26/10/2015

Que cache la conjecture de Legendre?

premiers entre 1 et 1049.gifS’agissant des nombres premiers, la méthode du crible d’Eratosthène (tableau ci-dessus), que je suppose connue du lecteur, reste encore l’une des plus efficaces pour déterminer leur apparition dans la suite des entiers. Le problème, c’est qu’elle est fastidieuse, donc sans portée lorsqu’on tend vers de très grands nombres. S’agissant des nombres premiers toujours, plusieurs conjectures demeurent aujourd’hui ouvertes. C’est le cas de la conjecture de Legendre (1752 – 1833), qui stipule qu’il existe un nombre premier, pour tout entier non nul n, entre n2 et (n+1)2. L’affaire a l’air simple comme bonjour, elle n’est toujours pas résolue à l’heure actuelle, même si quelques démonstrations non encore validées ont fleuri ici et là sur des forums. Une conjecture très proche, le postulat de Bertrand (1822 – 1900), affirme qu’entre un entier et son double existe toujours un nombre premier. Mais celle-ci fut démontrée, par Tchebychev (1821 – 1894) en 1852, puis plus simplement par Ramanujan (1887 – 1920) et par Paul Erdöss (1913 – 1996) au XXe siècle.

Revenons à la conjecture de Legendre. Supposons qu’elle soit vraie. Prenons alors un nombre premier de rang m, soit pm. En ce cas, n peut s’écrire [pm] + 1. On aurait donc (les calculs qui suivent sont aisés à effectuer et déduire) :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.57.37.png

Par suite, on voit que :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.58.22.pngEt en simplifiant :

Capture d’écran 2015-10-26 à 19.59.09.pngCe qui nous fait presque aboutir à un autre problème irrésolu, l’hypothèse de Riemann, laquelle implique, pour une constante C strictement plus grande que 0, que :

Capture d’écran 2015-10-26 à 20.00.45.pngEst-ce réellement surprenant ? Non, dans la mesure où l’hypothèse de Riemann apparaît souvent lorsqu’on étudie un peu le comportement des nombres premiers quand ceux-ci tendent vers l’infini. Et ce court billet n’est destiné qu’à rappeler les liens parfois très serrés qu’entretiennent des domaines mathématiques apparemment éloignés. Pour exemple, rêvons un instant en nous rappelant le cheminement sinueux emprunté par Andrew Wiles pour démontrer le dernier théorème de Fermat, déjà évoqué dans ce blog.

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22/10/2015

Découverte d'un astéroïde qui fonce sur nous : que doit-on craindre?

2015.jpegRepéré par la NASA le 10 octobre dernier (seulement!!!), un astéroïde, 2015 TB145 (probablement semblable à la vue d'artiste ci-dessus), fonce dans notre direction. Sa taille? Entre 300 et 450 mètres de diamètre, ce qui est plutôt grand. Sa vitesse? 35 km/s, ce qui est plutôt rapide, en tout cas davantage que les sondes que l'homme envoie dans le système solaire. Quels sont les risques de collision avec la Terre? Nulles, assure la NASA. Le corps céleste nous frôlera le 31 octobre prochain, juste pour Halloween - d'où un certain nombre de dépêches d'un goût aussi douteux que les conseils de beauté pour ados prépubères de Miss EnjoyPhoenix -, à une distance de 490 000 kilomètres. Ce qui est à la fois loin à notre échelle et tout près à l'échelle spatiale. En d'autres termes, on ne devrait même pas l'apercevoir et les raisons de paniquer devraient demeurer de purs fantasmes. Seul élément un poil inquiétant, la découverte tardive du caillou, et l'estimation de ses dimensions, qui varie allègrement selon les dépêches depuis un jour ou deux. Pour le reste, tout va bien. Ce n'est pas 2015 TB145 qui devrait provoquer l'extinction de la vie humaine sur notre globe.

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15/10/2015

A-t-on détecté une civilisation extraterrestre?

kepler.jpgLa nouvelle agite les réseaux sociaux depuis ce matin. Notre bien-aimé télescope spatial Kepler (vue d'artiste ci-dessus), qui a observé autour des 150 000 étoiles entre 2009 et 2013 afin de détecter la présence d'exoplanètes autour d'elles, s'est aussi braqué sur KIC 8462852, qui se trouve entre les constellations du Cygne et de la Lyre. Et il a "vu" quelque chose. KIC 8462852 est une étoile invisible à l'oeil nu qui se trouve à 1480 années lumière de la Terre, donc pas tout près - sa distance en kilomètres et le temps qu'il faudrait pour y aller sont incommensurables à notre petite échelle humaine. Et ce qu'a trouvé Kepler autour de KIC 8462852 suscite moult interrogations.

Rappelons ici que pour détecter la présence d'une exoplanète, l'observation de variations de lumière obstruant leur étoile peut suffire. C'est la méthode dite du transit. Des variations de lumière, et plus particulièrement des chutes dans ces variations, autour de KIC 8462852, Kepler en a enregistré deux en 2009, une autre en 2011 et plusieurs autres en 2013. Le problème, c'est que celles-ci ne correspondent pas à l'obstruction, même partielle, de l'étoile. Elles sont brutales, durables et totalement imprévisibles. Il s'agit donc de trouver une explication à la présence de ce qu'on peut supposer être une mégastructure autour de KIC 8462852. Car quelque chose s'interpose bel et bien entre l'étoile et nous. Mais quoi?

Pour l'instant, les causes dites naturelles s'effondrent les unes après les autres comme châteaux de cartes. Ces variations de lumière pourraient-elles être causées par des éclats provoqués par des collisions d'astéroïdes, le même type que ceux qui ont créé la lune? Impossible, les chocs ne sont pas suffisants pour créer de telles variations, affirment les scientifiques. Pourrait-il s'agir du passage d'une autre étoile traînant à sa suite une nuée de comètes? Coïncidence trop extraordinaire pour être crédible, assènent les mêmes. Un mouvement inopportun du télescope spatial ou l'enregistrement de données de piètre qualité pourraient-ils en être la cause? Nullement, tout a été vérifié et recontrôlé. Autres hypothèses, la présence d'un nuage de particules de carbones obstruant KIC 8462852, ou celle d'un disque de poussière similaire à ceux qu'on peut voir autour de jeunes étoiles. Mais dans les deux cas, ces poussières laisseraient des signatures détectables dans l'infra-rouge. Or il n'y en a aucune trace ici.

Restent alors les explications non-naturelles. Telle l'hypothèse que ces variations de luminosité soient provoquées par des mégastructures artificielles, par exemple un réseau de panneaux solaires géants capables de capter l'énergie de l'étoile, panneaux mis en orbite par une civilisation extraterrestre avancée. C'est un astronome de l'Université de Pennsylvanie, Joe Wright, qui a émis cette supposition en découvrant les courbes de luminosité enregistrées autour de KIC 8462852. Désormais, un groupe de scientifiques va se pencher sur l'affaire et pointer un radiotélescope géant en direction de cette étoile, afin de voir si en émanent des signaux radio artificiels, ce qui prouverait la présence d'une civilisation extraterrestre. Des éléments de réponse devraient être communiqués en janvier. A suivre de très près, cela va sans dire.

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