09/03/2015

On a enfin observé une "croix d'Einstein"

supernova.jpgEn 2015, la découverte de la théorie de la relativité générale d'Einstein aura cent ans. Cette image, prise il y a quelques jours à peine par des astronomes de l'université de Berkeley, tombe donc à pic. On y voit clairement une galaxie (lointaine) entourée par quatre points jaunes (désignés par de petites flèches). Il s'agit là d'un mirage gravitationnel et d'un phénomène connu sous le nom de "croix d'Einstein". Un phénomène que les scientifiques traquent depuis vingt ans et qu'ils n'avaient encore jamais observés. Ces quatre points sont en réalité la même supernova. Mais son image a été déformée et multipliée par un effet dit de "lentille gravitationnelle". Formée par l'explosion d'une étoile en fin de vie, il y a environ 9 milliards d'années, cette supernova semble apparaître ici à quatre endroits distincts.

Une multiplication qui s'explique par l'influence de la masse des galaxies se trouvant entre la supernova et le télescope qui l'observe. En effet, la masse de cet amas de galaxies, estimable à plusieurs millions de milliards de fois celle du soleil, courbe l'espace-temps autour de la supernova (ce que démontre justement la théorie de la relativité générale). Au point que la lumière provenant d'astres situés derrière cet amas engendre des images déformées et multiples. En 1979, on avait fait une observation partielle d'une "croix d'Einstein", via un quasar dédoublé par une galaxie. Ici, la supernova est quadruplée. Mais le phénomène ne durera pas. Les explosions d'étoiles, ou supernova, s'étendent de quelques semaines à quelques mois au plus. On estime qu'il s'en produit entre une à trois par siècle dans notre galaxie. Celle ci-dessus se situe évidemment bien au-delà.

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06/03/2015

Y a-t-il eu de l'eau sur Mars?

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C'est ce qu'affirme la Nasa et la Nasa ne plaisante généralement pas avec ce genre de choses. Tout cela en observant deux formes légèrement différentes d'eau, soit celle formée de deux atomes d'hydrogène et un d'oxygène (symbole H2O), et une autre, appelée semi-lourde, dans laquelle l'un des deux atomes d'hydrogène est remplacé par du deutérium (symbole HDO). Les signatures chimiques de ces deux molécules d'eau sont sensiblement différentes, et l'analyse de l'atmosphère martienne, combinée à l'observation du ratio entre l'eau "normale" et la semi-lourde, montre qu'il y en a eu sur Mars il y a longtemps. Et même en grande quantité, puisqu'elle couvrait environ 19% de la planète. Un océan plus vaste que l'Atlantique, lequel occupe 17% de la surface terrestre. Et un océan visiblement profond, jusqu'à plus de 1600 mètres par endroits.

Mais alors, où est-il passé? C'est simple, il s'est évaporé dans l'espace. Du moins 87% de sa masse. Et les 13 % restants? Probablement les blocs de glace qui subsistent près des pôles martiens. Cette période aquatique est évidemment lointaine, puisque l'ère chaude et humide de Mars remonterait à 3,7 milliards d'années. De là à supposer que notre voisine a pu abriter des formes de vie, il y a un pas qu'on espère voir franchi dans les mois à venir. D'autant plus qu'on sait, depuis décembre, qu'il y a énormément de méthane (symbole CH4) sur Mars, soit un gaz qui est le plus simple des hydrocarbures et surtout, qui "peut" être issu de la fermentation de matières organiques animales ou végétales. Bien sûr, en l'état, tout cela ne prouve rien pour l'instant. Alors on va patiemment attendre d'autres découvertes.

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02/03/2015

Théorème de Green-Tao, quelles perspectives?

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Voici un tableau constellé de points noirs. Ce sont des pixels. Ils représentent les nombres entre 1 et 76800. Un pixel noir désigne un nombre premier et un blanc un nombre qui n’est pas premier. Impossible, bien sûr, d’en tirer matière immédiate à déduction. Les nombres premiers semblent y apparaître de manière irrégulière, même si leur distribution (asymptotique) peut être énoncée par une formule et un théorème dont j’avais parlé il y a quelques mois (lisible ici).

Intéressons-nous aujourd’hui à un théorème qui valut de nombreux prix à ses deux auteurs, l’Anglais Ben Green et l’Australien Terence Tao. Il s’agit du théorème de Green-Tao. Il peut s’énoncer ainsi : «La suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues. »

Voyons cela de plus près et attardons-nous d’abord sur la notion de suite arithmétique, qui fait intervenir la notion d’écart entre nombres. En voici un exemple simple: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... On aura reconnu là la suite des nombres impairs. On dit qu’elle est arithmétique de raison 2, car l’écart entre chaque nombre successif est justement de 2. Chaque terme permet ici de déduire le suivant en lui ajoutant une constante (appelée raison).

Au XVIIIe siècle, Legendre (1752 – 1833) avait conjecturé que lorsque le premier terme d’une suite et sa raison sont premiers entre eux, en d’autres termes qu’ils n’ont pas de diviseurs communs, la suite contient alors une infinité de nombres premiers. Si l’exemple donné ci-dessus est évident, d’autres le sont un peu moins. Tel celui-ci : 4, 7, 10, 13, 16, 19, … qui est de raison 3 et de premier terme 4. Elle contient pourtant elle aussi une infinité de nombres premiers. C’est finalement Dirichlet (1805 – 1859), au XIXe siècle, qui a démontré le théorème, plus connu sous le nom de théorème de la progression arithmétique.  Sa démonstration sera même à la base de la théorie analytique des nombres.

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Le théorème de Green-Tao (photos ci-dessus) est une généralisation de celui de Dirichlet. Et consiste à se demander si on peut trouver des suites arithmétiques finies, mais de longueur arbitrairement grande, constituées uniquement de nombres premiers. Exemple : 3, 5, 7 est une suite de raison 2 et de longueur 3 constituée uniquement de premiers. Idem pour 5, 11, 17, 23, 29 (raison 6, longueur 5) et pour 7, 37, 67, 97, 127, 157 (raison 30, longueur 6). Green et Tao ont ainsi prouvé, en 2004, qu’on peut trouver de telles suites d’une longueur aussi grande qu’on le souhaite. En revanche, leur théorème ne dit pas comment les construire et établit seulement qu’une progression de longueur k existe avec des entiers tous plus petits que :

Capture d’écran 2015-03-02 à 20.41.44.pngImpressionnant!

Reste aujourd’hui à augmenter la longueur de la suite, diminuer la raison pour une longueur donnée et jouer sur la taille du premier terme. A ce jour, la plus longue suite connue a été trouvée en 2010 (par Benoît Perichon via PrimeGrid, projet de calcul distribué pour la recherche des nombres premiers) et est constituée de 26 termes. La voici :

Capture d’écran 2015-03-02 à 20.42.57.pngLa variable n désigne ici un entier allant de 0 à 25 et P(23) est la primorielle de 23, soit le produit, parfois noté P !! (donc à ne pas confondre avec la factorielle), de tous les nombres premiers qui le précèdent avec lui-même.

Deux mathématiciens en ont trouvé deux autres de même longueur en 2012 et 2014. Des records qui devraient tôt ou tard être battus.

 

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