14/06/2015

Pourquoi certains théorèmes sont-ils hors de notre portée?

 

Bibliotheque.jpgVoyez ces magnifiques rayonnages de livres qui s’alignent. Ils ne suffiraient même pas à contenir certaines démonstrations mathématiques particulièrement longues et complexes. Ni même les décimales de Pi. En octobre 2014, on en a ainsi identifié 13 000 milliards pour ce nombre transcendant. Un record ! Mais pour les contenir toutes, il faudrait environ 6 millions de volumes de mille pages chacun. Légèrement décourageant, on va dire. Sont-elles alors stockables sur le net ? Oui, mais je vous laisse imaginer le nombre d’octets nécessaires à cela.

Venons-en à présent au cas du «théorème géant», ainsi dénommé parce que la taille de sa démonstration défie nos capacités cognitives. En théorie des groupes, il désigne la démonstration du théorème de classification des groupes finis simples. En 1980, celle-ci a été considérée comme achevée. Petit problème : elle tient sur environ 15 000 pages (soit une quinzaine d’ouvrages de mille pages chacun) et se trouve dispersée dans 500 articles rédigés par une centaine de chercheurs. Dispersée dans des revues poussiéreuses, enfouie dans des collections inaccessibles, donc quelque part menacée par l’oubli, puisque seule une frange étroite de chercheurs peut en disposer, y compris sur internet. Et cela sans parler de sa fragilité. Quel mathématicien a pu la lire entièrement ? Qu’est-ce qui garantit, au fond, qu’elle ne contient aucune erreur ?

Dans cette optique, une démonstration de seconde génération, plus simple, a été entreprise depuis par plusieurs mathématiciens. Bonheur, elle ne s’étale que sur 5 000 pages et une douzaine de volumes, dont la moitié a déjà été publiée. Oui, mais c’est encore trop, et la communauté envisage désormais une démonstration de troisième génération qui tiendrait idéalement sur mille pages.

Pour arriver à leurs fins, les mathématiciens disposent aujourd’hui sur le net de plateformes collaboratives, telle polymathprojects.org, qui leur permettent d’avancer notablement sur certains problèmes irrésolus. Le projet 8 de cette plateforme étudie par exemple les écarts entre premiers consécutifs, et par ce biais, on a pu faire un pas de géant vers la démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux (j’en ai déjà parlé dans plusieurs billets que je vous laisse redécouvrir si le cœur vous en dit). Avec un peu de chance, le théorème géant dont je parlais plus haut sera donc un jour à peu près accessible à tout le monde. Réjouissant, non ? Certes, mais il y a encore pire.

A savoir le célèbre problème de la «Discrepancy», soulevé en 1930 par le grand mathématicien hongrois Paul Erdös (1913 – 1996) et qui concerne, pour faire simple, les sous-suites d’«indice arithmétique» en théorie combinatoire des nombres. Je vous fais grâce de son énoncé (mais y reviendrai dans un prochain billet) pour ne parler que de la taille de sa preuve dans le cas K = 2. On note en effet généralement Discrep(K) la conjecture correspondant à l’entier K. Et si Discrep(1) est relativement aisée à résoudre, Discrep(2) est en revanche restée irrésolue durant 80 ans.

Sa démonstration, établie il y a peu par un ordinateur et par le travail de deux chercheurs de l’Université de Liverpool (Boris Konev et Alexei Lisitsa) via le projet Polymath, couvre 13 giga-octets ou gigabytes (soit autant que tout Wikipédia), ou, en termes d’impression, 13 000 ouvrages de 1000 pages chacun. Je n’ose imaginer ce qu’il en serait pour le cas Discrep(K) ! On s’évertue aujourd’hui à la simplifier. Ce n’est pas pour demain, ai-je envie d’ajouter.

 

18:48 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |

12/06/2015

Réchauffement climatique: faut-il craindre le pire?

nasa.jpgLa NASA vient de mettre en ligne une base de données de simulations climatiques afin d'illustrer différents scénarios possibles concernant le réchauffement de la planète d'ici 80 ans environ. Les modèles présentés imaginent en effet deux futurs différents. Dans l'un, l'émission des gaz à effet de serre sera en augmentation selon les prévisions actuelles. Dans l'autre en diminution. La carte qu'on peut voir ci-dessus est donc une vue de la Terre en 2100 selon le premier modèle, l'augmentation de l'émission de ces gaz. Les zones les plus chaudes sont ici les plus rougeoyantes. Le spectre descend ensuite (jaune, vert, bleu), couvrant la totalité du globe. Le site de la NASA a ainsi publié vingt et une infographies. Et les données sont très précises, puisqu'elles permettent des projections à l'échelle de plusieurs villes. Ce scénario n'est pas le plus rassurant. Les zones les plus élevées (telle en Afrique) avoisineront les 50 degrés et l'Europe (France, Suisse) entre 25 et 30 degrés. Ne paniquons pas pour autant: ces données sont avant tout destinées aux scientifiques, afin de venir en aide aux pays en voie de développement, et rien ne dit que le pire des scénarios survienne.

02:04 Publié dans Physique du globe, Sciences | Lien permanent | Commentaires (4) | |  Facebook | | | |

09/06/2015

Le mystère des lunes de Pluton

pluton.jpgVoici les cinq lunes de Pluton en orbite autour de cette dernière. La cinquième, P5, n'a été découverte qu'en 2012. Il y a quelques jours, des chercheurs du Maryland, observant des photos prises par Hubble entre 2005 et 2012, ont conclu que ces lunes possédaient des mouvements rotatoires chaotiques. Les orbites de Styx, Nix, Kerberos et Hydra, lunes dont le diamètre n'excède pas une dizaine de kilomètres, ont ainsi pu être identifiées. Ces petits objets célestes gravitent bel et bien autour de la planète naine (Pluton n'est en effet plus considérée comme une planète), mais également autour de Charon, sa plus grosse lune. Pluton et Charon forment un système planétaire binaire. Mais Nix et Hydra ont des orbites chaotiques et semblent se mouvoir autour de leur propre axe, indifféremment selon le côté faisant face à la masse centrale. En d'autres termes, leur vitesse, leur sens de rotation et l'emplacement de leurs pôles peuvent changer à tout instant. Ce qui pourrait dépendre du champ gravitationnel entre Pluton et Charon et expliquerait la forme inhabituelle de ces petits corps (photo ci-dessous), similaire à celle d'un ballon de rugby. Autant de conclusions émises sur la base des variations des temps de luminosité de Nix et Hydra. Preuve que les mystères, même au sein du système solaire, demeurent de toute nature.

pluton2_nasa.jpg

20:16 Publié dans Astrophysique, Sciences | Lien permanent | Commentaires (6) | |  Facebook | | | |