16/04/2015

Voici un cliché historique

pluton.jpgCe cliché est historique. Et pourtant, on ne distingue pas grand chose. Un vague halo lumineux au centre, perdu dans le noir, avec à gauche un second point, nettement plus petit et flou. Il s'agit là de la première image en couleurs de Pluton. Elle a été prise le 9 avril par la sonde américaine New Horizons, à 12 500 kilomètres de la surface de la planète naine. Juste à côté, c'est Charon, son plus grand satellite naturel. New Horizons devrait survoler Pluton d'encore plus près le 14 juillet. En revanche, aucune mise en orbite n'est possible. A cause de l'atmosphère de l'objet. Découverte en 1930, Pluton était alors considérée comme la neuvième planète du système solaire. Mais suite à la découverte de plusieurs autres objets similaires dans ce qu'on appelle le système solaire externe, l'Union astronomique internationale l'a déclassée. Depuis 2006, elle est reléguée au rang d'objet mineur et classée comme une planète naine, au même titre qu'Eris ou Cérès.

Pluton est également le premier objet transneptunien identifié. Elle est située à 7533 millions de kilomètres de la terre et appartient à la ceinture de Kuiper, zone située au-delà de l'orbite de Neptune, composée d'objets épars - dont au moins trois planètes naines, Pluton, Makémaké et Haumea - et de petits corps qui seraient les restes de la formation du système solaire. Mille autres objets y ont déjà été découverts et elle contiendrait plus de 700 000 corps de 100 km de diamètre. Le diamètre de Pluton est d'environ les deux tiers de celui de la lune. Avec Charon, elle forme ce qu'on appelle communément un système double. Elle possède d'autres satellites, au moins quatre, qui ont été identifiés depuis sous les noms de Nix, Hydre, Kerbéros et Styx (image ci-dessous).

pluto_moon.jpgLa composition interne de Pluton est pour l'instant inconnue.

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15/04/2015

Sommes-nous seuls dans l'univers? Des chiffres trompeurs!

galaxies.jpgMême si je n'y crois pas un milliardième de seconde, la question mérite d'être posée. D'autant plus qu'une étude publiée ce 15 avril dans le pourtant très sérieux Astrophysical Journal annonce une mauvaise nouvelle. Après examen de 100'000 galaxies (en voici différents modèles sur l'image ci-contre), des chercheurs, utilisant les données d'un télescope spatial de la NASA, ont déclaré n'avoir trouvé aucune preuve tangible de vie extraterrestre. Absence de preuves constatée d'après l'examen des radiations émises par ces lointaines galaxies. Or si une galaxie entière avait été colonisée par une civilisation extraterrestre, l'énergie produite par ses technologies (dans le passé, l'espace et le temps étant liés) serait détectable et elle émettrait des radiations dans le domaine infrarouge. Et là, il n'y en a pas. Ce qui signifie que parmi ces 100'000 galaxies, dont certaines vieilles de plusieurs milliards d'années, aucune n'est habitée à grande échelle par une civilisation extraterrestre. Mauvaise nouvelle? Du tout. Car en clair, tout cela ne signifie rien.

Car il faut bien lire qu'on parle ici de galaxie entière, et non d'une seule planète ou d'un seul système de type solaire. L'échelle d'une galaxie est énorme. Certaines comptent ainsi plus de 200 milliards d'étoiles. La nôtre, la Voie lactée, n'est pas davantage colonisée (semble-t-il). Donc dans ces 100'000 autres galaxies, il reste tout à fait possible qu'il y ait autant, voire plus, de civilisations extraterrestres que d'espèces terrestres. Confortant le paradoxe de Fermi (lire ici), elles n'ont juste pas essaimé ailleurs. Encore que: les auteurs de l'étude en question rajoutent quand même que 50 de ces galaxies ont malgré tout un niveau anormalement élevé de rayonnement infrarouge. Merci de le préciser, c'est évidemment là qu'il fallait chercher, au lieu de bâtir des plans sur la comète, si j'ose dire.

Et puis ce nombre 100'000. Il paraît gigantesque. A l'échelle de l'univers, il est au contraire minuscule. Dans l'univers visible, les galaxies seraient, selon les estimations d'astronomes, au nombre de 350 milliards, et les galaxies naines d'environ 7000 milliards. En recenser 100'000 revient ainsi à n'en observer que moins de 0,01% d'entre elles (estimation qui plus est très très en-dessous de la réalité). C'est peu. D'autant plus qu'on ne parle même pas ici de l'univers non visible. Pour résumer, il est facile de tordre des chiffres pour leur faire dire à peu près ce qu'on veut, et surtout aboutir à des conclusions hâtives et schématiques telle que cette dépêche reprise bêtement partout hier et qui m'a inspiré ce billet.

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12/04/2015

Des deux conjectures de Hardy-Littlewood, laquelle est fausse?

 

hardy.jpgCes deux graphiques colorés, séduisants mais complexes, illustrent la seconde conjecture de Hardy-Littlewood, ainsi nommée d’après le patronyme de ses deux découvreurs au début du XXe siècle. Il existe en réalité deux conjectures de Hardy-Littlewood. Mais si la première est vraie, l’autre pas. Paradoxe ? Pas tant que ça, même si le problème demeure aujourd’hui ouvert. Je vais tenter de le résumer brièvement dans ce nouveau billet.

Il en va en effet des conjectures mathématiques comme de tout. Pour prouver leur véracité, il faut démontrer qu’elles sont valables (vraies) pour n’importe quel élément jusqu’à l’infini. En revanche, un seul contre-exemple peut suffire à prouver leur fausseté. Il y a des cas demeurés célèbres de conjectures ou hypothèses qui étaient finalement fausses, mais ce sera le sujet d’un prochain billet. Il y a également des cas où elles sont indécidables, telle l’hypothèse du continu de Georg Cantor (lire ici).

Mais revenons à Hardy et Littlewood. Leurs conjectures concernent les nombres premiers. La première n’est pas aisée à expliquer et son cas particulier, qui rejoint la conjecture des nombres premiers jumeaux, va permettre de préparer le terrain. Dans ce cas particulier, si on prend le couple (0, 2), on conjecture qu’il existe une infinité de p tels que (p, p+2) soient premiers. Généralisons cela à (0, K). On suppose dès lors que pour toute valeur de K paire, la conjecture est vraie. Mais aucune de ces conjectures n’est démontrée à l’heure actuelle, sauf pour le cas K = 70 millions, démontré par Yitang Zhang en 2013 (lire ici).

Continuons le raisonnement au-delà des jumeaux, et considérons des triplés comme (0, 2, 6). On peut alors aussi conjecturer qu’il existe une infinité de p tels que (p, p + 2, p + 6) soient premiers. Sur ces bases, on peut encore généraliser avec n’importe quelle suite croissante de K nombres, suite désignée sous l’appellation de K-uplet et qu’on peut ainsi noter (0, a2, a3, … , ak).

Peut-on cette fois conjecturer qu’il existe une infinité de p tels que (p, p + a2, p + a3, … , p  + ak) soient tous premiers ? Peut-être, mais n’allons pas trop vite. Car d’évidence, certains K-uplets ne sont pas admissibles (exemple basique avec le triplet (0, 2, 4)). (Pour qu’un K-uplet soit admissible, il faut en fait que pour tout p, il ne contienne pas les restes possibles modulo p.) Le dernier terme du K-uplet, qui est également son plus grand nombre, est appelé son diamètre. Ceux avec les plus petits diamètres s’avèrent les plus intéressants. Et on nomme constellation un K-uplet admissible de diamètre minimal. Tout cela me permet enfin d’énoncer la première conjecture de Hardy-Littlewood : pour toute constellation (0, a2, a3, … , ak), il existe une infinité de nombres p tels que (p, p + a2, p +  a3, … , p  + ak) soient tous premiers.  Et la répartition des nombres p pour lesquels la conjecture marche suit une progression asymptotique. A titre purement indicatif, en voici la formulation :

Capture d’écran 2015-04-12 à 18.54.10.png

avec

Capture d’écran 2015-04-12 à 18.54.29.png

La seconde conjecture de Hardy-Littlewood est nettement plus aisée à comprendre. Considérons un nombre N pris au hasard. La conjecture stipule que si on compte les nombres premiers apparaissant entre 0 et N, il y en aura toujours plus que dans n’importe quel intervalle de longueur N. Elle peut également s’écrire de manière plus formelle - avec l’expression ∏(N), qui désigne la quantité de premiers entre 0 et N – ainsi :

Capture d’écran 2015-04-12 à 19.03.39.pnget cela pour tout M et N supérieurs à 2.

Mais pour bon nombre de mathématiciens, cette conjecture est fausse. Et ils ont sans doute raison. Car si la première conjecture de Hardy-Littlewood était vraie, elle fournirait des contre-exemples à la seconde, qui serait alors fausse, comme l'a démontré de manière extrêmement complexe le mathématicien Ian Richards en 1974. Et pour trouver ces contre-exemples, il faudrait aller chercher entre 10174 et 101197. Bonne chance !

 

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