07/12/2014

Le théorème des nombres premiers a-t-il livré tous ses secrets?

 

Capture d’écran 2014-12-06 à 01.49.49.pngInterrogations, conjectures, suppositions, mystères. Même si leur infinitude est prouvée depuis des millénaires, les nombres premiers continuent à faire de la résistance. Existe-t-il une fonction qui les engendre tous, si possible dans l’ordre ? Une équation polynomiale simple ne comportant que des premiers comme solutions ? Comment se comportent leurs écarts successifs lorsqu’ils tendent vers l’infini ? Toutes ces questions sont à ce jour sans réponses. Le graphique ci-contre présente deux courbes, l'une régulière, l'autre moins. La rouge désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à x. La bleue correspond à la courbe d’équation de la fonction logarithmique x/log(x). On remarque qu’elles sont très proches l’une de l’autre. Qu’elles se touchent presque par endroits.

On sait que les nombres premiers se raréfient à l’approche de l’infini (encore que leur apparition, dans de très grands intervalles, demeure souvent aléatoire), ce qui peut sembler logique. En clair, plus un nombre est grand et moins il y a de chances qu’il soit premier. La question de leur fréquence et de leur répartition est depuis longtemps un point essentiel de la recherche en théorie des nombres. C’est au XIXe siècle qu’a été démontré, à la fois (et indépendamment) par le Français Jacques Hadamard (1865 - 1963) et le Belge Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962), le théorème des nombres premiers, lequel permet une approche assez précise et fiable de leur distribution asymptotique. Il illustre exactement ce qu’établit le graphique ci-dessus et s’énonce par la formule qui suit:

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Ici, le symbole Pi ne désigne pas le célèbre nombre transcendant que tout le monde connaît, mais le nombre de premiers inférieurs à n, et ln est la fonction logarithmique naturelle (courbe bleue ci-dessus). On peut également formuler le théorème en disant que pour un P premier assez grand, l’intervalle {1,…, P} contient environ P/log (P) nombres premiers. D’autres formulations encore plus précises font appel à un symbolisme mathématique qui viendrait sans doute alourdir ce billet en m’obligeant à expliquer des notions que je n’aborde pas pour cette fois.

Cela étant, l’observation graphique ne constitue pas une preuve, même si la formule est «aisément» déductible du comportement de nos deux courbes. Pour établir cette égalité, il a donc fallu la démontrer. Je ne vais pas tenter de résumer cette démonstration, trop complexe pour ce billet, mais me contenter de dire qu’elle fait appel à plusieurs égalités ou fonctions fondamentales en mathématiques. A commencer par la célèbre fonction zêta de Riemann que voici :

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qui est une somme infinie (comme l’indique le Sigma majuscule) dans laquelle les n désignent les entiers naturels de 1 à l’infini alors que les s sont des nombres complexes de la forme a + bi avec i désignant le nombre imaginaire, soit la racine carrée de – 1. A priori, on peut se demander ce qu’elle a de commun avec les nombres premiers. Enormément de choses, et c’est le Suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) qui va le démontrer en établissant que la fonction de Riemann est équivalente au produit infini ci-dessous :

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Vous suivez ? Si vous êtes arrivés jusque là, je suppose que la réponse est oui. Le Pi majuscule désigne là un produit infini, et ce qu’il y a de remarquable, c’est que ce dernier s’établit cette fois pour tous les p premiers et non pour les n entiers. Cette merveilleuse égalité relie tout simplement les deux. Montre un lien entre les entiers et les premiers. Ce qui est aussi miraculeux qu’inouï. En résumé, la démonstration du théorème des nombres premiers va faire avancer d’un bond énorme la théorie des nombres. Et laisser entrevoir la perspective d’une possible répartition logique des nombres premiers sur la droite menant à l’infini. Mais pour cela, il sera nécessaire de se pencher sur la célèbre hypothèse de Riemann, Graal absolu des mathématiques, puisque toujours irrésolue, et ce sera dans un billet futur.

 

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30/11/2014

Qu'y a-t-il au-delà de l'infini?

 

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Ce symbole, parfois appelé lemniscate, représente l’infini. Ce n’est pas à proprement parler un nombre, mais plutôt un concept dont la réalité mathématique est indéniable. Il est au cœur des recherches du mathématicien allemand Georg Cantor (1845 – 1918, photo ci-dessous), Cantor.jpgconnu pour avoir notamment créé la théorie des ensembles. Mais aussi les nombres transfinis et une conjecture célèbre plus connue sous le nom d’hypothèse du continu. Celle-ci est même le premier problème de la fameuse liste de Hilbert, qui en compte 23. L’hypothèse du continu stipule qu’il n’existe pas d’ensembles dont la «taille» se situe entre celle de l’ensemble des entiers naturels et celle de l’ensemble des nombres réels.

Pour mieux la comprendre, il faut rappeler ici différentes notions. L’ensemble des entiers naturels est simple à définir. Il désigne l’ensemble des nombres entiers positifs et s’écrit généralement comme suit :

= {0,1,2,3,4,5,6,7,…}. Il compte un nombre infini d’éléments, ce qui est aisé à démontrer, puisqu’on peut toujours, pour tout n ∈ , déterminer un élément n + 1 qui se trouve à son tour dans . Et ainsi de suite à l’infini.

L’ensemble des nombres réels, noté , regroupe tous les nombres pouvant être représentés par une partie entière et une partie (finie ou non) de décimales. Il inclut aussi bien les nombres rationnels et irrationnels que les nombres transcendants comme π ou e (base du logarithme naturel). Ses éléments sont évidemment en nombre infini et on remarque très vite que (ce qui signifie que est inclus dans ).

Leur taille se déduit de leur cardinalité. Le cardinal d’un ensemble désigne le nombre d’éléments que compte cet ensemble. Dans le cas de et , ce cardinal est clairement infini. Pourtant, compte de toute évidence davantage d’éléments que . Comme s’il y avait, en gros, différentes sortes d’infinis selon la taille des objets que l’on observe. Mais la différence entre et , c’est aussi que le premier est dénombrable et pas le second. Qu’est-ce à dire ?

Pour faire simple, un ensemble dénombrable est un ensemble dont on peut compter et ordonner les éléments. Et un ensemble infini est dit dénombrable s’il est en bijection avec l’ensemble des entiers naturels . Une bijection est une fonction f d’un ensemble A dans un ensemble B pour laquelle à chaque élément de A correspond exactement un et un seul élément de B. Exemple simple : peut être mis en bijection avec l’ensemble des nombres pairs, via la fonction f (x) = 2x pour laquelle on fait correspondre, à chaque élément de départ dans , son double. On dit dans ce cas que les deux ensembles sont équipotents. En revanche, n’est pas dénombrable et aucune bijection avec n’est possible. Aussi petit soit-il, n’importe quel intervalle de la droite des nombres réels contient en effet d’autres nombres.

Mais revenons à Cantor. Ce dernier s’interrogea sur les cardinaux respectifs de et . Il appela le cardinal de aleph-zéro et le nota aleph_0, du nom de la première lettre de l’alphabet hébraïque. Et comme tous les éléments de couvraient en continu la droite des réels, il nomma son cardinal le continu, l’abrégeant simplement par la lettre c. Puis s’en vint à se demander s’il existait un ensemble dont le cardinal était compris entre ces deux-là. C’était l’hypothèse du continu, qui peut se résumer par cette magnifique formule :

2^{aleph_0} = aleph_1

 

Elle fait du reste appel aux propriétés liées à l’ensemble des sous-ensembles d’un ensemble, dont je parlerai dans un futur billet, et à l’axiome du choix.

En 1963, Paul J.Cohen, un mathématicien américain, parvint à résoudre l’hypothèse du continu en montrant qu’elle était indécidable. Autrement dit qu’on ne pouvait prouver ni sa vérité ni sa fausseté. La question n’est pas pour autant fermée aujourd’hui. Et certains pensent que de nouveaux axiomes pourraient rendre l’hypothèse vraie. La suite dans le courant du XXIe siècle ?

 

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25/11/2014

Le paradoxe de Fermi est-il toujours d'actualité?

fermi.jpgIl y a quelques jours, je publiais un billet consacré à l'étrange son capté par le robot Philae, dans le cadre de la mission Rosetta, sur la comète 67P (lire ici). Même s'il y a peu de chances (ou de risques) qu'il émane d'une civilisation extraterrestre présente ou passée, il réveille en nous, indirectement, ce fantasme du contact avec des aliens et de la preuve de leur existence quelque part (c'est-à-dire dans un espace et un temps probablement lointains). Cette annonce nous ramène également à une série d'interrogations qu'on nomme le paradoxe de Fermi. Le 20 mai 1950, au cours d'un déjeuner, le physicien italien Enrico Fermi, lors d'une discussion à propos des extraterrestres, s'exclamait à peu près en ces termes: "S'il y avait des civilisations extraterrestres, leurs représentants devraient déjà être chez nous. Où sont-ils donc?"

Pour certains, le paradoxe résulte d'un anthropocentrisme qui empêche de répondre à la question. D'autres l'ont reformulé, de manière à ouvrir le débat. Notre terre étant plus jeune que l'univers d'environ un milliard d'années, on peut alors supposer qu'au moins une civilisation extraterrestre de la galaxie, si tant est qu'elle existe ou ait existé, ait développé et entrepris une colonisation interstellaire, laquelle nécessiterait (et c'est prouvé) uniquement quelques millions d'années. Dans ce cas, nous devrions pouvoir observer des traces de cette civilisation. Mais nous n'en voyons pas. Ni traces ni signaux radio (ou autres) qui attesteraient d'une manifestation extraterrestre. Emprunté à la revue Sciences & Vie, le tableau ci-dessus fait à peu près le tour des réponses possibles au paradoxe de Fermi et chaque hypothèse émise pourrait être matière à débat.

La célèbre équation de l'astronome Frank Drake, formulée en 1961, et que voici

                 N = R^{*} ~ times ~ f_{p} ~ times ~ n_{e} ~ times ~ f_{l} ~ times ~ f_{i} ~ times ~ f_{c} ~ times ~ L

permet quant à elle de conclure que notre civilisation est probablement la seule de la galaxie. Je détaillerai cette formule, apparemment aride sans explications, dans un prochain billet. Cela étant, certaines des hypothèses et réponses au paradoxe de Fermi introduisent à une notion qu'on appelle Grand Filtre, concept introduit par un économiste américain, Robin Hanson, en 1996. Pour le comprendre, il faut rappeler une succession d'étapes nécessaires à l'existence d'une civilisation avancée.

Soit la formation d'une planète à bonne distance d'une étoile de taille moyenne (telle notre soleil), l'apparition d'une molécule capable de se reproduire, la formation des premières cellules (procaryotes) puis le développement de cellules complexes (eucaryotes), l'apparition de la reproduction sexuée puis de systèmes multicellulaires, et enfin l'évolution de la pensée et de l'intelligence conduisant au développement technologique. C'est l'étape à laquelle l'humanité se trouve en ce moment. La suivante serait l'expansion vers les autres étoiles et la colonisation de la galaxie.

La notion de Grand Filtre se trouve soit au niveau de cette dernière étape, soit dans nos étapes passées. Dans le second cas, cela signifierait que l'une ou l'autre de celles-ci sont très improbables et que la Terre est un modèle rare, voire unique, dans la galaxie. Dans le premier cas, cela pourrait vouloir dire que quelque chose (mais quoi?) va tôt ou tard s'avérer être un obstacle insurmontable à l'expansion galactique. En d'autres termes, si nous n'avons jamais observé le moindre signe de l'existence d'une vie extraterrestre, c'est peut-être parce que quelque chose bloque dans le processus aboutissant au voyage dans l'espace. Il va sans dire que la découverte d'un signal émanant d'une quelconque civilisation extraterrestre viendrait infirmer avec effet immédiat le paradoxe de Fermi.

19:09 Publié dans Astrophysique, Sciences | Lien permanent | Commentaires (0) | |  Facebook | | | |