03/08/2015

Une exoplanète tellurique "proche" de la Terre

exoplanete.jpgCelle-ci est tellurique mais probablement pas habitable. HD 219134b est même l'exoplanète tellurique la plus proche de la Terre jamais observée par un télescope spatial de la NASA. Elle se situe dans la constellation de Cassiopée, à seulement 21 années-lumière de nous. Un "seulement" très relatif. Je vous fais grâce des calculs, mais à hauteur de vaisseau spatial, il faudrait tout de même des années par milliers pour y aller. Elle orbite cependant trop près de son étoile, et en fait le tour en trois jours, ce qui rend les conditions d'habitabilité sur place à peu près nulles. Mais comme elle passe régulièrement entre son étoile et la Terre, elle occasionne de mini-éclipses (phénomène dit de transit) qui facilitent son observation et son analyse, que seules les données permettent de déduire. Je précise que comme la plupart des exoplanètes, HD 219134b n'est pas directement observable et la photo ci-dessus n'est qu'une vue d'artiste. Donc ces mini-éclipses permettront de l'étudier et d'y collecter d'autres informations. Dans la chasse aux exoplanètes, rappelons enfin que la plus proche de la Terre décelée jusqu'alors s'appelle GJ674b. Elle se trouve à 14,8 années-lumière de nous. Sa composition est totalement inconnue.

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31/07/2015

Nix et Hydre font leur apparition autour de Pluton

nix-hydre.jpgDes photos floues valent toujours mieux que quelques pixels. Avant que New Horizons ne s'approche de Pluton et des lunes de la planète naine, les seules images que nous avions de tous ces objets célestes se réduisaient à des points. Et pendant que les sphères scientifiques continuent à s'interroger sur la géologie curieuse de Pluton et de ses inattendues montagnes de glace, nous parviennent des clichés de ses lunes. Après Charon, voici donc Nix et Hydre. La première, à gauche, fait 42 km de diamètre et a une forme allongée. Elle est rougeâtre et a semble-t-il un cratère à sa surface. La seconde, à droite, fait 55 km de diamètre. Sa forme est elle aussi allongée, et plusieurs cratères semblent également perler sur sa surface. En plus des trois satellites susmentionnés, Pluton en possède encore deux autres, Kerbéros et Styx, qui sont plus petits.

Et pendant que nous y sommes, si le ciel vous le permet, n'oubliez pas d'observer la lune ce vendredi 31 juillet aux alentours de 23 heures: elle sera "bleue"! Le phénomène de la "lune bleue", peu fréquent, n'est pourtant pas une affaire de coloration (encore qu'une couleur bleutée provoquée par des particules agissant comme des filtres autour de son atmosphère demeure possible), mais désigne le fait que deux pleines lunes se produisent au cours du même mois, en l'occurrence juillet 2015. La dernière remonte à août 2012.

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27/07/2015

Quels mystères se nichent sous la constante gamma?

gamma.jpgJ'ai déjà parlé dans mon blog de plusieurs nombres particuliers. La constante de Brun, mais bien sûr aussi Pi, e et i, qu'Euler relia dans son identité magique, sans oublier les nombres parfaits, les nombres intouchables, le nombre 2147483647, les nombres de Mersenne et quelques autres que vous pouvez retrouver en vous baladant dans la section mathématiques de mon blog. Aujourd'hui, je vais évoquer la constante gamma, plus connue sous le nom de constante d'Euler-Mascheroni (du nom des deux mathématiciens qui furent les premiers à identifier bon nombre de ses décimales). La voici, avec ses 100 premières décimales:


0,577215664901532860606512090082402431042159335939923598805767234884867726777 6646709369470632917467495

 

Pour la déterminer, il suffit d'abord de considérer une série connue sous le nom de série harmonique (représentation graphique ci-dessus) qui consiste à sommer les inverses des entiers naturels. La voici, exprimée sous sa forme usuelle de somme infinie:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.04.04.png

 

Il s'agit d'une série divergente, c'est-à-dire qui tend vers l'infini pour k très grand. Mais en revanche, sa divergence est extrêmement lente. Si on l'exprime graphiquement, on va très vite observer sa proximité avec une autre fonction, à savoir ln(x), ou logarithme naturel, comme le montre le graphique ci-dessous, sur lequel on voit clairement la similitude entre les deux courbes:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.11.56.png

L'idée est alors de calculer la différence entre les deux, la série harmonique et le logarithme naturel, et de voir ce vers quoi on tend. La formule est aisée à déduire:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.14.42.png

Ou, sous sa forme condensée:

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.14.54.png

Mais vers quoi tend cette limite, figurée ci-dessus par la lettre grecque gamma? Justement vers cette constante gamma, qu'on peut approximer par le nombre 0,5772156649. Cela dit, le calcul est lent, et il faut aller jusqu'à de très grandes valeurs de k pour que les décimales se précisent. On ne sait toujours pas aujourd'hui si cette constante d'Euler-Mascheroni est un nombre rationnel ou pas, mais si elle l'était, son dénominateur posséderait plus de 242 080 chiffres. Le Suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) fut le premier à la calculer en 1781 avec quinze décimales, puis Lorenzo Mascheroni (1750 - 1800) parvint à en donner dix-neuf (décimales) en 1791. Aujourd'hui, on en connaît environ 30 milliards. Mais à quoi sert-elle, me direz-vous, du moins si vous êtes arrivés jusque là? La réponse pourrait prendre plusieurs billets de ce blog. Mais au-delà de son rôle par rapport à la célèbre fonction gamma, qui fera l'objet d'un billet ultérieur, on retrouve cette constante d'Euler-Mascheroni dans d'innombrables formules. Mon but n'est pas d'en faire la liste, très longue, mais juste de signaler l'étonnante égalité que voici:

 

Capture d’écran 2015-07-27 à 19.34.09.png

Surprenante car elle met en relation notre constante gamma avec la célèbre fonction zêta de Riemann (piqûre de rappel ici), qu'on retrouve ci-dessus symbolisée par sa lettre grecque. Qu'est-ce que la fonction zêta vient faire ici? Quel incroyable mystère gouverne cet improbable rapprochement? Bien malins ceux qui pourront le dire.

 

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