12/04/2015

Des deux conjectures de Hardy-Littlewood, laquelle est fausse?

 

hardy.jpgCes deux graphiques colorés, séduisants mais complexes, illustrent la seconde conjecture de Hardy-Littlewood, ainsi nommée d’après le patronyme de ses deux découvreurs au début du XXe siècle. Il existe en réalité deux conjectures de Hardy-Littlewood. Mais si la première est vraie, l’autre pas. Paradoxe ? Pas tant que ça, même si le problème demeure aujourd’hui ouvert. Je vais tenter de le résumer brièvement dans ce nouveau billet.

Il en va en effet des conjectures mathématiques comme de tout. Pour prouver leur véracité, il faut démontrer qu’elles sont valables (vraies) pour n’importe quel élément jusqu’à l’infini. En revanche, un seul contre-exemple peut suffire à prouver leur fausseté. Il y a des cas demeurés célèbres de conjectures ou hypothèses qui étaient finalement fausses, mais ce sera le sujet d’un prochain billet. Il y a également des cas où elles sont indécidables, telle l’hypothèse du continu de Georg Cantor (lire ici).

Mais revenons à Hardy et Littlewood. Leurs conjectures concernent les nombres premiers. La première n’est pas aisée à expliquer et son cas particulier, qui rejoint la conjecture des nombres premiers jumeaux, va permettre de préparer le terrain. Dans ce cas particulier, si on prend le couple (0, 2), on conjecture qu’il existe une infinité de p tels que (p, p+2) soient premiers. Généralisons cela à (0, K). On suppose dès lors que pour toute valeur de K paire, la conjecture est vraie. Mais aucune de ces conjectures n’est démontrée à l’heure actuelle, sauf pour le cas K = 70 millions, démontré par Yitang Zhang en 2013 (lire ici).

Continuons le raisonnement au-delà des jumeaux, et considérons des triplés comme (0, 2, 6). On peut alors aussi conjecturer qu’il existe une infinité de p tels que (p, p + 2, p + 6) soient premiers. Sur ces bases, on peut encore généraliser avec n’importe quelle suite croissante de K nombres, suite désignée sous l’appellation de K-uplet et qu’on peut ainsi noter (0, a2, a3, … , ak).

Peut-on cette fois conjecturer qu’il existe une infinité de p tels que (p, p + a2, p + a3, … , p  + ak) soient tous premiers ? Peut-être, mais n’allons pas trop vite. Car d’évidence, certains K-uplets ne sont pas admissibles (exemple basique avec le triplet (0, 2, 4)). (Pour qu’un K-uplet soit admissible, il faut en fait que pour tout p, il ne contienne pas les restes possibles modulo p.) Le dernier terme du K-uplet, qui est également son plus grand nombre, est appelé son diamètre. Ceux avec les plus petits diamètres s’avèrent les plus intéressants. Et on nomme constellation un K-uplet admissible de diamètre minimal. Tout cela me permet enfin d’énoncer la première conjecture de Hardy-Littlewood : pour toute constellation (0, a2, a3, … , ak), il existe une infinité de nombres p tels que (p, p + a2, p +  a3, … , p  + ak) soient tous premiers.  Et la répartition des nombres p pour lesquels la conjecture marche suit une progression asymptotique. A titre purement indicatif, en voici la formulation :

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avec

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La seconde conjecture de Hardy-Littlewood est nettement plus aisée à comprendre. Considérons un nombre N pris au hasard. La conjecture stipule que si on compte les nombres premiers apparaissant entre 0 et N, il y en aura toujours plus que dans n’importe quel intervalle de longueur N. Elle peut également s’écrire de manière plus formelle - avec l’expression ∏(N), qui désigne la quantité de premiers entre 0 et N – ainsi :

Capture d’écran 2015-04-12 à 19.03.39.pnget cela pour tout M et N supérieurs à 2.

Mais pour bon nombre de mathématiciens, cette conjecture est fausse. Et ils ont sans doute raison. Car si la première conjecture de Hardy-Littlewood était vraie, elle fournirait des contre-exemples à la seconde, qui serait alors fausse, comme l'a démontré de manière extrêmement complexe le mathématicien Ian Richards en 1974. Et pour trouver ces contre-exemples, il faudrait aller chercher entre 10174 et 101197. Bonne chance !

 

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10/04/2015

Des signes de vie extraterrestre bientôt découverts?

systme-solaire.jpgLa NASA l'a affirmé jeudi, on devrait avoir des signes d'existences extraterrestres dans la prochaine décennie et une preuve formelle de leur existence dans les dix à vingt prochaines années. Cet optimisme se base sur l'état des recherches et un bilan récent dressé par l'équipe en charge du téléscope Kepler. On commence en effet à bien connaître le système solaire (ci-dessus, image de toutes les planètes qui en font partie), mais aussi ce qu'il y a "plus loin". Dans la voie lactée, il y aurait ainsi plusieurs milliards d'exoplanètes pouvant potentiellement contenir de l'eau liquide et donc pour certaines être habitables. Et désormais, la NASA sait dans quelle direction chercher et possède la technologie pour le faire. Donc l'étape de la découverte de vie ailleurs que sur terre n'est plus qu'une question de temps.

Reste à savoir comment la NASA, d'ordinaire si sceptique et frileuse, gérera informations et données qu'elle enregistrera, quitte parfois à s'abstenir de toute explication à propos de certaines bizarreries observées qui font le bonheur des sites ufologues ou apparentés. A titre d'exemple, voici une vidéo datant d'octobre 2014 sur laquelle apparaît une forme étrange lors d'une sortie des astronautes de la Station Spatiale Internationale. Vaisseau extraterrestre ou éclat de lumière? Certaines certitudes sont déprimantes.


Un OVNI repéré sur une vidéo des astronautes de l'ISS par Gentside Découverte

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06/04/2015

Sursauts radios venus de l'espace: le mystère demeure

verseau.jpgVoici la constellation du Verseau. En 2014, un mystérieux sursaut radio rapide - ou FRB pour "fast radio burst" - a été capté en direct par l'observatoire de Parkes dans cette constellation. J'avais consacré un billet (consultable ici) à cet événement dans mon blog. Quelle est l'origine de ce signal? Mystère. Mais depuis 2007, des sursauts identiques ont déjà été relevés. Le magazine américain The New Scientist revient sur l'affaire dans son dernier numéro en se demandant si ces sursauts radio, qui durent moins de 5 millisecondes et dégagent autant d'énergie que le soleil en un mois, sont causés par des pulsars ou des satellites espions. Voire par des émetteurs (de signaux) extraterrestres. De 2007 à aujourd'hui, seuls dix autres signaux analogues ont été repérés ou déduits à partir de données stockées au moment des explosions. Pour calculer la distance parcourue par ces FRB, les astronomes utilisent la notion de mesure de dispersion. Et c'est là que ça devient intéressant.

Le résultat de cette mesure correspond en effet toujours à un multiple du nombre 187,5. Mais tirer une conclusion de l'analyse de seulement dix signaux n'est pas suffisant. Il faudrait clairement repérer et enregistrer d'autres FRB pour savoir si ce nombre de 187,5 est une constante mathématique correspondant à une réalité astrophysique (voire extraterrestre) ou pas, et commencer à échafauder une théorie ou du moins des hypothèses plus solides. Cela étant, la découverte d'un schéma mathématique dans une série d'ondes radio ne permet pas d'en déduire une origine intelligente. En attendant, le projet SETI (Search for Extra-Terrestrial Intelligence), mis sur pied dans les années 60, reste toujours sur sa faim. Plus pour longtemps?

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