04/10/2015

La conjecture d’Elliott-Halberstam, un espoir pour les maths du futur ?

premiers.pngDans la constellation des nombres premiers, l’ordre semble surgir du chaos et le hasard obéir à des règles aussi strictes que mystérieuses. Ces quatre motifs abstraits, de gauche à droite et de haut en bas, présentent successivement la suite des nombres premiers, puis ceux qui sont respectivement jumeaux, cousins et sexy – c’est-à-dire distants de deux, quatre ou six unités. (Pour des raisons que le bon sens suffit à démontrer, cette différence ne peut évidemment pas être impaire.) Décèle-t-on un ordre quelconque dans ces suites de points qui paraissent surgir sans logique les uns derrière les autres ? Pas vraiment. En irait-il de même si on agrandissait démesurément ces figures ? Peut-être. Comment progressent ces suites de nombres lorsqu’elles tendent vers l’infini et à quelle fréquence les écarts successifs entre premiers apparaissent-ils ? Même si le théorème des nombres premiers (lire ici) répond en grande partie à cette question, nous sommes encore loin d’en avoir fait le tour. Dans tous les cas, dès qu’on aborde le sujet des nombres premiers – auxquels j’ai déjà consacré un certain nombre de billets dans ce blog –, on finit tôt ou tard par buter sur un obstacle. Hypothèses, conjectures, théorèmes en attente de démonstration, énigmes, les dossiers ne manquent pas. Je vais me pencher aujourd’hui sur le cas d’une conjecture elle aussi ouverte, du moins en partie, la conjecture d’Elliott-Halberstam, qui découle d’ailleurs du théorème de la progression arithmétique – la notion de progression étant ici assurément centrale. Pour présenter cette conjecture, ou plutôt la résumer (il faudrait plus de 50 pages pour l’exposer réellement) – quitte à ce que la suite de ce billet soit malheureusement difficile et ardue pour les néophytes -, il convient de rappeler quelques notions, dans une forme très synthétique. Les voici :

1) Le théorème de la progression arithmétique : démontré par Dirichlet (1805 – 1859), il stipule que pour tous les entiers naturels différents de zéro et premiers entre eux – nommons les m et n -, il existe une infinité de premiers de la forme m + an (a étant un entier positif).

2) La fonction de compte des nombres premiers : elle désigne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x (x étant un nombre réel). On la note en général π (x), à ne pas confondre avec le nombre Pi.

3) Les congruences modulo : deux nombres entiers a et b sont dits congruents modulo n si leur différence est divisible par n, ou si le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n. Exemple : 26 est congru à 12 modulo 7 car 26 – 12 = 14, qui est un multiple de 7. De plus, 26 et 12 ont tous deux 5 comme reste lors de leur division par 7.

4) La fonction indicatrice d’Euler : il s’agit d’une fonction arithmétique qui associe, à tout entier naturel non nul n, le nombre d’entiers premiers avec n compris entre 1 et n. Elle est notée φ (n), du nom de la lettre grecque phi. Exemple : φ (8) = 4, car entre 1 et 8, les nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8.

 5) La fonction logarithme naturel ou népérien : notée ln(x), elle est la réciproque de la fonction exponentielle.

A présent que ces notions ont été évoquées, on peut tenter de définir notre conjecture. Soit π (x ; q, a), le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont congrus à a modulo q. On peut en déduire, sur la base du théorème de la progression arithmétique, l’«égalité» suivante :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.14.28.pngA dessein, j’ai écrit égalité entre guillemets. Car en effet, ce n’en est pas tout à fait une, comme l’indique le symbole d’approximation usité. En d’autres termes, l’égalité comporte une marge d’erreur. Celle-ci se calcule aisément via une autre formule où le max est considéré parmi tous les a premiers avec q :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.14.43.pngLa conjecture d’Elliott-Halberstam affirme dès lors que pour tout θ < 1, et pour tout A > 0, il existe une constante C telle que pour tout x ≥ 2 :

Capture d’écran 2015-10-04 à 17.19.12.pngJe disais au début de ce billet que la conjecture est un problème ouvert. Pour le cas où θ = 1, elle est fausse. Pour les cas où θ < ½, elle a été démontrée et porte le nom de théorème de Bombieri-Vinogradov, qui est par ailleurs une forme moyennée de l’hypothèse de Riemann généralisée (j’en parlerai un jour dans un billet). Mais si la conjecture était démontrée, elle aurait de nombreuses conséquences. Et notamment de montrer qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d’au plus 16 unités. En clair, on ferait un pas décisif en direction de la démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux, irrésolue depuis des millénaires.

17:33 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

01/10/2015

Planètes habitables: il pourrait y en avoir des millions!

planetes.jpgVoilà bien un domaine où les news ne cessent de se contredire d'un communiqué à l'autre. Il y a quelques mois, on nous assurait que le nombre de galaxies comportant des civilisations capables de conquête interstellaire, sur 100 000 d'entre elles (ce qui est fort peu), était égal à zéro. Il y a deux jours, une étude attestait que le nombre de planètes habitables dans notre galaxie était de plusieurs millions. En apparence, ces deux constats semblent se contredire. Il n'en est rien. Car habitable ne signifie pas habitée, et des galaxies sans traces de civilisations développées ne sont pas forcément inhabitées pour autant. Mais voyons plutôt comment une nouvelle étude, publiée au début de cette année dans Science Express, pourrait infléchir la tendance consistant à penser que les exoplanètes habitables ne sont pas légion. Pour cela, une équipe de chercheurs a observé les exoplanètes qui orbitent autour de naines rouges ou oranges, c'est-à-dire de petites étoiles. Ils ont ensuite déduit que les planètes situées dans la zone habitable de ces étoiles - distance qui permet de supposer l'existence d'eau liquide - subissaient un verrouillage gravitationnel. En d'autres termes, qu'elles ne présentent toujours qu'une même face à leur étoile (comme la lune par rapport à la Terre) en tournant sur elles-même. Et auraient ainsi un côté surchauffé et un autre glacé. Et donc seraient inhabitables.

Mais d'autres calculs révèlent que ce n'est peut-être pas le cas. Et que la pression atmosphérique provoquant cette rotation entraîne un effet de friction qui fait que les exoplanètes ne subissent plus ce verrouillage gravitationnel. Et donc qu'elles connaissent bien, comme sur terre, une succession de jours et de nuits. Cette légère modification dans les paramètes et les calculs augmente considérablement le nombre potentiel d'exoplanètes habitables. Qui approcherait dès lors des 100 millions. Quant à savoir si elles abritent de la vie ou pas, c'est une autre affaire. Améliorer la puissance des télescopes terrestres ou spatiaux permettra peut-être d'y répondre. Quant à y aller voir, non non, n'y songez même pas. La probabilité que nous puissions communiquer avec d'autres civilisations, pour autant qu'elles existent, demeure même à peu près nulle. Affirmation à laquelle j'ai déjà consacré plusieurs billets ici-même et dont je reparlerai tôt ou tard.

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28/09/2015

Preuves d'eau sur Mars, la NASA nous mène en bateau

mars.jpgTout ça pour ça. Jeudi 24 septembre, la NASA mettait le monde entier en alerte - il paraît qu'on appelle ça créer le buzz - avec un message sibyllin mis en ligne sur son site. "Nous sommes sur le point d'annoncer la résolution d'une énigme martienne". Au final, c'est un coup dans... l'eau. De l'eau semblerait couler sur la surface de Mars sous forme de ruisseaux de saumure, claironnait lundi à peu près en ces termes John Grumsfeld, l'un de ses administrateurs. De l'eau liquide ou salée selon les dépêches et les médias qui relayent celles-ci. Championne dans l'usage du conditionnel et de certains verbes attributifs, la NASA ne fait que confirmer une news déjà relevée par des scientifiques en février 2014 et qui affirmait que les petites zébrures visibles sur l'image (ci-dessus), structures géologiques particulières (Recurring Slope Lineae, ou RSL), étaient formées grâce à de l'eau. En plus, la présence d'eau liquide sur la planète rouge ne prouve absolument pas qu'elle abrite de la vie. Donc une fois de plus, le recyclage de news éventées et en attente de preuves qui ne viennent jamais est bien le fonds de commerce de l'Administration nationale de l'aéronautique et de l'espace. Quant aux photos mystérieuses suscitant les théories les plus farfelues de la part des internautes, la NASA ne les commente en général que pour souligner qu'il s'agit de phénomènes naturels. Pour ce qui est de la communication, le progrès s'est arrêté en chemin.

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