03/02/2017

Quels secrets cachent les grands écarts entre nombres premiers ?

ecarts.jpgOn sait qu’il existe une infinité de nombres premiers. Et on sait qu’on peut trouver des suites de nombres composés arbitrairement longues. En d’autres termes, que les écarts entre nombres premiers successifs peuvent donc être eux aussi arbitrairement longs. Justement, je vous propose aujourd’hui d’observer brièvement ces écarts. Mis à part celui entre 2 et 3, ils sont tous pairs, ce qui est logique. Jusqu’au nombre 389, l’écart le plus fréquent est 2, signe distinctif des nombres premiers jumeaux, dont l’infinitude demeure à l’état de conjecture. Et puis cela change ! Lorsqu’on grimpe un peu dans la liste, c’est le nombre 6 qui s’impose alors comme l’écart le plus courant entre deux premiers consécutifs, preuve que la densité de ceux-ci décroit, ce qui n’a rien de surprenant (j’ai du reste déjà consacré plusieurs billets au théorème des nombres premiers et n’y reviendrai pas dans celui-ci). Est-ce que 6 reste champion ad aeternam ? Bien sûr que non.

Mais pour établir la liste des champions suivants dans un intervalle donné (qui bien sûr se calcule avec précision, via les logarithmes et sous une forme parente, pour faire simple, avec la formule de Legendre - mais j’ai choisi de ne pas citer les formules fixant cet intervalle afin de ne pas alourdir ce billet), de simples calculettes ne suffisent assurément plus. Vers 1,7 x 1036, un nouveau champion apparaît parmi ces écarts : il s’agit de 30. Détrôné à son tour vers 5,81 x 10428 par 210. Toujours plus loin, les champions successifs sont 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230 et 200560490130. Evidemment, ces différents écarts ne signifient pas que leurs prédécesseurs n’apparaissent plus. Des premiers successifs différant de 2, 6 ou 30 surgissent ainsi encore, même si leur fréquence baisse nettement. Mais revenons à cette liste de champions prenant gaillardement la première place du podium les uns après les autres:

2 – 6 – 30 – 210 – 2310 – 30030 – 510510 – 9699690 – 223092870 - 6469693230 – 200560490130

Rien ne vous frappe, dans cette liste? Les plus perspicaces auront sans doute remarqué qu’il s’agit de la suite des primorielles. Soit

2

2 x 3 = 6

2 x 3 x 5 = 30

2 x 3 x 5 x 7 = 210

2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2310

Et ainsi de suite.

Par définition, la primorielle d’un entier désigne le produit de tous les premiers inférieurs ou égaux à cet entier. Ces résultats sur les écarts entre nombres premiers ("prime gap" en anglais), et en l’occurrence entre grands nombres premiers, ne peuvent assurément pas être fortuits. Trois mathématiciens, Andrew Odlyzko, Michael Rubinstein et Marek Wolf, ceux-là même qui ont conduits les calculs informatiques pour les déterminer, en ont déduit une conjecture (des "jumping champions", ou champions sauteurs), mieux, un énoncé dont personne ne peut censément douter. Le hic, c’est comment l’utiliser pour faire avancer l’ensemble des problèmes ouverts dans ce domaine. La réponse n’est pas simple, et de nombreux sites anglo-américains – le problème semble moins abordé chez les francophones – planchent régulièrement dessus. J’y reviendrai prochainement de manière plus abstraite avec quelques formules et égalités qu’il sera nécessaire d’énoncer ou de rappeler à ce moment-là.

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02/02/2017

Voyage dans l'espace: l'étonnante découverte

jumeaux.jpgCe sont deux jumeaux. Deux astronautes. Mark et Scott Kelly. Génomes identiques, profession identique. Ils sont aussi en quelque sorte cobayes – non pas dans un sens péjoratif – pour la NASA. Qui effectue diverses expériences et observations auxquelles les deux hommes se prêtent. Les résultats de la dernière viennent d’être rendus publics. Et ils sont étonnants. L’affaire consistait à étudier les génomes des deux jumeaux. L’un (Scott) a séjourné près d’un an dans l’espace pendant que l’autre (Mark) n’a pas quitté le sol terrestre. Et ce qu’on a constaté, c’est que le séjour dans l’espace a modifié les génomes de Scott.

Des changements qui se manifestent au niveau des gènes, de plusieurs marqueurs biologiques et de la méthylation de l’ADN (qui a diminué dans l’espace), laquelle joue un rôle dans différents processus cellulaires. Et ces changements sont plus forts que la normale, qui tolère des modifications minimes dues à l’environnement, au sommeil, etc. Comment expliquer tout cela ? Qu’est-ce que cela signifie ? A quoi cela correspond-il ? Personne n’a encore la réponse et la NASA devra mener d’autres expériences sur les génomes de dix astronautes déjà partis dans l’espace ou qui doivent y aller d’ici 2018. Cela afin de collecter d’autres données.

On savait déjà qu’un voyage sur Mars, pour prendre l’exemple de l’une des planètes les plus proches de la nôtre, prend environ six mois, selon les technologies actuelles, et qu’on en ignore encore les conséquences physiologiques et psychologiques sur ses participants. A ces inconnues s’en ajoute désormais une autre peut-être encore plus troublante. Pourtant, nous finirons bien par essaimer vers d’autres corps célestes pour les coloniser. Mais dans combien de millénaires de notre temps terrestre ?

21:41 Publié dans Astrophysique, Sciences | Lien permanent | Commentaires (2) | |  Facebook | | | |

01/02/2017

Sommes-nous perdus dans l'univers?

vierge.jpgPréoccupation légitime, notre position dans l’univers rappelle notre petitesse. A si petite échelle, nous ne sommes rien, ou presque. Rappelons ici quelques généralités ultrabasiques qui devraient éviter plusieurs confusions gênantes que j’entends souvent se propager de loin en loin lors de conversations, les gens confondant volontiers galaxies, système solaire, amas et autres objets célestes. Dans l’univers, les objets procèdent par inclusion (l’analogie avec les diagrammes de Venn est possible mais néanmoins, je la déconseille), avec une dimension temporelle en prime dont je ne tiendrai pas vraiment compte dans ce court billet.

Notre Terre fait partie d’un groupe de planètes (huit confirmées à ce jour) gravitant autour d’une étoile unique, le soleil. L’ensemble compose notre système solaire. Les étoiles (et par la force des choses tout ce qui gravite autour) se regroupent ensuite dans des galaxies. Il en existe de différentes formes, elliptiques ou spirales, par exemple. La nôtre s’appelle la Voie lactée. Il s’agit d’une galaxie spirale barrée, ainsi nommée parce que son noyau présente une barre de faible extension. Elle se compose de 100 à 400 milliards d’étoiles (vraisemblablement autour des 120) et son diamètre équivaut à 100 000 années lumière. Mais les choses ne s’arrêtent pas là.

Les galaxies se regroupent ensuite dans des amas, eux aussi de différentes formes. La Voie lactée appartient à ce qu’on appelle le Groupe local, qui englobe une soixantaine de galaxies et dont le diamètre est d’environ 10 millions d’années-lumière. Les amas se rassemblent eux-mêmes en superamas. Le Groupe local, tout comme la galaxie d’Andromède (dont le nom fait rêver), font ainsi partie du superamas de la Vierge (indiquée sur la représentation ci-dessus), à ne pas confondre avec l’amas de la Vierge, qui est quant à lui «proche de nous». Son diamètre ? Environ 110 millions d’années lumière. Et au-delà ? Rien ou d’autres superamas. En d’autres termes, il s’agit là des plus grandes structures connues de l’univers.

Sauf que le superamas de la Vierge, ainsi que celui de l’Hydre-Centaure et celui du Paon-Indien, sont à leur tour contenus dans un plus vaste superamas connu sous le nom de Laniakea (soit paradis incommensurable en hawaïen), dont j’avais commenté ici même une vue d’artiste il y a plus d’un an. Son diamètre mesure environ 500 millions d’années lumière. Toutes les galaxies qu’il contient ont en commun de converger vers ce qu’on nomme le Grand Attracteur, zone dévoilant une anomalie gravitationnelle de l’espace intergalactique. Le Grand Attracteur se déplace lui-même vers le superamas de Shapley, lui-même tout près du Vide du Bouvier, région contenant moins de galaxies que d’autres, vous l’aurez deviné si vous avez lu jusque là. Dans l’univers visible, formé il y a un peu moins de 14 milliards d’années, il y aurait autour des 10 millions de superamas, 25 milliards d’amas et 30 milliards de trillions d’étoiles. Et dire que nous sommes peut-être tout seuls dans cette immensité.

20:34 Publié dans Astrophysique, Sciences | Lien permanent | Commentaires (6) | |  Facebook | | | |