19/02/2015

Sur quels rivages nous mène la fonction zêta de Riemann?

 

zeta.jpgCe graphique coloré et séduisant est une représentation de la fonction zêta de Riemann dans le plan complexe. Fondamentale dans de nombreux développements mathématiques, et notamment en théorie des nombres, puisque la position de ses zéros a un rapport avec la répartition des nombres premiers, la fonction zêta touche, il faut bien l’avouer, à un domaine très ardu des maths. Je l’avais déjà mentionnée dans mon billet dédié au théorème des nombres premiers, consultable sur ce blog, et elle risque de réapparaître souvent dans des billets ultérieurs. Il existe en réalité plusieurs fonctions zêta. Celle d’Euler somme des puissances en nombres réels. Celle de Riemann des puissances en nombres complexes. La voici :

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Les variables s désignent des nombres complexes (du corps des nombres complexes  ℂ), soit des nombres de la forme a + bi avec i (pour imaginaire) désignant la racine carrée de – 1 (a et b étant des nombres réels, bien sûr). Le zêta est une lettre de l'alphabet grec, tout comme le sigma majuscule, qui représente ici une somme infinie. Cela étant, la fonction prolonge en fait la fonction somme d’une série de Dirichlet dont voici l’exemple, à titre purement informatif:

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Ce sont là des séries qui interviennent en théorie analytique des nombres. Elles servent notamment à démontrer le théorème de la progression arithmétique.

L'Allemand Bernhard Riemann (1826 – 1866), l’un des plus grands mathématiciens de l’histoire, reprenant les travaux du Suisse Euler, publie en 1859 un texte sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée. C’est à ce moment qu’il définit et introduit la fonction zêta, en étendant les travaux de ses prédécesseurs aux nombres complexes. Elle peut ainsi se définir comme une fonction analytique complexe (méromorphe). Précédemment, Euler avait entre autres calculé la valeur de la fonction pour les entiers s positifs pairs. En résultent des séries convergentes et infinies qui peuvent s’exprimer par des puissances paires de ∏. Voici quelques-uns de ces résultats :

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Les choses se corsent, si j'ose dire, avec les nombres complexes, particulièrement ceux dont la partie réelle (notée Re(s)) est supérieure à 1. Euler est ainsi le premier à découvrir le lien entre la fonction zêta et un produit infini faisant intervenir tous les nombres premiers. Voici l’égalité - géniale - qu’il démontre, P désignant ici l’ensemble des nombres premiers :

Capture d’écran 2015-02-19 à 20.53.42.pngIl remarque alors que la position des zéros de la fonction zêta de Riemann fournit la position des nombres premiers. C’est ce constat qui est à la base de l’hypothèse de Riemann, Graal absolu de la recherche en maths, et sur lequel je reviendrai dans un prochain billet. Pour faire simple, l’hypothèse de Riemann conjecture que les zéros non triviaux de la fonction zêta ont tous pour partie réelle ½. Elle n'est à ce jour toujours pas démontrée. Et le jour où elle le sera, la recherche en maths fera des bonds de géant.

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18/02/2015

Cette étoile nous a frôlés il y a 70 000 ans

scholz.jpgOn ne distingue finalement jamais grand-chose sur les clichés pris de portions plus ou moins lointaines (dans l'espace-temps) de l'univers. Ou alors faut-il commenter ce qu'on y voit. Ici une sorte d'amas, visiblement plus interstellaire que galactique. Dans le cercle, il y a une étoile. Elle s'appelle étoile de Scholz, du nom de son découvreur en 2013, un astronome allemand. Sa particularité? Elle est passée tout près de notre système solaire. En fait, aucune étoile ne s'est même jamais approchée aussi près. C'était il y a environ 70 000 ans, soit à l'époque de l'homme de Neandertal, apprenait-on le 12 février dernier dans la revue The Astrophysical Journal. L'étoile de Scholz a frôlé le système solaire, passant à 0,8 années lumière du soleil. Elle aurait ainsi traversé le nuage d'Oort, gigantesque région constellée de petits corps rocheux et entourant notre système solaire. Le nuage d'Oort se trouve à une année-lumière du soleil. C'est tout près. Sa frontière externe formerait la frontière gravitationnelle du système solaire. Celle-ci se trouve à plus de mille fois la distance entre le soleil et Pluton. Tout près, vous dis-je.

Et depuis? Depuis, l'étoile de Scholz s'est éloignée progressivement pour se trouver aujourd'hui à environ 20 années-lumières de la terre. Elle est désormais invisible à l'oeil nu et on ne sait pas grand-chose sur elle, sinon qu'il s'agit en réalité d'un système binaire composé de deux étoiles: une naine rouge (étoile de petite masse) et une naine brune (soit pas assez massive, donc "ratée"). La première aurait une masse de 8% de celle du soleil et la seconde de 6%. Ce n'est pas énorme. Les astronomes ne connaissent aucune autre étoile à s'être approchée aussi près de nous. Rappelons que l'étoile la plus proche du système solaire est Proxima du Centaure. Elle est située à 4,2 années-lumières de notre astre solaire. Cela ne paraît pas loin. Et pourtant, la sonde Voyager 1, qui voyage à la vitesse de 17 kilomètres par seconde, ne l'atteindra que dans environ 75 000 ans.

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01/02/2015

Le nombre 153 est-il divin?

 

poissons.jpgDaté de 1444, ce tableau de Konrad Witz s’intitule La Pêche miraculeuse. Exposé au Musée d’Art et d’Histoire de Genève, il représente un épisode de l’Evangile selon Jean (Jean 21 : 1 – 24), celui de la pêche miraculeuse de Saint-Pierre, qui ramène 153 gros poissons à Jésus et à ses disciples. Très peu de nombres sont cités dans la Bible. 153 en fait partie. De nombreuses interprétations exégétiques existent à son propos. Tel n’est pas aujourd’hui le sujet de mon billet, dans lequel je vous propose d’observer les curieuses et innombrables propriétés d’un nombre qui semble cacher bien des mystères.

1) Tout d’abord, 153 est la somme de tous les entiers de 1 à 17. Cela fait de lui un nombre triangulaire, le 17ème, comme l’illustre le schéma ci-dessous, chaque ligne représentant successivement les nombres 1 à 17. triangle.jpg

Les nombres triangulaires ont tous cette forme:


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Ils possèdent diverses propriétés. Je me contenterais d’en citer une. En 1638, Fermat affirma que tout entier était somme de trois nombres triangulaires (à condition de considérer 0 comme un nombre triangulaire). Gauss prouva cette décomposition en 1796. En voici le résultat, relativement aisé à vérifier (M désigne un entier positif; x, y et z trois entiers; et l'équation utilise par ailleurs le théorème des trois carrés de Legendre, lequel induit que tout entier positif congru à 3 modulo 8 est la somme de trois carrés parfaits) :

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2) 153 est également un nombre hexagonal, le 9ème, ceux-ci étant en fait les nombres triangulaires d’indices impairs.

3) Ensuite, 153 est égal à la somme des factorielles des entiers de 1 à 5. Rappelons que la factorielle d’un entier naturel n est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Exemple, la factorielle de 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720. On note ce nombre 6 ! On voit donc clairement que

153 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! + 5 !

4) 153 est également divisible par la somme de ses chiffres. Soit 1 + 5 + 3 = 9. Et 9 x 17 = 153. On appelle ces nombres les nombres Harshad, terme sanskrit qui signifie «grande joie».

5) On peut encore écrire 153 sous la forme 153 = 3 x 51. Ce qui fait de lui un nombre de Friedman, soit un entier qui est le résultat d’une combinaison de tous ses chiffres dans une base donnée avec l’une ou l’autre des opérations élémentaires.

6) 153 est encore un nombre narcissique, c’est-à-dire un nombre égal à la somme des puissances p-ièmes de ses chiffres, p désignant le nombre de chiffres de n. A titre d’information, en voici la formulation mathématique.

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Plus simplement, 153 est 3-narcissique car 153 = 13 + 53 + 33.

7) Plus surprenant, prenons à présent au hasard n’importe quel multiple de 3, par exemple 7065. Elevons chacun de ses chiffres au cube, additionnons-les, puis répétons chaque fois la même opération avec le résultat de cette addition.

73 + 03 + 63 + 53 = 343 + 0 + 216 + 125 = 684

63 + 83 + 43 = 216 + 512 + 64 = 792

73 + 93 + 23 = 343 + 729 + 8 = 1080

13 + 03 + 83 + 03 = 1 + 0 + 512 + 0 = 513

53 + 13 + 33 = 125 + 1 + 27 = 153

On constate qu’on obtient 153 après un certain nombre de fois. Vous pouvez de votre côté tenter l’expérience avec n’importe quel multiple de 3, aussi grand soit-il. La série finira immanquablement par 153.

Miracle ? Je vous laisse juge. Car le 153 possède de nombreuses autres propriétés sur lesquelles je reviendrai un jour.

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