28/01/2015

Redécouvrir Alan Turing grâce à "The Imitation Game"

imitation_game_photo.jpgUn homme et une machine. Ancêtre de l'ordinateur, la machine de Turing, du nom de son inventeur, est représentée ici par un enchevêtrement de fils et de branchements. C'est grâce à elle que ce génial mathématicien a pu casser le fameux code Enigma, du nom de machines électromécaniques allemandes utilisées par les nazis pour transmettre des messages secrets (codés) durant la guerre. The Imitation Game, biopic de Morten Tyldum, avec Benedict Cumberbatch dans le rôle d'Alan Turing, retrace la vie du célèbre mathématicien, qui semble-t-il mit fin à ses jours le 7 juin 1954 (ce qui n'est en réalité pas prouvé). Bonne nouvelle, la cryptographie occupe une position centrale dans cette fiction, même si la fin du film fait une large part à la vie privée de Turing et à son homosexualité.

Auteur d'un texte fondateur de la science informatique, Turing est également l'initiateur d'un test portant son nom et permettant de poser le problème de l'intelligence artificielle. Véritable pionnier dans son genre, il s'intéressa également de très près à l'analyse mathématique, et son apport dans le domaine, comme dans de nombreux autres, demeure essentiel. La machine de Turing est toujours largement utilisée aujourd'hui et a même un rôle ou lien direct avec l'un des problèmes du millénaire, à savoir le célébrissime problème P = NP (pour une mise en bouche, voici le lien wikipedia). Je lui consacrerai un billet cette année, dans la section mathématiques de mon blog. En attendant, on peut déjà remercier Imitation Game pour la stimulation intellectuelle qu'il suscite.

The Imitation Game est actuellement à l'affiche en salles.

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26/01/2015

Nos jours sont-ils comptés?

Apocalypse.jpgImage de désolation, de terre ravagée et de champignons atomiques. Est-ce à cela que ressemblera notre proche avenir? Jeudi 22 janvier, l'horloge de l'apocalypse, ou Doomsday Clock, a été avancée de deux minutes. Elle se trouve actuellement placée à 23 heures 57, soit trois minutes avant la fin du monde. Cette horloge est en réalité symbolique et a été conçue par des scientifiques en 1947. L'association qui la gère est entre autres composée de dix-huit Prix Nobel. Qui trouvent la situation préoccupante et jugent le risque de catastrophe planétaire très élevé. C'est-à-dire rapproché, probablement avant la fin de ce siècle. Ce sont essentiellement deux menaces qui les inquiètent.

D'abord le réchauffement climatique. Si on ne diminue pas rapidement l'accroissement des gaz à effet de serre (qui ont augmenté de plus de 50% depuis 1990), la planète émettra trop de dioxyde de carbone (ou CO2) pour les écosystèmes dont nous dépendons. Le climat terrestre en serait alors profondément bouleversé. Il y a ensuite le risque nucléaire. La prolifération des armes un peu partout dans le monde, l'incapacité à se débarrasser des déchets générés par les centrales, et bien sûr le péril que représenterait un conflit nucléaire, même circonscrit, ont tôt fait d'évacuer tout optimisme dans le domaine.

Pourtant, 23 heures 57 n'est pas la pire heure qu'ait connu l'horloge de l'apocalypse. En 1953, durant les phases de test des engins thermonucléaires des Etats-Unis et de l'URSS, elle avait même été avancée à 23 heures 58. Quand au moment le plus "calme" qu'elle ait connu, il se situe en 1991, à la chute de l'URSS, avec 23 heures 43 au cadran. Faut-il alors céder à la panique sans essayer de convaincre les gouvernements de tenter rapidement l'impossible pour que l'aiguille recule? Certainement pas. Mais attendons-nous malgré tout à de sacrés changements dans les décennies à venir. Et hélas pas forcément dans le bon sens.

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25/01/2015

Qui a peur de la théorie des groupes?

 

 

rubiks.jpgLes applications de la théorie des groupes sont aussi multiples que variées. Il y a même peu de domaines scientifiques dans lesquels elle n’apparaît pas. En physique théorique (dans l’électrodynamique classique), en chimie (dans le calcul des orbitales moléculaires), et même dans certains jeux, comme ci-dessus le célèbre Rubik’s Cube et ses permutations, la théorie des groupes est partout. Elle intervient également dans pratiquement tous les domaines mathématiques, ce qui rend souvent son étude malaisée, pour ne pas dire compliquée. Cela dit, son étude va des groupes les plus simples aux plus complexes. Le théorème de la classification des groupes simples demeure pourtant l’un des plus longs de l’histoire des mathématiques (lire à la fin de ce billet).

A l’origine, la notion de groupe a commencé à être utilisée car elle était pratique pour la résolution d’équations. Puis les groupes ont trouvé des implications dans la géométrie, avant de s’imposer comme une discipline à part entière. Mais qu’est-ce qu’un groupe, justement ? On peut y répondre en une phrase : il s’agit d’un ensemble muni d’une loi de composition interne associative avec un élément neutre et un symétrique pour chacun de ses éléments. Détaillons tout cela.

Prenons un ensemble quelconque, noté G, et munissons-le d’une loi de composition elle aussi quelconque, notée ●. La structure algébrique (G, ●) est un groupe si elle satisfait les quatre conditions ou propriétés suivantes (parfois dénommés axiomes sous une présentation plus formelle).

i) ● est une opération de G dans G lorsque deux éléments de cet ensemble, a et b, permettent toujours de déterminer un troisième élément, c, qui se trouve lui aussi dans G.

Ainsi, a, b G, on a :

a b = c avec c G.

Voilà pourquoi ● est dite loi de composition interne.

ii) Il existe un élément n de G qui vérifie l’égalité suivante pour tous les éléments de G (soit a G) :

n ● a = a ● n = a.

On appelle n l’élément neutre.

iii) Pour tout élément a de G, il existe un élément inverse – notons le a’ – tel que:

a a’ = n.

iv) Enfin, tous les éléments de G satisfont la propriété associative que voici :

(a ● b) ● c = a ● (b ●c).

Par ailleurs, un groupe est dit commutatif, ou abélien, s’il satisfait la propriété suivante, pour tous ses éléments :

a ● b = b ● a.

Quelques exemples aideront à mieux comprendre la notion de groupe. Z, l’ensemble des nombres entiers relatifs, muni de l’addition, est ainsi un groupe (infini) qu’on note (Z, +). Son élément neutre est le 0 et son élément inverse (ou ici opposé), pour tout pZ, est noté – p. Ainsi, p + ( p) = ( p) + p = 0, ce qu’on peut écrire plus simplement par p p = 0.

Dans la même logique, l’ensemble des nombres réels sans le zéro est un groupe (lui aussi infini) avec la multiplication noté (ℝ*, x). 1 est son élément neutre et 1/y son élément inverse pour tout y dans ℝ*. Autre exemple de groupe, là encore infini, celui des symétries d’un cercle de centre c, qui est en réalité un polygone à n côtés avec n tendant vers l’infini ().

Ces bases ne sont que les prémisses de la théorie des groupes, qui se développe ensuite avec les notions de sous-groupes, de groupes quotients ou d’isomorphismes (etc.), dont je parlerai peut-être un jour. Aujourd’hui, ce qu’on appelle les «groupes simples», c’est-à-dire ceux qui permettent de construire tous les autres, ont tous été identifiés. Quant à la démonstration complète de leur structure, elle se nomme le «théorème monstrueux». Et c’est loin d’être un euphémisme. La première rédaction de cette démonstration occupait en effet entre 10 000 et 15 000 pages. Au XXe siècle, elle a été réduite à 6 000. J’en reparlerai dans un prochain billet qui sera dédié au «monstre», The Monster, appellation d’un groupe fini, simple et non abélien qui contient plus d’éléments qu’il n’existe d’atomes dans tout l’univers !

20:12 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (4) | |  Facebook | | | |