03/04/2015

Nombres premiers jumeaux: quel rôle joue la constante de Brun?

Prime-Spiral-Flower.jpgCette belle spirale de nombres premiers présente par endroits des aspects plus ou moins réguliers qui devraient nous interpeller. Il existe des dizaines de graphiques analogues - spirales d'Ulam ou de Sacks, et j'en reparlerai un jour dans un autre billet - mais on ne peut en tirer aucune preuve scientifique. On sait qu'il y a une infinité de nombres premiers, on ne sait toujours pas s'il y a une infinité de premiers jumeaux, conjecture qui était d'ailleurs le sujet de mon premier billet maths de ce blog (consultable ici). Mais si les travaux de Zhang ont permis de faire un bond de géant en direction de la démonstration de la conjecture, on peut aussi observer le problème par un autre chemin. Par exemple en observant la série des inverses des nombres premiers jumeaux. En voici la formule, aisée à comprendre:

Capture d’écran 2015-04-03 à 17.31.00.pngLe P majuscule y désigne l'ensemble des nombres premiers. C'est le mathématicien norvégien Viggo Brun (1885 - 1978) qui remarqua que la série était convergente, autrement dit qu'elle admet une limite lorsqu'elle tend vers l'infini. Du nom de son découvreur, cette limite est appelée constante de Brun, parfois notée B2. Selon de récentes estimations, la valeur de B2, extrêmement dure à calculer au-delà de neuf décimales, est à peu près de 1,90216 05831 04, nombre obtenu en 2002 en utilisant tous les nombres premiers jumeaux jusqu'à 10 16. Voici ci-dessous le détail de son estimation pour plusieurs puissances de dix successives.

Capture d’écran 2015-04-03 à 17.51.16.pngNotons que contrairement à la série des inverses des jumeaux, la série des inverses des nombres premiers est divergente, ce qui établit leur infinitude, même si aisée à démontrer sans cela. En d'autres termes, si la série des inverses des jumeaux avait été divergente, cela aurait permis de prouver la conjecture des nombres premiers jumeaux. Aujourd'hui, les plus grands nombres premiers jumeaux sont énormes. En voici quelques-uns, avec le nom de leurs découvreurs à droite.

Capture d’écran 2015-04-03 à 17.54.07.png

La dernière paire de la liste contient plus de 32000 chiffres. Et concernant la constante de Brun, B2, on ne sait toujours pas aujourd'hui de quel type de nombre il s'agit. Mais à l'instar de Pi ou e, il est probablement transcendant.

 

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01/04/2015

Le voyage sur Mars, c'est pour "bientôt"

mission-to-mars.jpgCe photogramme de Mission to Mars de Brian De Palma nous rappelle que les voyages pour la planète rouge, c'est pour bientôt. Soit vers 2030, date à laquelle les Etats-Unis devraient envoyer des astronautes là-bas. Un vol qui durera environ six mois, sans compter le retour. Plus de six mois, c'est long, et on ignore pour l'instant quelles seront les conséquences d'un séjour aussi long dans l'espace pour le métabolisme humain. Pour le savoir, il va falloir réaliser des tests. L'un d'entre eux est en cours. Vendredi dernier, un astronaute américain et deux cosmonautes russes ont décollé à bord du vaisseau Soyouz-TMA16M en direction de la Station spatiale internationale (ISS). Partis vendredi soir du cosmodrome du Kazakhstan, ils ont atteint l'avant poste orbital 5 heures 51 minutes après leur départ. Deux heures plus tard, le sas entre Soyouz et l'ISS a été ouvert et les hommes ont été accueillis par les trois membres actuels de l'équipage de l'ISS.

Deux d'entre eux vont y séjourner 342 jours. Ce sera la plus longue période ininterrompue effectuée par des astronautes dans l'ISS depuis la mise en service de son premier module habitable en 2000. On sait qu'un voyage dans l'espace peut avoir un impact sur la physiologie humaine. Peuvent s'ensuivre des troubles de la vision ou du système immunitaire, ou encore une altération de la mémoire et du sens de l'orientation. Reste à savoir, au-delà de six mois, quels autres symptômes peuvent surgir. L'astronaute américain de la mission, Scott Kelly, 51 ans, ayant un frère jumeau resté sur terre, il est prévu de comparer l'évolution de leurs caractéristiques biologiques. On se réjouit de connaître les premiers résultats de tout cela.

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26/03/2015

Il y a de l'azote sur Mars

azote.jpgMars n'en finit pas de surprendre. Après l'observation de gigantesques amas nuageux détectés début... mars, voici qu'on apprend que de l'azote se trouve sur la surface de la planète rouge. C'est le rover Curiosity (le petit robot) qui a fait cette découverte. Des échantillons de sable et de poussière ont conclu à la présence de molécules de nitrates formées d'un atome d'azote et de trois atomes d'oxygène (NO3). On sait que l'azote est un élément essentiel à la vie, car il se trouve à la base de molécules fondamentales comme l'ADN ou l'ARN. En d'autres termes, cette découverte suggère une fois de plus que Mars a pu, dans un passé lointain, abriter de la vie. L'an dernier, un physicien, John Brandenburg, émettait même l'hypothèse que la planète avait été frappée, il y a très longtemps, par une guerre nucléaire qui aurait éradiqué toute vie sur sa surface, anéantissant deux civilisations de type humanoïde. Et il n'y en aurait plus aucune trace?

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