01/02/2015

Le nombre 153 est-il divin?

 

poissons.jpgDaté de 1444, ce tableau de Konrad Witz s’intitule La Pêche miraculeuse. Exposé au Musée d’Art et d’Histoire de Genève, il représente un épisode de l’Evangile selon Jean (Jean 21 : 1 – 24), celui de la pêche miraculeuse de Saint-Pierre, qui ramène 153 gros poissons à Jésus et à ses disciples. Très peu de nombres sont cités dans la Bible. 153 en fait partie. De nombreuses interprétations exégétiques existent à son propos. Tel n’est pas aujourd’hui le sujet de mon billet, dans lequel je vous propose d’observer les curieuses et innombrables propriétés d’un nombre qui semble cacher bien des mystères.

1) Tout d’abord, 153 est la somme de tous les entiers de 1 à 17. Cela fait de lui un nombre triangulaire, le 17ème, comme l’illustre le schéma ci-dessous, chaque ligne représentant successivement les nombres 1 à 17. triangle.jpg

Les nombres triangulaires ont tous cette forme:


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Ils possèdent diverses propriétés. Je me contenterais d’en citer une. En 1638, Fermat affirma que tout entier était somme de trois nombres triangulaires (à condition de considérer 0 comme un nombre triangulaire). Gauss prouva cette décomposition en 1796. En voici le résultat, relativement aisé à vérifier (M désigne un entier positif; x, y et z trois entiers; et l'équation utilise par ailleurs le théorème des trois carrés de Legendre, lequel induit que tout entier positif congru à 3 modulo 8 est la somme de trois carrés parfaits) :

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2) 153 est également un nombre hexagonal, le 9ème, ceux-ci étant en fait les nombres triangulaires d’indices impairs.

3) Ensuite, 153 est égal à la somme des factorielles des entiers de 1 à 5. Rappelons que la factorielle d’un entier naturel n est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Exemple, la factorielle de 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720. On note ce nombre 6 ! On voit donc clairement que

153 = 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! + 5 !

4) 153 est également divisible par la somme de ses chiffres. Soit 1 + 5 + 3 = 9. Et 9 x 17 = 153. On appelle ces nombres les nombres Harshad, terme sanskrit qui signifie «grande joie».

5) On peut encore écrire 153 sous la forme 153 = 3 x 51. Ce qui fait de lui un nombre de Friedman, soit un entier qui est le résultat d’une combinaison de tous ses chiffres dans une base donnée avec l’une ou l’autre des opérations élémentaires.

6) 153 est encore un nombre narcissique, c’est-à-dire un nombre égal à la somme des puissances p-ièmes de ses chiffres, p désignant le nombre de chiffres de n. A titre d’information, en voici la formulation mathématique.

Capture d’écran 2015-02-01 à 18.28.51.png

 





Plus simplement, 153 est 3-narcissique car 153 = 13 + 53 + 33.

7) Plus surprenant, prenons à présent au hasard n’importe quel multiple de 3, par exemple 7065. Elevons chacun de ses chiffres au cube, additionnons-les, puis répétons chaque fois la même opération avec le résultat de cette addition.

73 + 03 + 63 + 53 = 343 + 0 + 216 + 125 = 684

63 + 83 + 43 = 216 + 512 + 64 = 792

73 + 93 + 23 = 343 + 729 + 8 = 1080

13 + 03 + 83 + 03 = 1 + 0 + 512 + 0 = 513

53 + 13 + 33 = 125 + 1 + 27 = 153

On constate qu’on obtient 153 après un certain nombre de fois. Vous pouvez de votre côté tenter l’expérience avec n’importe quel multiple de 3, aussi grand soit-il. La série finira immanquablement par 153.

Miracle ? Je vous laisse juge. Car le 153 possède de nombreuses autres propriétés sur lesquelles je reviendrai un jour.

19:14 Publié dans Mathématiques, Sciences | Lien permanent | Commentaires (5) | |  Facebook | | | |

28/01/2015

Redécouvrir Alan Turing grâce à "The Imitation Game"

imitation_game_photo.jpgUn homme et une machine. Ancêtre de l'ordinateur, la machine de Turing, du nom de son inventeur, est représentée ici par un enchevêtrement de fils et de branchements. C'est grâce à elle que ce génial mathématicien a pu casser le fameux code Enigma, du nom de machines électromécaniques allemandes utilisées par les nazis pour transmettre des messages secrets (codés) durant la guerre. The Imitation Game, biopic de Morten Tyldum, avec Benedict Cumberbatch dans le rôle d'Alan Turing, retrace la vie du célèbre mathématicien, qui semble-t-il mit fin à ses jours le 7 juin 1954 (ce qui n'est en réalité pas prouvé). Bonne nouvelle, la cryptographie occupe une position centrale dans cette fiction, même si la fin du film fait une large part à la vie privée de Turing et à son homosexualité.

Auteur d'un texte fondateur de la science informatique, Turing est également l'initiateur d'un test portant son nom et permettant de poser le problème de l'intelligence artificielle. Véritable pionnier dans son genre, il s'intéressa également de très près à l'analyse mathématique, et son apport dans le domaine, comme dans de nombreux autres, demeure essentiel. La machine de Turing est toujours largement utilisée aujourd'hui et a même un rôle ou lien direct avec l'un des problèmes du millénaire, à savoir le célébrissime problème P = NP (pour une mise en bouche, voici le lien wikipedia). Je lui consacrerai un billet cette année, dans la section mathématiques de mon blog. En attendant, on peut déjà remercier Imitation Game pour la stimulation intellectuelle qu'il suscite.

The Imitation Game est actuellement à l'affiche en salles.

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26/01/2015

Nos jours sont-ils comptés?

Apocalypse.jpgImage de désolation, de terre ravagée et de champignons atomiques. Est-ce à cela que ressemblera notre proche avenir? Jeudi 22 janvier, l'horloge de l'apocalypse, ou Doomsday Clock, a été avancée de deux minutes. Elle se trouve actuellement placée à 23 heures 57, soit trois minutes avant la fin du monde. Cette horloge est en réalité symbolique et a été conçue par des scientifiques en 1947. L'association qui la gère est entre autres composée de dix-huit Prix Nobel. Qui trouvent la situation préoccupante et jugent le risque de catastrophe planétaire très élevé. C'est-à-dire rapproché, probablement avant la fin de ce siècle. Ce sont essentiellement deux menaces qui les inquiètent.

D'abord le réchauffement climatique. Si on ne diminue pas rapidement l'accroissement des gaz à effet de serre (qui ont augmenté de plus de 50% depuis 1990), la planète émettra trop de dioxyde de carbone (ou CO2) pour les écosystèmes dont nous dépendons. Le climat terrestre en serait alors profondément bouleversé. Il y a ensuite le risque nucléaire. La prolifération des armes un peu partout dans le monde, l'incapacité à se débarrasser des déchets générés par les centrales, et bien sûr le péril que représenterait un conflit nucléaire, même circonscrit, ont tôt fait d'évacuer tout optimisme dans le domaine.

Pourtant, 23 heures 57 n'est pas la pire heure qu'ait connu l'horloge de l'apocalypse. En 1953, durant les phases de test des engins thermonucléaires des Etats-Unis et de l'URSS, elle avait même été avancée à 23 heures 58. Quand au moment le plus "calme" qu'elle ait connu, il se situe en 1991, à la chute de l'URSS, avec 23 heures 43 au cadran. Faut-il alors céder à la panique sans essayer de convaincre les gouvernements de tenter rapidement l'impossible pour que l'aiguille recule? Certainement pas. Mais attendons-nous malgré tout à de sacrés changements dans les décennies à venir. Et hélas pas forcément dans le bon sens.

20:25 Publié dans Astrophysique, Sciences | Lien permanent | Commentaires (1) | |  Facebook | | | |