21/12/2014

L'identité d'Euler, manifeste du génie helvétique?

 

euler_t_shirt.jpgOn la retrouve sur des tee shirts. Elle se décline sur des sacs. euler_sac.jpg


Et même des coques de smartphones.

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Et sur toutes sortes d’autres objets comme ici sur ce "gobelet" à café.

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Elle, c’est l’identité d‘Euler, l’une des formules les plus célèbres et les plus belles de toute l’histoire des maths. La voici en dehors de tout support:

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C’est le Bâlois Leonhard Euler (1707 – 1783) qui l’a découverte et l’a mentionnée dans un ouvrage paru en 1748, sans vraiment la démontrer. Ce qu’il y a évidemment de remarquable dans cette égalité a priori très simple, c’est la coprésence de cinq constantes mathématiques fondamentales. Voyons plutôt.

0 et 1 sont les éléments neutres respectifs de l’addition et de la multiplication.

Pi ou π est un nombre transcendant désignant le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien. Rappelons qu’un nombre est dit transcendant s’il n’est racine d’aucun polynome à coefficients entiers.

e est la base du logarithme naturel et se caractérise par la relation ln(e) = 1. Tout comme π, il s’agit d’un nombre transcendant.

Quant à i, racine carrée de – 1, c’est l’unité imaginaire servant de base à la construction des nombres complexes.

La relation qu’établit Euler entre ces cinq nombres utilise par ailleurs trois opérations fondamentales, l’addition, la multiplication et l’exponentiation. L’identité d’Euler peut se démontrer de plusieurs manières et bizarrement de façon assez aisée. En géométrie, on peut l’établir par la juxtaposition de triangles rectangles. En analyse complexe, on déduit qu'elle est un cas particulier de la formule suivante (dans laquelle apparaissent les fonctions trigonométriques sinus et cosinus)

mathrm e^{mathrm ix} = cos x + mathrm i sin x ,!

et, grâce à différentes égalités déductibles des séries de Taylor, dont voici un exemple,

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on peut démontrer l'identité via des calculs et injections que je ne reproduirai pas ici pour ne pas alourdir ce billet.

D’Euler, déjà mentionné dans plusieurs billets maths (et notamment dans celui dédié au théorème des nombres premiers), il sera évidemment fréquemment question dans de futurs billets. Il reste l’un des scientifiques les plus grands et les plus prolifiques de tous les temps. Son apport dans des branches aussi variées que le calcul infinitésimal, l’analyse mathématique, la théorie des graphes ou, en physique, la dynamique des fluides et l’astronomie, font de lui l’un des Suisses les plus célèbres à travers l’histoire. Et vous l’avez tous tenu entre vos mains. Souvenez-vous de nos anciens billets de dix francs. C’est Euler qui est dessus.

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18/12/2014

Europe, un espoir pour le futur?

europe.jpgSurpopulation et explosion démographique sont des termes à peu près identiques. A l'échelle du globe, ils signifient que tôt ou tard, il y aura trop d'habitants et pas assez d'espaces habitables pour les abriter. Alors il faudra peut-être songer à aller voir ailleurs. Si les planètes habitables (à supposer qu'il en existe) des galaxies lointaines sont totalement inaccessibles pour notre technologie, il y a peut-être des ouvertures plus proches de la Terre. Au moment où le robot Curiosity a détecté du méthane en quantité importante sur Mars (gaz généralement produit par la fermentation de matières organiques animales ou végétales), possible preuve que la vie a pu y naître un jour, ou qu'elle y subsiste encore sous une quelconque forme, la sonde Galileo a récemment pris des clichés d'Europe. En voici deux.

Europe, satellite de Jupiter, le sixième plus gros du système solaire, d'un diamètre de 3121 kilomètres, révèle petit à petit ses secrets. Dont la présence d'un océan d'eau salée et de vastes lacs sous-marins traversés par des courants. Mieux, suite aux dernières analyses publiées en septembre, on apprenait que la croûte de glace qui le recouvre serait animée d'une tectonique des plaques analogue à celle que nous connaissons sur la Terre. En d'autres termes, Europe est peut-être habitable. Mais pour en avoir le coeur net, il faut aller voir sur place. Aussi la Nasa prévoit d'y envoyer des sondes en orbite, et pour certaines, de s'y poser puis de l'explorer. Parmi celles-ci, Lander, qui devrait y passer une trentaine de jours, et le Robot Valkyrie, qui prévoit même de forer sa couche glacée. La date de lancement de Lander est fixée en novembre 2021 et son atterrissage sur Europe en septembre 2029. En revanche, aucune date n'est encore arrêtée pour le lancement du Robot Valkyrie. Affaire à suivre? Oui, mais pas dans l'immédiat.

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14/12/2014

Combien y a-t-il de nombres parfaits?

 

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Il en va des nombres comme des organismes vivants. Certains sont dotés de propriétés singulières ou remarquables qui les rendent uniques. Nombres amicaux, sociables, chanceux, palindromes, pyramidaux, primoriels, automorphes, étranges, intouchables, ou, du nom de leurs découvreurs, nombres de Mersenne, de Sophie Germain, de Fibonacci, de Liouville ou de Fermat, les catégories ne manquent pas. Je vais me pencher aujourd’hui sur les nombres parfaits, lesquels font toujours à l’heure actuelle l’objet de recherches incessantes.

Le petit tableau ci-dessus donne une idée de leur définition (ligne du milieu). Un nombre est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres (ou stricts). On peut aussi définir un nombre parfait par la formule suivante : σ(n) = 2n, σ(n) désignant la somme de tous les diviseurs positifs de n. Prenons le cas de 6, qui est le premier nombre parfait connu. La somme de ses diviseurs stricts donne 1 + 2 + 3 = 6. Et σ(n) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12, qui est bien égal à 2n (2 x 6).

Lorsqu’on monte un peu dans la progression des nombres, on note très vite que les nombres parfaits sont extrêmement rares. Les quatre premiers sont 6, 28, 496 et 8128. Ils sont tous pairs. Dans l’histoire des mathématiques, leur apparition a lieu très tôt. Nicomaque de Gérase (vers 150 – vers 196) cite ainsi les quatre premiers nombres parfaits dans un traité d’arithmétique, mais Euclide en parlait déjà dans l’un des livres de ses Eléments (IIIe siècle av. J.-C.) Le cinquième nombre parfait est cité dans un manuscrit du XVe siècle. Et les deux suivants furent découverts par Pietro Cataldi en 1588. Quant au huitième, il sera trouvé par le Suisse Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Euler ira même plus loin, en affinant une égalité démontrée par Euclide et qui peut se formuler ainsi :

Capture d’écran 2014-12-14 à 20.12.57.pngEt ce qu’il y a d’intéressant, c’est qu’on retrouve ici les nombres dits de Mersenne (du nom de leur découvreur, Marin Mersenne (1588-1648), dont je reparlerai bientôt), c’est-à-dire les nombres premiers qui peuvent s’écrire sous la forme suivante, avec n premier:

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La démonstration d’Euler nous apprend surtout que tous les nombres parfaits pairs ont cette forme. En revanche, on ne connaît, à ce jour, aucun nombre parfait impair et on ignore s’il en existe. Actuellement, 48 nombres parfaits ont été découverts. On conjecture qu'il en existe une infinité. Le dernier en date a été calculé en janvier 2013 à partir du 48e( ?) nombre de Mersenne que voici,

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lequel se compose de plus de 17 millions de chiffres (17 425 170 exactement). Il s'agit également du plus grand nombre premier connu. Et le jour (proche, je l'espère) où des ordinateurs dûment programmés pourront calculer un nombre de Mersenne supérieur à celui-ci, il en découlera la découverte d'un nouveau nombre parfait.

Quant aux nombres abondants et déficients, cités dans le tableau du haut, vous n'aurez aucune peine à déduire leur définition.

 

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