31/07/2015

Nix et Hydre font leur apparition autour de Pluton

nix-hydre.jpgDes photos floues valent toujours mieux que quelques pixels. Avant que New Horizons ne s'approche de Pluton et des lunes de la planète naine, les seules images que nous avions de tous ces objets célestes se réduisaient à des points. Et pendant que les sphères scientifiques continuent à s'interroger sur la géologie curieuse de Pluton et de ses inattendues montagnes de glace, nous parviennent des clichés de ses lunes. Après Charon, voici donc Nix et Hydre. La première, à gauche, fait 42 km de diamètre et a une forme allongée. Elle est rougeâtre et a semble-t-il un cratère à sa surface. La seconde, à droite, fait 55 km de diamètre. Sa forme est elle aussi allongée, et plusieurs cratères semblent également perler sur sa surface. En plus des trois satellites susmentionnés, Pluton en possède encore deux autres, Kerbéros et Styx, qui sont plus petits.

Et pendant que nous y sommes, si le ciel vous le permet, n'oubliez pas d'observer la lune ce vendredi 31 juillet aux alentours de 23 heures: elle sera "bleue"! Le phénomène de la "lune bleue", peu fréquent, n'est pourtant pas une affaire de coloration (encore qu'une couleur bleutée provoquée par des particules agissant comme des filtres autour de son atmosphère demeure possible), mais désigne le fait que deux pleines lunes se produisent au cours du même mois, en l'occurrence juillet 2015. La dernière remonte à août 2012.

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27/07/2015

Quels mystères se nichent sous la constante gamma?

gamma.jpgJ'ai déjà parlé dans mon blog de plusieurs nombres particuliers. La constante de Brun, mais bien sûr aussi Pi, e et i, qu'Euler relia dans son identité magique, sans oublier les nombres parfaits, les nombres intouchables, le nombre 2147483647, les nombres de Mersenne et quelques autres que vous pouvez retrouver en vous baladant dans la section mathématiques de mon blog. Aujourd'hui, je vais évoquer la constante gamma, plus connue sous le nom de constante d'Euler-Mascheroni (du nom des deux mathématiciens qui furent les premiers à identifier bon nombre de ses décimales). La voici, avec ses 100 premières décimales:


0,577215664901532860606512090082402431042159335939923598805767234884867726777 6646709369470632917467495

 

Pour la déterminer, il suffit d'abord de considérer une série connue sous le nom de série harmonique (représentation graphique ci-dessus) qui consiste à sommer les inverses des entiers naturels. La voici, exprimée sous sa forme usuelle de somme infinie:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.04.04.png

 

Il s'agit d'une série divergente, c'est-à-dire qui tend vers l'infini pour k très grand. Mais en revanche, sa divergence est extrêmement lente. Si on l'exprime graphiquement, on va très vite observer sa proximité avec une autre fonction, à savoir ln(x), ou logarithme naturel, comme le montre le graphique ci-dessous, sur lequel on voit clairement la similitude entre les deux courbes:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.11.56.png

L'idée est alors de calculer la différence entre les deux, la série harmonique et le logarithme naturel, et de voir ce vers quoi on tend. La formule est aisée à déduire:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.14.42.png

Ou, sous sa forme condensée:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.14.54.png

Mais vers quoi tend cette limite, figurée ci-dessus par la lettre grecque gamma? Justement vers cette constante gamma, qu'on peut approximer par le nombre 0,5772156649. Cela dit, le calcul est lent, et il faut aller jusqu'à de très grandes valeurs de k pour que les décimales se précisent. On ne sait toujours pas aujourd'hui si cette constante d'Euler-Mascheroni est un nombre rationnel ou pas, mais si elle l'était, son dénominateur posséderait plus de 242 080 chiffres. Le Suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) fut le premier à la calculer en 1781 avec quinze décimales, puis Lorenzo Mascheroni (1750 - 1800) parvint à en donner dix-neuf (décimales) en 1791. Aujourd'hui, on en connaît environ 30 milliards. Mais à quoi sert-elle, me direz-vous, du moins si vous êtes arrivés jusque là? La réponse pourrait prendre plusieurs billets de ce blog. Mais au-delà de son rôle par rapport à la célèbre fonction gamma, qui fera l'objet d'un billet ultérieur, on retrouve cette constante d'Euler-Mascheroni dans d'innombrables formules. Mon but n'est pas d'en faire la liste, très longue, mais juste de signaler l'étonnante égalité que voici:

 

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.34.09.png

Surprenante car elle met en relation notre constante gamma avec la célèbre fonction zêta de Riemann (piqûre de rappel ici), qu'on retrouve ci-dessus symbolisée par sa lettre grecque. Qu'est-ce que la fonction zêta vient faire ici? Quel incroyable mystère gouverne cet improbable rapprochement? Bien malins ceux qui pourront le dire.

 

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24/07/2015

Kepler-452b, une exoplanète inaccessible pour l'éternité

kepler.jpgSur cette vue d'artiste respectant les échelles, Kepler-452b figure en troisième position à partir de la gauche et la Terre en dernier. Ce qui donne une vague idée de la taille de l'exoplanète, quatre fois plus volumineuse que notre globe (son rayon fait 1,6 fois celui de la Terre). Au printemps 2015, une liste exhaustive des 1880 exoplanètes détectées avait été publiée. Pour celles repérées par le télescope Kepler depuis 2009, la liste s'arrêtait à l'exoplanète Kepler-447b. Kepler-452b n'y figurait pas encore. Et pour cause, les scientifiques n'arrêtant pas d'en détecter de nouvelles. Ce qui fait sensation avec Kepler-452b, détectée le 23 juillet, c'est sa ressemblance avec la Terre. Située dans une zone habitable de la Constellation du Cygne, sur la partie estivale de la Voie lactée (donc dans la même galaxie que la nôtre, pour être plus précis), elle est proche d'une étoile, comme nous du soleil, et en fait le tour en 385 jours, contre 365 pour nous. Est-elle rocheuse? On l'ignore. Y a-t-il de l'eau à sa surface? On ne le sait pas davantage. De quoi est composée son atmosphère? On ne peut pas le dire précisément. Est-elle habitable et la vie s'y est-elle développée, d'une quelconque manière? Mystère. Enfin, à quoi ressemble-t-elle? Là aussi, c'est impossible à dire.

Au centre de toutes ces conjectures et questions sans réponses, se pose bien sûr également la question de la distance. Et là, on sait. Kepler-452b se situe à 1400 années-lumière de nous (ou 13 millions de milliards de kilomètres). En d'autres termes, la lumière qui en émane mettrait 1400 ans pour nous parvenir. Si nous pouvions lui envoyer un signal porté par cette vitesse (soit environ 300 000 km/s), il mettrait lui aussi 1400 ans pour atteindre son but. En supposant que quelque chose, là-bas, le détecte, puis décide d'y répondre, sa réponse ne nous parviendrait que d'ici 2800 ans. Et ça, c'est le modèle super rapide. Supposons à présent que nous décidions d'y envoyer une sonde, ou un vaisseau peuplé, à une vitesse équivalente à celle de la sonde New Horizons (qui vient d'atteindre Pluton après neuf ans de voyage dans notre système solaire), qui comptait au lancement 60 000 km/h au compteur, un record à ce jour, il faudrait dans ce cas environ 25 millions d'années pour qu'il atteigne sa cible. Dois-je continuer?

Si la NASA et les autorités scientifiques sont en train de battre des records dans leur catalogage des exoplanètes - et il ne faut pas le minimiser, c'est un progrès colossal -, il serait aussi temps de trouver le ou les moyens de dompter ces distances infranchissables imposées par l'espace-temps dans notre univers. Et en supposant que d'autres civilisations, plus avancées, mille fois plus évoluées que la nôtre, soient parvenues à les dompter, comment se fait-il que nous n'en ayons toujours pas connaissance, que nous ne les voyions pas? Deux réponses sont en tout cas envisageables à cette question qui rappelle furieusement le paradoxe de Fermi, auquel j'avais consacré un billet l'an dernier (lire ici): peut-être parce que nous sommes seuls, dans notre galaxie, voire dans tout l'univers (hypothèse hautement improbable); ou peut-être parce qu'il n'y a pas moyen, justement, de contourner les limites que nous impose l'espace-temps et de dépasser la vitesse de la lumière. En attendant, scrutons le ciel et écoutons les étoiles.

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