26/04/2015

Que nous révèlent les nombres de Mersenne?

 

nombre-premier.jpgCe timbre émis en 2004 au Liechtenstein met en vedette, en surimpression sur un motif de spirale, un très grand nombre, 213466917 – 1. Découvert en 2001, ce nombre de plus de 4 millions de chiffres est premier. Il s’agissait même alors du plus grand nombre premier jamais trouvé. Un record pourtant régulièrement battu depuis. Attardons-nous néanmoins sur ce nombre 213466917 – 1. En effet, ce n’est pas un premier comme les autres. Il s’agit d’un nombre premier de Mersenne, autrement dit un premier de la forme 2p – 1 avec p également premier. Marin Mersenne (1588 – 1648) mersenne.jpgétait un religieux français qui faisait partie de l’ordre des Minimes. Féru de philosophie et de mathématiques, il s’intéressa plus particulièrement à quatre nombres premiers connus depuis l’Antiquité et mentionnés par Euclide. Soit 3, 7, 31 et 127. Tous peuvent s’écrire sous la forme 2p – 1.

3 = 22 – 1

7 = 23 –1

31 = 25 – 1

127 = 27 – 1

On remarque tout de suite que leurs exposants donnent la liste des quatre premiers nombres premiers (2, 3, 5 et 7). Fort de cette observation, Mersenne en proposa d’autres et en fournit une liste jusqu’à l’exposant 257. Malheureusement, cette liste était fausse, car elle incluait des exposants comme 67 et 257 pour lesquels le résultat n’était pas premier. Et il en omettait par ailleurs trois avec les exposants 61, 89 et 107. Voici la liste des 20 premiers nombres de Mersenne, certains premiers, d’autres pas. On remarque très vite que si p n’est pas premier, alors 2p – 1 ne l’est pas non plus, ce qui a évidemment été démontré depuis.

Capture d’écran 2015-04-26 à 17.22.45.png

 

La sous-suite des nombres de Mersenne premiers est généralement notée M1, M2, M3,… MN. Afin de mieux comprendre, voici la notation des quatre premiers que nous avons rencontrés avant.

Capture d’écran 2015-04-26 à 17.25.39.pngContrairement à ce qu’on pourrait supposer, les premiers de Mersenne ne sont pas légion. Jusqu’en 1952, on n’en connaissait que douze. Six autres ont été découverts grâce à l’avènement des calculateurs électroniques. Et depuis, trente autres premiers de Mersenne ont surgi de l’infini, si j’ose dire. A noter qu’ils n’ont pas toujours été trouvés par ordre croissant. Voici la liste de tous les Mersenne premiers découverts jusqu’en février 2013, avec les noms de leurs découvreurs à droite du tableau.

Capture d’écran 2015-04-26 à 17.37.25.pngLe plus grand est donc M48 (soit M57885161). Y en a-t-il avant lui qui auraient été omis dans la liste et viendraient se glisser entre deux Mersenne premiers identifiés ? C'est tout à fait possible. Y en a-t-il d’autres au-delà de M48 ? On le suppose. Les nombres de Mersenne ont leur importance en théorie des nombres et chacun d’entre eux engendre un nombre dit parfait (soit un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres), sujet sur lequel j’avais écrit un précédent billet (lire ici). Et ils possèdent évidemment d’autres propriétés sur lesquelles je reviendrai une autre fois.

 

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22/04/2015

Webb, retour vers le futur immédiat

webb.jpgIl a fallu plus de mille personnes pour le construire. En voici une partie sur cette image. Lui, c'est Webb - du nom de son créateur, James Webb -, le télescope spatial qui va succéder à Hubble, lequel fêtera ses 25 ans le 24 avril. Webb entrera en fonction dès 2018. Il sera placé (pourquoi ai-je envie d'écrire arrimé?) à 1,5 millions de kilomètres de la terre, à un endroit de l'espace très stable, dans la direction opposée au soleil. Et surtout, il pourra voir loin. Et quand on dit loin à propos d'observation spatiale, on entend également loin dans le temps. Soit à environ 300 millions d'années après le Big Bang (dont le modèle est fortement remis en question ces derniers temps, mais là n'est pas le sujet de ce billet), époque de l'apparition des premières galaxies et des étoiles qui les composent. Voici un petit schéma qui vous aidera à comprendre.

cosmos.jpgWebb est en effet cent fois plus puissant que Hubble et sera capable de capter 70% de lumière supplémentaire. Et son grand avantage, c'est qu'il pourra également observer dans l'infrarouge, donc à travers les nuages de gaz et de poussières cosmiques. Il sera en tout cas suffisamment puissant pour éventuellement détecter des bio-signatures dans l'atmosphère de certaines exoplanètes, qui nous permettront peut-être de savoir où il y a de la vie (j'évite d'écrire si, car pour moi, c'est une évidence). Voici la comparaison par l'image des miroirs de Hubble et Webb. Il n'y a pas photo.

hubble2.jpg

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19/04/2015

L'hypothèse de Riemann sera-t-elle un jour démontrée?

riemann.jpgA l’instar de l’identité d’Euler ou de la formule d'Einstein, elle est suffisamment connue pour apparaître sur des tee-shirts comme ci-dessus. L’hypothèse de Riemann, assimilable à la quête du Graal pour une large part de la communauté mathématique, rapportera un million de dollars à celui ou celle qui la démontrera, puisqu’elle fait partie de la liste des problèmes du prix du millénaire de l’Institut Clay. Elle en est même le premier (problème). Ceux qui ont pu voir le dernier Godard, Adieu au langage, à l’affiche depuis quelques jours, ont peut-être vu que le film fait allusion, de manière très poétique et métaphorique, à l’hypothèse de Riemann. Mais de quoi s’agit-il ?

Formulée en 1859 par Bernhard Riemann (1826 – 1866), l’hypothèse affirme que la partie réelle des zéros non triviaux de la fonction zêta vaut toujours ½. Ce qui ne va guère avancer les néophytes, je le concède. Il y a environ deux mois, j’avais consacré un billet à la fonction zêta de Riemann (qu’on peut consulter ici, ce qui ne sera pas forcément inutile pour comprendre la suite). Il s’agit donc d’une somme infinie – laquelle prolonge une somme de Dirichlet pour les plus courageux – de puissances en nombres complexes dont la partie réelle est strictement supérieure à 1. En voici une formulation très simple dans laquelle les z désignent des nombres complexes (de la forme a + bi avec a,b réels et i racine carrée de – 1):

Capture d’écran 2015-04-19 à 17.40.59.png

L’hypothèse de Riemann porte sur les zéros de cette fonction, c’est-à-dire les valeurs pour lesquelles cette fonction s’annule. On peut observer rapidement que la fonction s’annule pour tout entier pair négatif (-2, - 4, - 6, etc). On les appelle des zéros triviaux, car leur calcul est relativement aisé. Mais la fonction zêta s’annule-t-elle pour d’autres valeurs que celles-ci ? La réponse est oui et il semble même que tous les nombres de la forme ½ + ia, avec a réel, satisfassent cette égalité. Mieux, ils seraient les seuls nombres la vérifiant et il n’y en aurait pas d’autres. Tous ces zéros semblent donc s’aligner sur la droite des réels ½. Mais en quoi est-ce révolutionnaire, me direz-vous (du moins si vous avez suivi jusque là) ? Eh bien simplement parce que la fonction zêta est intimement liée aux nombres premiers (il faudrait ici également évoquer les travaux du Russe Tchebychev, mais cela alourdirait considérablement un billet qui se veut synthétique), comme le rappelle ci-dessous son analogie avec le produit eulérien:

Capture d’écran 2015-04-19 à 17.56.06.pngEn d’autres termes, les zéros de la fonction zêta contrôleraient la répartition des nombres premiers. Et si elle était vraie, cette répartition suivrait la fonction Li(x), qui est la fonction logarithme intégral, laquelle en donne une meilleure approximation que x/ln(x), qui est quant à elle la fonction de compte des nombres premiers (pour davantage de précisions, jeter un œil à ce billet).

Pour faire encore plus simple, l'hypothèse de Riemann, si elle était vraie, ôterait un peu de hasard à la répartition des premiers en montrant une certaine régularité dans leur apparition. Sera-t-elle un jour démontrée ? Selon l’état des recherches depuis une vingtaine d’années (j’y reviendrai une prochaine fois), ce jour ne devrait pas être si loin. En 2004, le nombre de zéros non triviaux satisfaisant l’hypothèse était déjà supérieur à 1013. Plusieurs preuves de l’hypothèse de Riemann sont régulièrement proposées sur le net (souvent par des mathématiciens en marge des systèmes universitaires), tout comme des preuves de sa fausseté. Aucune d’entre elles n’a à ce jour reçu l’aval de la communauté mathématique.

 

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