22/01/2015

Un signal d'origine extraterrestre?

parkes.jpgObserver l'espace lointain de l'univers, c'est scruter le passé. Les faits ont eu lieu "hier" à l'observatoire de Parkes, en Australie. A travers ce radiotélescope (photo ci-dessus), des astronomes ont capté un mystérieux signal radio venu de très très loin. Soit d'une galaxie située à 5,5 milliards d'années-lumière de la Terre, non loin semble-t-il de la constellation du Verseau. Il dure quelques millisecondes et est constitué de brefs et puissants sursauts d'ondes radio. L'origine du signal pourrait avoir dégagé autant d'énergie que le soleil en produit en 24 heures. Le tout en quelques millisecondes. Si de tels sursauts d'onde avaient déjà été enregistrés (depuis 2007), c'est la première fois que des astronomes en observent un en temps réel. Voilà de quoi réveiller toutes sortes d'hypothèses. Notamment celle de l'apparition d'un trou noir suite à l'effondrement d'une étoile à neutron surdimensionnée. Seule certitude (encore que... ai-je envie d'ajouter), ce signal a été causé par un événement monumental et cataclysmique.

La nouvelle a été communiquée mercredi 21 janvier, mais curieusement, on en trouve très peu de traces sur internet, la plupart des sites se contentant de relayer la même dépêche, avec parfois quelques bribes d'information en plus. Je fais évidemment pareil, dans l'attente d'un éventuel développement. Notons que la vitesse des ondes radio est à peu près équivalente à celle de la lumière, soit 300 000 km/seconde. Ce qui pourrait signifier qu'il a fallu un peu plus de 5 milliards d'années au signal pour nous parvenir, ce qui est énorme. Quant à savoir les implications que ne manquera pas d'avoir cette découverte, il est encore trop tôt pour s'y hasarder. Mais il est permis de rêver. Et si ce signal était enfin la preuve, même très indirecte, que des puissances dotées d'intelligence ou de conscience sont (étaient) à l'oeuvre quelque part dans l'univers? Voilà qui infirmerait notamment le célèbre paradoxe de Fermi, auquel j'avais consacré un billet il y a quelques semaines (lire ici). A suivre attentivement.

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18/01/2015

Que cache la conjecture de Gilbreath?

 

gilbreath01.jpgPour ce premier billet maths de 2015, j’ai choisi un sujet à la fois très abordable, car ne nécessitant pas un gros bagage mathématique pour être compris, et relativement ludique dans son approche. Il s’agit d’une hypothèse plus connue sous le nom de conjecture de Gilbreath. Pour l’illustrer, voici un tableau avec des nombres et des couleurs. Sur la première ligne, on note la suite de tous les nombres premiers, ici jusqu’à 71 (soit les vingt premiers d'entre eux). Puis on calcule la différence entre chaque premier et celui qui le suit (en valeur absolue). On répertorie la valeur obtenue sur la seconde ligne. On répète l’opération ensuite pour chaque ligne, jusqu’à la fin du tableau. On remarque alors que la première colonne du tableau, juste en dessous du 2, ne contient que des 1. Et qu’aucun 1 n’apparaît d’ailleurs dans aucune autre case.

La conjecture de Gilbreath stipule qu’aussi loin qu’on répète l’opération, la première colonne ne contiendra toujours que des 1.  Elle est à ce jour démontrée pour tous les nombres premiers inférieurs à 10 puissance 13.

Voici une autre disposition du tableau, peut-être plus aisée à lire, avec cette fois uniquement les onze premiers nombres premiers.


Capture d’écran 2015-01-18 à 02.46.53.png


















On y voit bien le résultat de chaque addition, sous chaque paire de nombres premiers et ainsi de suite. Les couleurs utilisées dans le premier tableau – violet pour les 1, blanc pour les 0 et jaune pour tous les autres nombres – permettent également d’amusantes spéculations. Les 0 sont donc ici en blanc et on remarque qu’ils forment des structures d’apparence triangulaires. Si on agrandit le tableau à une plus grande échelle – c’est-à-dire en prenant les 200 premiers nombres premiers -, la triangulation des 0 est confirmée, comme on peut le voir ci-dessous.

gilbreath03.jpeg

 

Un schéma qui évoque du reste les triangles de Sierpinski. La conjecture de Gilbreath a été formulée en 1958 par le mathématicien Norman J. Gilbreath. Elle semble pourtant avoir déjà été proposée par d’autres chercheurs au XIXe siècle, ce qui n’est pas illogique, car elle résulte finalement d’un travail d’observation auquel tout le monde ou presque pourrait se livrer. Qu’apporterait sa résolution ? Difficile à dire, mais sans doute pas une révolution en théorie des nombres.

Ultime remarque, on notera, dans la seconde ligne du tableau, qu’apparaissent tous les écarts successifs entre premiers. L’écart de 2 indique tous les jumeaux. L’écart de 4 tous les premiers dits cousins. Et l’écart de 6 tous les premiers dits sexy. Si ces valeurs se reproduisaient à l’infini, cela prouverait bien sûr que la conjecture des nombres premiers jumeaux (et cousins et sexy) est vraie.

 

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28/12/2014

La conjecture de Goldbach est-elle vraie?

Goldbach.jpg

 

Tout nombre pair supérieur à 3 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers: cet énoncé a beau avoir l’air tout simple, il n’est toujours pas démontré aujourd’hui. Ce séduisant graphique de forme triangulaire illustre cette affirmation, plus connue sous le nom de conjecture de Goldbach. Sur les côtés gauche et droit de notre schéma, on remarque la succession de tous les nombres premiers jusqu’à 47 (ou plus petits que 50, ce qui revient au même). Au centre du triangle, le résultat de leurs additions (ou plus précisément toutes les solutions de l’équation 2N = p + q avec p et q premiers), visibles à travers les lignes bleue et rose qui se croisent. Les nombres qui en résultent sont tous pairs, ce qui est logique, la somme de deux premiers supérieurs à deux, donc l’un et l’autre impairs, engendrant forcément un résultat pair, comme (dé)montré ci-dessous.

(2k + 1) + (2n +1) = 2k + 2n + 2 = 2 x (k + n + 1)

On note encore que tous les nombres pairs jusqu’à 50 se retrouvent dans cette liste. Et que les lignes grises figurant à côté comportent toutes au moins un point de croisement. Ce constat nous amène naturellement à la fameuse conjecture de Goldbach.

En 1742, le mathématicien allemand Christian Goldbach (1690 – 1764) écrivit une lettre à Leonhard Euler, lui proposant la conjecture suivante : «Tout nombre plus grand que 2 peut être écrit comme une somme de trois nombres premiers». Ce à quoi Euler répondit que cette affirmation découlait d’un autre énoncé, à savoir que tout nombre pair (supérieur à 3 dans la formulation actuelle, comme dit au début de ce billet) peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. Tel est le point de départ d’un problème insoluble qui est en réalité le cas particulier d’une autre conjecture en rapport avec l’hypothèse H de Schinzel (sur laquelle je consacrerai un billet l’année prochaine). Il existe également des variantes de la conjecture et une version faible stipulant que tout entier supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers impairs.

Mais revenons à Goldbach. Depuis 2012, sa conjecture a été démontrée (par le mathématicien portugais Tomas Oliveira e Silva) pour tous les nombres pairs jusqu’à 4 x 1018. En d’autres termes, pour démontrer sa fausseté (peu probable, mais sait-on jamais), il suffirait de lui trouver un contre-exemple, autrement dit un nombre pair supérieur à 4 x 1018 qui ne soit pas la somme de deux nombres premiers. Si ce nombre existe, il est donc énorme. Et si on ne le trouve jamais, la conjecture est donc vraie.

On peut également étudier le problème en passant par la quantité de partitions correspondant à chaque nombre N. Elle est généralement notée r(N). Pour la définir, un exemple suffira. Prenons le nombre 100. On peut l’écrire comme suit :

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53

Au total, il y a donc six partitions, six façons d’écrire 100 comme somme de deux nombres premiers. Autrement dit, pour N = 100, r(N) = 6. En toute légitimité, on peut dès lors supposer que plus N est grand et plus r(N) le sera aussi. (Le cas r(N) = 0 infirmerait évidemment la conjecture.) Assertion que le tableau ci-dessous, appelé comète de Goldbach, semble confirmer.


Capture d’écran 2014-12-28 à 19.57.25.png


















Et pourtant, malgré tout cela, la conjecture n’est toujours pas démontrée !

En recherchant sur le net, on s’aperçoit qu’il existe plusieurs démonstrations en ligne de la conjecture. Aucune n’a pour l’instant été validée. En revanche, la version faible de la conjecture serait démontrée depuis 2013. Dans la liste des problèmes de Hilbert, la conjecture de Goldbach porte le numéro 8, qu’elle partage avec l’hypothèse de Riemann et la conjecture des nombres premiers jumeaux.

 

 

 

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