27/10/2015

Une triple conjonction planétaire aura lieu jeudi matin

conjonction.jpgJeudi matin, la distance entre Jupiter, Vénus et Mars (ci-dessus réunies dans une forme triangulaire très plate) semblera extrêmement réduite pour ceux qui pourraient les observer à l'oeil nu. C'est juste avant le lever du soleil et en direction de l'est que la visibilité, du moins si le ciel est dégagé, sera la plus évidente, car les trois planètes se trouveront juste au-dessus de l'horizon. Vénus, la plus proche de nous, reste donc la plus brillante. De par sa taille, Jupiter, dont la mystérieuse tache rouge vient de susciter des photos magnifiques qu'on peut voir sans effort un peu partout sur le net -, est également parmi les planètes les plus brillantes de notre système solaire. En revanche, voir Mars à l'oeil nu sans télescope risque d'être un peu plus difficile, vu sa petitesse et son obscurité, due au fait qu'elle ne réfléchit pas la lumière comme ses "voisines". L'événement qui se produira jeudi 29 octobre au matin est rare. Il s'agit d'une triple conjonction planétaire. Et il ne s'en produira plus d'autres avant janvier 2021.

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26/10/2015

Que cache la conjecture de Legendre?

premiers entre 1 et 1049.gifS’agissant des nombres premiers, la méthode du crible d’Eratosthène (tableau ci-dessus), que je suppose connue du lecteur, reste encore l’une des plus efficaces pour déterminer leur apparition dans la suite des entiers. Le problème, c’est qu’elle est fastidieuse, donc sans portée lorsqu’on tend vers de très grands nombres. S’agissant des nombres premiers toujours, plusieurs conjectures demeurent aujourd’hui ouvertes. C’est le cas de la conjecture de Legendre (1752 – 1833), qui stipule qu’il existe un nombre premier, pour tout entier non nul n, entre n2 et (n+1)2. L’affaire a l’air simple comme bonjour, elle n’est toujours pas résolue à l’heure actuelle, même si quelques démonstrations non encore validées ont fleuri ici et là sur des forums. Une conjecture très proche, le postulat de Bertrand (1822 – 1900), affirme qu’entre un entier et son double existe toujours un nombre premier. Mais celle-ci fut démontrée, par Tchebychev (1821 – 1894) en 1852, puis plus simplement par Ramanujan (1887 – 1920) et par Paul Erdöss (1913 – 1996) au XXe siècle.

Revenons à la conjecture de Legendre. Supposons qu’elle soit vraie. Prenons alors un nombre premier de rang m, soit pm. En ce cas, n peut s’écrire [pm] + 1. On aurait donc (les calculs qui suivent sont aisés à effectuer et déduire) :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.57.37.png

Par suite, on voit que :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.58.22.pngEt en simplifiant :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.59.09.pngCe qui nous fait presque aboutir à un autre problème irrésolu, l’hypothèse de Riemann, laquelle implique, pour une constante C strictement plus grande que 0, que :

Capture d’écran 2015-10-26 à 20.00.45.pngEst-ce réellement surprenant ? Non, dans la mesure où l’hypothèse de Riemann apparaît souvent lorsqu’on étudie un peu le comportement des nombres premiers quand ceux-ci tendent vers l’infini. Et ce court billet n’est destiné qu’à rappeler les liens parfois très serrés qu’entretiennent des domaines mathématiques apparemment éloignés. Pour exemple, rêvons un instant en nous rappelant le cheminement sinueux emprunté par Andrew Wiles pour démontrer le dernier théorème de Fermat, déjà évoqué dans ce blog.

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22/10/2015

Découverte d'un astéroïde qui fonce sur nous : que doit-on craindre?

2015.jpegRepéré par la NASA le 10 octobre dernier (seulement!!!), un astéroïde, 2015 TB145 (probablement semblable à la vue d'artiste ci-dessus), fonce dans notre direction. Sa taille? Entre 300 et 450 mètres de diamètre, ce qui est plutôt grand. Sa vitesse? 35 km/s, ce qui est plutôt rapide, en tout cas davantage que les sondes que l'homme envoie dans le système solaire. Quels sont les risques de collision avec la Terre? Nulles, assure la NASA. Le corps céleste nous frôlera le 31 octobre prochain, juste pour Halloween - d'où un certain nombre de dépêches d'un goût aussi douteux que les conseils de beauté pour ados prépubères de Miss EnjoyPhoenix -, à une distance de 490 000 kilomètres. Ce qui est à la fois loin à notre échelle et tout près à l'échelle spatiale. En d'autres termes, on ne devrait même pas l'apercevoir et les raisons de paniquer devraient demeurer de purs fantasmes. Seul élément un poil inquiétant, la découverte tardive du caillou, et l'estimation de ses dimensions, qui varie allègrement selon les dépêches depuis un jour ou deux. Pour le reste, tout va bien. Ce n'est pas 2015 TB145 qui devrait provoquer l'extinction de la vie humaine sur notre globe.

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