré et du cube. Seul le digone peut paraître moins familier. Il s’agit d’un polygone dégénéré avec deux côtés et deux sommets. Géométriquement, on peut le représenter par un segment de droite.

    Mais pour construire un hypercube, que faut-il faire ? Réponse assez simple. Il faut pour cela opérer une translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire à ses propres dimensions. Ainsi du point (0-cube) au digone (1-cube). Puis du digone (1-cube) au carré (2-cube) et de ce dernier au cube (3-cube). Mais au-delà ? Eh bien, c’est pareil. Et on obtient ainsi un Tesseract, soit un hypercube de dimension 4 dont chaque face est à son tour constituée d’un cube, tel que ci-dessous.Capture d’écran 2015-03-16 à 20.15.30.png

    Il possède 16 sommets, 32 arêtes et 24 faces planes, et il est limité par 8 hyperplans. Plus simplement, le Tesseract est au cube ce que le cube est au carré.

    Mais on peut évidemment aller plus loin que quatre dimensions. Et tout cela se généralise et se calcule.  Un hypercube à n dimensions possède ainsi 2n sommets et n × 2n-1 arêtes. Et le nombre de faces à k dimensions d’un hypercube à n dimensions peut se déterminer par cette jolie formule :

    Capture d’écran 2015-03-16 à 20.26.53.pngReprésenter ces figures est en revanche un peu plus complexe. En voici pourtant quelques unes, sous forme de graphes.

    Capture d’écran 2015-03-16 à 20.28.59.png

     

    Capture d’écran 2015-03-16 à 20.29.12.png

     

    Capture d’écran 2015-03-16 à 20.29.29.png

    Capture d’écran 2015-03-16 à 20.29.46.png

    Capture d’écran 2015-03-16 à 20.29.57.png

    Leurs noms ne sont pas moins séduisants : Penteract, Hexeract, Hepteract, Octeract et Ennéneract (soit respectivement de 5,6,7,8 et 9 dimensions). Enfin, de nombreuses représentations filmées de ces objets sont disponibles sur le net. En voici une tout à fait plaisante :


     

    Lien permanent Catégories : Mathématiques, Sciences 0 commentaire
  • Théorème de Green-Tao, quelles perspectives?

    Imprimer Pin it!

    pixel.jpg

    Voici un tableau constellé de points noirs. Ce sont des pixels. Ils représentent les nombres entre 1 et 76800. Un pixel noir désigne un nombre premier et un blanc un nombre qui n’est pas premier. Impossible, bien sûr, d’en tirer matière immédiate à déduction. Les nombres premiers semblent y apparaître de manière irrégulière, même si leur distribution (asymptotique) peut être énoncée par une formule et un théorème dont j’avais parlé il y a quelques mois (lisible ici).

    Intéressons-nous aujourd’hui à un théorème qui valut de nombreux prix à ses deux auteurs, l’Anglais Ben Green et l’Australien Terence Tao. Il s’agit du théorème de Green-Tao. Il peut s’énoncer ainsi : «La suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues. »

    Voyons cela de plus près et attardons-nous d’abord sur la notion de suite arithmétique, qui fait intervenir la notion d’écart entre nombres. En voici un exemple simple: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... On aura reconnu là la suite des nombres impairs. On dit qu’elle est arithmétique de raison 2, car l’écart entre chaque nombre successif est justement de 2. Chaque terme permet ici de déduire le suivant en lui ajoutant une constante (appelée raison).

    Au XVIIIe siècle, Legendre (1752 – 1833) avait conjecturé que lorsque le premier terme d’une suite et sa raison sont premiers entre eux, en d’autres termes qu’ils n’ont pas de diviseurs communs, la suite contient alors une infinité de nombres premiers. Si l’exemple donné ci-dessus est évident, d’autres le sont un peu moins. Tel celui-ci : 4, 7, 10, 13, 16, 19, … qui est de raison 3 et de premier terme 4. Elle contient pourtant elle aussi une infinité de nombres premiers. C’est finalement Dirichlet (1805 – 1859), au XIXe siècle, qui a démontré le théorème, plus connu sous le nom de théorème de la progression arithmétique.  Sa démonstration sera même à la base de la théorie analytique des nombres.

    greentaot.jpg

    Le théorème de Green-Tao (photos ci-dessus) est une généralisation de celui de Dirichlet. Et consiste à se demander si on peut trouver des suites arithmétiques finies, mais de longueur arbitrairement grande, constituées uniquement de nombres premiers. Exemple : 3, 5, 7 est une suite de raison 2 et de longueur 3 constituée uniquement de premiers. Idem pour 5, 11, 17, 23, 29 (raison 6, longueur 5) et pour 7, 37, 67, 97, 127, 157 (raison 30, longueur 6). Green et Tao ont ainsi prouvé, en 2004, qu’on peut trouver de telles suites d’une longueur aussi grande qu’on le souhaite. En revanche, leur théorème ne dit pas comment les construire et établit seulement qu’une progression de longueur k existe avec des entiers tous plus petits que :

    Capture d’écran 2015-03-02 à 20.41.44.pngImpressionnant!

    Reste aujourd’hui à augmenter la longueur de la suite, diminuer la raison pour une longueur donnée et jouer sur la taille du premier terme. A ce jour, la plus longue suite connue a été trouvée en 2010 (par Benoît Perichon via PrimeGrid, projet de calcul distribué pour la recherche des nombres premiers) et est constituée de 26 termes. La voici :

    Capture d’écran 2015-03-02 à 20.42.57.pngLa variable n désigne ici un entier allant de 0 à 25 et P(23) est la primorielle de 23, soit le produit, parfois noté P !! (donc à ne pas confondre avec la factorielle), de tous les nombres premiers qui le précèdent avec lui-même.

    Deux mathématiciens en ont trouvé deux autres de même longueur en 2012 et 2014. Des records qui devraient tôt ou tard être battus.

     

    Lien permanent Catégories : Mathématiques, Sciences 0 commentaire