02/03/2015

Théorème de Green-Tao, quelles perspectives?

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Voici un tableau constellé de points noirs. Ce sont des pixels. Ils représentent les nombres entre 1 et 76800. Un pixel noir désigne un nombre premier et un blanc un nombre qui n’est pas premier. Impossible, bien sûr, d’en tirer matière immédiate à déduction. Les nombres premiers semblent y apparaître de manière irrégulière, même si leur distribution (asymptotique) peut être énoncée par une formule et un théorème dont j’avais parlé il y a quelques mois (lisible ici).

Intéressons-nous aujourd’hui à un théorème qui valut de nombreux prix à ses deux auteurs, l’Anglais Ben Green et l’Australien Terence Tao. Il s’agit du théorème de Green-Tao. Il peut s’énoncer ainsi : «La suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues. »

Voyons cela de plus près et attardons-nous d’abord sur la notion de suite arithmétique, qui fait intervenir la notion d’écart entre nombres. En voici un exemple simple: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... On aura reconnu là la suite des nombres impairs. On dit qu’elle est arithmétique de raison 2, car l’écart entre chaque nombre successif est justement de 2. Chaque terme permet ici de déduire le suivant en lui ajoutant une constante (appelée raison).

Au XVIIIe siècle, Legendre (1752 – 1833) avait conjecturé que lorsque le premier terme d’une suite et sa raison sont premiers entre eux, en d’autres termes qu’ils n’ont pas de diviseurs communs, la suite contient alors une infinité de nombres premiers. Si l’exemple donné ci-dessus est évident, d’autres le sont un peu moins. Tel celui-ci : 4, 7, 10, 13, 16, 19, … qui est de raison 3 et de premier terme 4. Elle contient pourtant elle aussi une infinité de nombres premiers. C’est finalement Dirichlet (1805 – 1859), au XIXe siècle, qui a démontré le théorème, plus connu sous le nom de théorème de la progression arithmétique.  Sa démonstration sera même à la base de la théorie analytique des nombres.

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Le théorème de Green-Tao (photos ci-dessus) est une généralisation de celui de Dirichlet. Et consiste à se demander si on peut trouver des suites arithmétiques finies, mais de longueur arbitrairement grande, constituées uniquement de nombres premiers. Exemple : 3, 5, 7 est une suite de raison 2 et de longueur 3 constituée uniquement de premiers. Idem pour 5, 11, 17, 23, 29 (raison 6, longueur 5) et pour 7, 37, 67, 97, 127, 157 (raison 30, longueur 6). Green et Tao ont ainsi prouvé, en 2004, qu’on peut trouver de telles suites d’une longueur aussi grande qu’on le souhaite. En revanche, leur théorème ne dit pas comment les construire et établit seulement qu’une progression de longueur k existe avec des entiers tous plus petits que :

Capture d’écran 2015-03-02 à 20.41.44.pngImpressionnant!

Reste aujourd’hui à augmenter la longueur de la suite, diminuer la raison pour une longueur donnée et jouer sur la taille du premier terme. A ce jour, la plus longue suite connue a été trouvée en 2010 (par Benoît Perichon via PrimeGrid, projet de calcul distribué pour la recherche des nombres premiers) et est constituée de 26 termes. La voici :

Capture d’écran 2015-03-02 à 20.42.57.pngLa variable n désigne ici un entier allant de 0 à 25 et P(23) est la primorielle de 23, soit le produit, parfois noté P !! (donc à ne pas confondre avec la factorielle), de tous les nombres premiers qui le précèdent avec lui-même.

Deux mathématiciens en ont trouvé deux autres de même longueur en 2012 et 2014. Des records qui devraient tôt ou tard être battus.

 

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27/02/2015

D'étranges lumières captées dans l'espace

pluton.jpgVoilà une semaine décidément riche en intrigantes découvertes spatiales (lire à ce sujet mes billets parus hier et avant-hier). Ce cliché dévoile Cérès, planète naine dont l'orbite se situe entre Mars et Jupiter. La sonde américaine Dawn, lancée en 2007, s'en approche à grande vitesse et transmet régulièrement des photos à la NASA. Dévoilée mercredi, celle-ci montre distinctement le fameux point lumineux de Cérès. Avec une surprise de taille. Un second point lumineux apparaît juste à côté, et il est plus brillant que le premier. Pour l'instant, les astronomes n'ont aucune explication. Tout au plus supposent-ils que ces points pourraient avoir une origine volcanique et être des geysers. Seule certitude, tous deux sont inclus dans le même cratère.

Donc pour en savoir plus, il va falloir se rapprocher. Et c'est ce que fait Dawn, pour l'instant située à environ 46 000 kilomètres de Cérès. Le 6 mars, la sonde se mettra en orbite autour de la planète à 13 500 kilomètres. On devrait alors y voir (façon de parler) un peu plus clair. Fin novembre, elle sera encore plus près, à 375 kilomètres. Les scientifiques de la mission auront alors seize mois pour percer les mystères de Cérès. Rappelons que Cérès est la plus petite planète naine du système solaire et le plus gros astéroïde de la ceinture principale. Découverte en 1801, elle a un diamètre d'environ 950 kilomètres.

A moins que tout cela soit un signe adressé à Leonard Nimoy, alias Mr Spock dans Star Trek, dont on a appris le décès ce jour. RIP.

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26/02/2015

Découverte d'un trou noir défiant l'astrophysique

black-hole.jpgA chaque jour sa ou ses découvertes. Mercredi 25 février, des astronomes annonçaient, via la revue britannique Nature, la détection d'un trou noir qualifié de "monstrueux". Pourquoi monstrueux? Parce que sa masse est environ 12 milliards de fois supérieure à celle du soleil. Même si ce chiffre (me) paraît presque trop énorme pour être vrai, il faut bien s'y fier. Et considérer cet objet céleste, qui se trouve au centre d'un quasar, objet très lumineux émettant une énergie colossale, comme le plus massif trou noir détecté à ce jour. Avec une telle masse, cela signifie qu'il doit grandir plus vite que sa galaxie hôte. Or jusqu'à présent, les astrophysiciens pensaient que les trous noirs et les galaxies qui les abritent se développaient conjointement. Voilà qui n'est pas compatible avec les théories.

Autre problème, sa distance. Donc également le temps où il se situe. Si les dépêches recensées hier sont d'un laconisme affolant (attendons les papiers qui ne manqueront pas de paraître sur le sujet dans les revues scientifiques), on y apprend quand même que ce trou noir s'est formé il y a très longtemps, soit 857 millions d'années après le Big Bang, qui s'est lui-même produit il y a 13,7 milliard d'années, âge estimé de l'univers. Le fait que ce trou noir supermassif se soit formé aussi "tôt" après le Big Bang représente donc un autre défi théorique pour les astrophysiciens. Cette découverte n'est en effet pas forcément compatible avec les théories actuelles. Alors oui, les modèles sont faits pour évoluer. La relativité générale d'Einstein, les équations quantiques de Planck, le principe d'incertitude d'Heisenberg, le chat de Schrödinger, les espaces de Minkowski, rien n'est sans doute définitif. A bientôt...

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