05/02/2017

Tous les nombres entiers ont-ils un «premier-maison» ?

maison.jpgCertes, ce n’est pas la conjecture la plus essentielle de la recherche en mathématiques, et elle est même tenue pour un problème destiné aux amateurs, mais elle a l’avantage de la clarté. En d’autres termes, elle est aussi aisée à comprendre qu’à expliquer. Qu’est-ce qu’un «premier-maison» et comment l’obtient-on ? Noté HP(n), - pour «home prime», bien sûr -, il s’obtient en plusieurs étapes. Il faut d’abord décomposer le nombre composé n en produit de facteurs premiers, et cela sans utiliser les puissances, quitte donc à répéter plusieurs fois les mêmes facteurs. On construit dès lors un second nombre en concaténant, c’est-à-dire en mettant bout à bout, tous les premiers obtenus par cette factorisation. Puis on répète ce processus jusqu’à ce qu’on tombe sur un nombre premier. Celui-ci est alors appelé HP(n). Voici un exemple avec le nombre 10.

10 = 2 x 5

25 = 5 x 5

55 = 5 x 11

511 = 7 x 73

773 est premier

Donc HP(10) = 773

Si n est premier, le résultat est bien sûr HP(n) = n. La chose semble élémentaire, et pourtant, elle reste à l’état de conjecture. Tout simplement parce que l’existence d’un «premier-maison» n’est pas avérée pour tous les nombres composés inférieurs à 1000 (et encore moins pour les autres). Ainsi, après plus de cent itérations, le processus pour HP(49) n’est pas terminé et on obtient même des facteurs premiers gigantesques de près de 200 chiffres. Il va sans dire que HP(49) = HP(77) = HP(711), et ainsi de suite. On conjecture donc que pour tout nombre composé, il existe un «premier-maison», et que l’algorithme brièvement décrit ci-dessus se termine toujours. Jusqu’à preuve du contraire (un seul contre-exemple suffirait). Cette conjecture étant considérée comme mineure, on en trouve peu de traces sur internet et encore moins dans les revues spécialisées.

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03/02/2017

Quels secrets cachent les grands écarts entre nombres premiers ?

ecarts.jpgOn sait qu’il existe une infinité de nombres premiers. Et on sait qu’on peut trouver des suites de nombres composés arbitrairement longues. En d’autres termes, que les écarts entre nombres premiers successifs peuvent donc être eux aussi arbitrairement longs. Justement, je vous propose aujourd’hui d’observer brièvement ces écarts. Mis à part celui entre 2 et 3, ils sont tous pairs, ce qui est logique. Jusqu’au nombre 389, l’écart le plus fréquent est 2, signe distinctif des nombres premiers jumeaux, dont l’infinitude demeure à l’état de conjecture. Et puis cela change ! Lorsqu’on grimpe un peu dans la liste, c’est le nombre 6 qui s’impose alors comme l’écart le plus courant entre deux premiers consécutifs, preuve que la densité de ceux-ci décroit, ce qui n’a rien de surprenant (j’ai du reste déjà consacré plusieurs billets au théorème des nombres premiers et n’y reviendrai pas dans celui-ci). Est-ce que 6 reste champion ad aeternam ? Bien sûr que non.

Mais pour établir la liste des champions suivants dans un intervalle donné (qui bien sûr se calcule avec précision, via les logarithmes et sous une forme parente, pour faire simple, avec la formule de Legendre - mais j’ai choisi de ne pas citer les formules fixant cet intervalle afin de ne pas alourdir ce billet), de simples calculettes ne suffisent assurément plus. Vers 1,7 x 1036, un nouveau champion apparaît parmi ces écarts : il s’agit de 30. Détrôné à son tour vers 5,81 x 10428 par 210. Toujours plus loin, les champions successifs sont 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230 et 200560490130. Evidemment, ces différents écarts ne signifient pas que leurs prédécesseurs n’apparaissent plus. Des premiers successifs différant de 2, 6 ou 30 surgissent ainsi encore, même si leur fréquence baisse nettement. Mais revenons à cette liste de champions prenant gaillardement la première place du podium les uns après les autres:

2 – 6 – 30 – 210 – 2310 – 30030 – 510510 – 9699690 – 223092870 - 6469693230 – 200560490130

Rien ne vous frappe, dans cette liste? Les plus perspicaces auront sans doute remarqué qu’il s’agit de la suite des primorielles. Soit

2

2 x 3 = 6

2 x 3 x 5 = 30

2 x 3 x 5 x 7 = 210

2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2310

Et ainsi de suite.

Par définition, la primorielle d’un entier désigne le produit de tous les premiers inférieurs ou égaux à cet entier. Ces résultats sur les écarts entre nombres premiers ("prime gap" en anglais), et en l’occurrence entre grands nombres premiers, ne peuvent assurément pas être fortuits. Trois mathématiciens, Andrew Odlyzko, Michael Rubinstein et Marek Wolf, ceux-là même qui ont conduits les calculs informatiques pour les déterminer, en ont déduit une conjecture (des "jumping champions", ou champions sauteurs), mieux, un énoncé dont personne ne peut censément douter. Le hic, c’est comment l’utiliser pour faire avancer l’ensemble des problèmes ouverts dans ce domaine. La réponse n’est pas simple, et de nombreux sites anglo-américains – le problème semble moins abordé chez les francophones – planchent régulièrement dessus. J’y reviendrai prochainement de manière plus abstraite avec quelques formules et égalités qu’il sera nécessaire d’énoncer ou de rappeler à ce moment-là.

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02/02/2017

Voyage dans l'espace: l'étonnante découverte

jumeaux.jpgCe sont deux jumeaux. Deux astronautes. Mark et Scott Kelly. Génomes identiques, profession identique. Ils sont aussi en quelque sorte cobayes – non pas dans un sens péjoratif – pour la NASA. Qui effectue diverses expériences et observations auxquelles les deux hommes se prêtent. Les résultats de la dernière viennent d’être rendus publics. Et ils sont étonnants. L’affaire consistait à étudier les génomes des deux jumeaux. L’un (Scott) a séjourné près d’un an dans l’espace pendant que l’autre (Mark) n’a pas quitté le sol terrestre. Et ce qu’on a constaté, c’est que le séjour dans l’espace a modifié les génomes de Scott.

Des changements qui se manifestent au niveau des gènes, de plusieurs marqueurs biologiques et de la méthylation de l’ADN (qui a diminué dans l’espace), laquelle joue un rôle dans différents processus cellulaires. Et ces changements sont plus forts que la normale, qui tolère des modifications minimes dues à l’environnement, au sommeil, etc. Comment expliquer tout cela ? Qu’est-ce que cela signifie ? A quoi cela correspond-il ? Personne n’a encore la réponse et la NASA devra mener d’autres expériences sur les génomes de dix astronautes déjà partis dans l’espace ou qui doivent y aller d’ici 2018. Cela afin de collecter d’autres données.

On savait déjà qu’un voyage sur Mars, pour prendre l’exemple de l’une des planètes les plus proches de la nôtre, prend environ six mois, selon les technologies actuelles, et qu’on en ignore encore les conséquences physiologiques et psychologiques sur ses participants. A ces inconnues s’en ajoute désormais une autre peut-être encore plus troublante. Pourtant, nous finirons bien par essaimer vers d’autres corps célestes pour les coloniser. Mais dans combien de millénaires de notre temps terrestre ?

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