21/01/2018

Voici un compte Twitter dédié aux nombres premiers qui défie l’éternité

prime.jpgSavez-vous qu’il existe un compte Twitter donnant la suite de tous les nombres premiers? Jusque là rien de très surprenant, on trouve des comptes pour tout, Instagram d’animaux domestiques ou fake de stars décédées dans les années 30. "Prime Numbers" a été créé en septembre 2013, il compte un seul abonné (probablement celui qui se cache derrière son algorithme) et un peu moins de 10 000 followers, ce qui n’est pas énorme. Son principe ? Il publie chaque heure, tous les jours de l’année, un nouveau nombre premier consécutif au précédent. Historiquement, son premier tweet a donc dû être "2". J’ignore s’il a tweeté quelque présentation avant. Sur son profil, cette sentence : «Every prime number, eventually. (Or the heat death of the universe; whichever happens first.)», manière de défier l’éternité. Sauf que le vertige survient bien avant qu’on aborde, même de loin, les notions d’infini. 

Attardons-nous sur le nombre de tweets publiés. Sachant sa régularité métronomique, on déduit aisément que "Prime Numbers" publie 8766 tweets ((24 x 365) + 6) par année, nombre obtenu en multipliant les 24 heures d’une journée par les 365 jours de l’année, résultat auquel il faut ajouter 6 (heures), valeur de la correction induite par une année bissextile tous les quatre ans. En ce moment, la liste des premiers se situe entre les nombres 440 000 et 450 000, soit des premiers à six chiffres. On peut supposer que la progression est assez rapide et qu’à ce rythme, on verra bientôt défiler des premiers de plusieurs millions ou milliards. C’est faux. Cette progression – de 24 nombres par jour – est au contraire extrêmement lente. Au point qu’il faudra attendre environ huit ans pour voir défiler les premiers nombres premiers à sept chiffres (soit supérieurs à un million), 75 ans pour ceux à huit chiffres, et autour des 657 ans pour les premiers composés d’au moins neuf chiffres. Et ce n’est là que le début de la liste. Je ne vous laisse même pas imaginer le nombre de siècles nécessaires pour épuiser les 280 caractères des tweets actuels avec des premiers à 280 chiffres. Quant aux premiers de Mersenne, de Fermat ou de Sophie Germain, je n’en parlerai même pas ici.

Pour en avoir le cœur net, il suffit d’opérer un bref détour du côté de la fonction de compte des nombres premiers. On sait que le nombre de nombres premiers inférieur à un nombre x, ou π(x), est donné par une approximation faisant intervenir la fonction de logarithme népérien. La formule est célèbre. Là voici.

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Conjecturée par Gauss et Legendre, elle a été démontrée par Hadamard et La Vallée-Poussin à la fin du XIXe siècle et constitue aujourd’hui le théorème des nombres premiers. Il est donc relativement aisé, depuis, de calculer le nombre de premiers à telle ou telle échelle des entiers naturels, et pour le billet qui m’occupe aujourd’hui, les calculs ne sont bien sûr pas tenus d’être exacts à tout prix. Car les perspectives vertigineuses que présente un compte Twitter défiant ainsi l’éternité, sans aller jusqu’à disserter sur l’infinitude des premiers, ne vont pas sans un certain malaise. Cela étant, certains d’entre vous se diront peut-être qu’il suffirait juste d’accélérer la publication des posts, de tweeter non pas un nombre par heure, mais un par seconde. Certes. En ce cas, il suffit de refaire tous les calculs avec un nombre plus grand, résultante de 8766 x 3600 (secondes). Ce qui reviendrait à différer puis accélérer légèrement l’apparition des grands nombres, mais c’est tout. Car là, aussi, pour aller jusqu’aux grands premiers de Mersenne, l’existence de la terre n’y suffirait pas.

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22/02/2017

La NASA annonce une découverte majeure

nasa2202.jpgComme souvent avec la NASA, l’effet d’annonce est spectaculaire. Il y a 24 heures, l’agence promettait la révélation d’une découverte majeure lors d’une conférence de presse tenue aujourd’hui. Premières traces de vie ? Contacts du second ou troisième type ? Pas encore. Il s’agit cette fois de la découverte – grâce à la méthode usuelle des transits (baisses de luminosité d’une étoile lorsqu’un objet de type exoplanète passe devant elle) - d’un système abritant sept planètes, plus ou moins toutes de la taille de la Terre, orbitant autour d’une étoile naine nommée TRAPPIST-1. Ces sept exoplanètes ont également une taille très proche, ce qui peut sembler inhabituel. Trois d’entre elles pourraient abriter des océans liquides, ce qui les rapprocheraient encore plus des conditions terrestres, favorables à l’éclosion de la vie.

En d’autres termes, ce système est une cible idéale pour rechercher d’éventuelles traces de vie ailleurs. «Le Graal pour les astronomes», selon la très sérieuse ESO. «Une des plus grandes découvertes dans le domaine des planètes extrasolaires», d’après Didier Queloz, de l’Université de Genève, par ailleurs coauteur de l’étude publiée dans Nature révélant cette annonce de taille. Quant à la distance entre notre globe et l'étoile naine, elle est de 40 années lumière seulement. Très peu, certes, mais tout de même trop loin pour espérer une exploration physique dans un avenir proche ou lointain (faites le calcul, les puissances de dix ne vous décevront pas). Grâce au télescope spatial que lancera la NASA en 2018, le James Webb, les investigations pourront être plus poussées. Avec à la clé d’autres découvertes sans doute tout aussi majeures.

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05/02/2017

Tous les nombres entiers ont-ils un «premier-maison» ?

maison.jpgCertes, ce n’est pas la conjecture la plus essentielle de la recherche en mathématiques, et elle est même tenue pour un problème destiné aux amateurs, mais elle a l’avantage de la clarté. En d’autres termes, elle est aussi aisée à comprendre qu’à expliquer. Qu’est-ce qu’un «premier-maison» et comment l’obtient-on ? Noté HP(n), - pour «home prime», bien sûr -, il s’obtient en plusieurs étapes. Il faut d’abord décomposer le nombre composé n en produit de facteurs premiers, et cela sans utiliser les puissances, quitte donc à répéter plusieurs fois les mêmes facteurs. On construit dès lors un second nombre en concaténant, c’est-à-dire en mettant bout à bout, tous les premiers obtenus par cette factorisation. Puis on répète ce processus jusqu’à ce qu’on tombe sur un nombre premier. Celui-ci est alors appelé HP(n). Voici un exemple avec le nombre 10.

10 = 2 x 5

25 = 5 x 5

55 = 5 x 11

511 = 7 x 73

773 est premier

Donc HP(10) = 773

Si n est premier, le résultat est bien sûr HP(n) = n. La chose semble élémentaire, et pourtant, elle reste à l’état de conjecture. Tout simplement parce que l’existence d’un «premier-maison» n’est pas avérée pour tous les nombres composés inférieurs à 1000 (et encore moins pour les autres). Ainsi, après plus de cent itérations, le processus pour HP(49) n’est pas terminé et on obtient même des facteurs premiers gigantesques de près de 200 chiffres. Il va sans dire que HP(49) = HP(77) = HP(711), et ainsi de suite. On conjecture donc que pour tout nombre composé, il existe un «premier-maison», et que l’algorithme brièvement décrit ci-dessus se termine toujours. Jusqu’à preuve du contraire (un seul contre-exemple suffirait). Cette conjecture étant considérée comme mineure, on en trouve peu de traces sur internet et encore moins dans les revues spécialisées.

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